新高考數(shù)學(xué)二輪專題《立體幾何》第12講 立體幾何空間軌跡問題（解析版）

1、第12講 立體幾何空間軌跡問題一選擇題（共14小題） 1已知正方體的棱長為1，在正方體的側(cè)面上的點(diǎn)到點(diǎn)距離為的點(diǎn)的軌跡形成一條曲線，那么這條曲線的形狀是ABCD【解答】解：正方體的側(cè)面上的點(diǎn)到點(diǎn)距離為的點(diǎn)的軌跡形成圓弧，如圖：且為與球心距離為1的截面，截痕為小圓弧，由于截面圓半徑為，故選：2如圖，在正方體中，是側(cè)面內(nèi)一動點(diǎn)，若到直線與直線的距離相等，則動點(diǎn)的軌跡所在的曲線是A直線B圓C雙曲線D拋物線【解答】解：由題意知，直線平面，則，即就是點(diǎn)到直線的距離，那么點(diǎn)到直線的距離等于它到點(diǎn)的距離，所以點(diǎn)的軌跡是拋物線故選：3如圖，在棱長為1的正方體中，為棱中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動，若，則動點(diǎn)的軌跡所在曲

2、線為A圓B橢圓C雙曲線D拋物線【解答】解：，是定值，平面，動點(diǎn)的軌跡所在曲線為雙曲線，故選：4在棱長為3的正方體中，是的中點(diǎn)，是底面所在平面內(nèi)一動點(diǎn)，設(shè)，與底面所成的角分別為，均不為，若，則三棱錐體積的最小值是ABCD【解答】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，正方體的邊長為3，則，0，0，設(shè)，則，0，即，代入數(shù)據(jù)，得：，整理得：，即，則動點(diǎn)的軌跡為圓的一部分，點(diǎn)到直線的距離的最大值是2，則到平面的最小距離為1三棱錐體積的最小值是故選：5如圖，在正方體中，是的中點(diǎn)，為地面內(nèi)一動點(diǎn)，設(shè)、與地面所成的角分別為、均不為，若，則動點(diǎn)的軌跡為哪種曲線的一部分A直線B圓C橢圓D拋物線【解答】解：建

3、系如圖，設(shè)正方體的邊長為2，則，0，0，設(shè)，則，0，即，代入數(shù)據(jù)，得：，整理得：，變形，得：，即動點(diǎn)的軌跡為圓的一部分，故選：6如圖，在四棱錐中，側(cè)面為正三角形，底面為正方形，側(cè)面底面，為底面內(nèi)的一個動點(diǎn)，且滿足，則點(diǎn)在正方形內(nèi)的軌跡為ABCD【解答】解：根據(jù)題意可知，則點(diǎn)符合“為底面內(nèi)的一個動點(diǎn)，且滿足”設(shè)的中點(diǎn)為，根據(jù)題目條件可知，點(diǎn)也符合“為底面內(nèi)的一個動點(diǎn)，且滿足”故動點(diǎn)的軌跡肯定過點(diǎn)和點(diǎn)而到點(diǎn)與到點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)為線段的垂直平分線段的垂直平分面與平面的交線是一直線故選：7如圖，在長方形中，為線段上一動點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起，使點(diǎn)在面上的射影在直線上，當(dāng)從運(yùn)動到，則所形成軌跡的長度為ABCD【

4、解答】解：由題意，將沿折起，使平面平面，在平面內(nèi)過點(diǎn)作，為垂足，由翻折的特征知，連接，則，故點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓上一弧，根據(jù)長方形知圓半徑是，如圖當(dāng)與重合時，取為的中點(diǎn)，得到是正三角形故，其所對的弧長為，故選：8已知平行六面體，與平面垂直，且，為中點(diǎn)，在對角面所在平面內(nèi)運(yùn)動，若與成角，則點(diǎn)軌跡為A圓B拋物線C雙曲線D橢圓【解答】解：平行六面體，與平面垂直，且平行六面體是一個底面為菱形的直四棱柱，對角面底面，對角面，取的中點(diǎn)，則，與成角，與成角，設(shè)與對角面的交點(diǎn)為，則對角面，點(diǎn)軌跡為以為軸的一個圓錐的底面，是該圓錐的母線，且母線與底面成較，與軸成角，故選：9在正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在其對角面內(nèi)

5、運(yùn)動，若總與直線成等角，則點(diǎn)的軌跡有可能是A圓或圓的一部分B拋物線或其一部分C雙曲線或其一部分D橢圓或其一部分【解答】解：設(shè)中點(diǎn)，則則與直線的夾角等于與直線的夾角，平面，過與成等角的直線與所在平面的交點(diǎn)集為圓，是長方形，不是正方形，的軌跡是圓或圓的一部分故選：10如圖，長方體中，上底面的中心為，當(dāng)點(diǎn)在線段上從移動到時，點(diǎn)在平面上的射影的軌跡長度為ABCD【解答】解：如圖所示，以，分別為軸，軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則有：，設(shè)，由，可得：，整理可得：，點(diǎn)在平面上的射影的軌跡是以為圓心，半徑為的圓弧，是等邊三角形，即，圓弧的長故選：11如圖，若三棱錐的側(cè)面內(nèi)一動點(diǎn)到底面的距離與到點(diǎn)的距離之比為正

6、常數(shù)，且動點(diǎn)的軌跡是拋物線，則二面角平面角的余弦值為ABCD【解答】解：如圖，設(shè)二面角平面角為，點(diǎn)到底面的距離為，點(diǎn)到定直線得距離為，則，即點(diǎn)到底面的距離與到點(diǎn)的距離之比為正常數(shù)，則，動點(diǎn)的軌跡是拋物線，即，則二面角平面角的余弦值為故選：12如圖，正方體的棱長為1，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)是平面上的動點(diǎn)，且動點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方差為1，則動點(diǎn)的軌跡是A圓B拋物線C雙曲線D直線【解答】解：如圖所示：正方體中，作，為垂足，則面，過點(diǎn)作，則面，即為點(diǎn)到直線的距離，由題意可得又已知，即到點(diǎn)的距離等于到的距離，根據(jù)拋物線的定義可得，點(diǎn)的軌跡是拋物線，故選：13一光源在桌面的正上方，半徑為2的球與桌

7、面相切，且與球相切，小球在光源的中心投影下在桌面產(chǎn)生的投影為一橢圓，如圖所示，形成一個空間幾何體，且正視圖是，其中，則該橢圓的長軸長為A6B8CD3【解答】解：以為原點(diǎn)，以，為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，則球在平面上的截面圓方程為，設(shè)直線的方程為，則圓心到直線的距離，解得的方程為，令得，即故選：14平面、兩兩互相垂直，點(diǎn)，點(diǎn)到、的距離都是3，是上的動點(diǎn)，到的距離是到點(diǎn)距離的2倍，則點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到的距離的最小值是ABCD【解答】解：由題意知，到的距離是到點(diǎn)距離的2倍，即到兩個面的交線的距離是到點(diǎn)距離的2倍，的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，離心率是當(dāng)點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到的距離的最小時，點(diǎn)應(yīng)該在短軸的端點(diǎn)處，點(diǎn)

8、的軌跡上的點(diǎn)到的距離的最小值是，故選：二填空題（共7小題）15已知正方體的棱長為1，在正方體的側(cè)面上到點(diǎn)距離為的點(diǎn)的集合形成一條直線，那么這條曲線的形狀是圓弧，它的長度是 若將“在正方體的側(cè)面上到點(diǎn)距離為的點(diǎn)的集合”改為在正方體表面上與點(diǎn)的距離為的點(diǎn)的集合”那么這條曲線的形狀又是 ，它的長度又是 【解答】解：在正方體的側(cè)面上到點(diǎn)距離為的點(diǎn)的集合形成圓弧，如圖：且為與球心距離為1的截面，截痕為小圓弧，由于截面圓半徑為，故各段弧圓心角為，它的長度是；由題意，此問題的實質(zhì)是以為球心、為半徑的球在正方體各個面上交線的長度計算，正方體的各個面根據(jù)與球心位置關(guān)系分成兩類：、為過球心的截面，截痕為大圓弧，各

9、弧圓心角為、為與球心距離為1的截面，截痕為小圓弧，由于截面圓半徑為，故各段弧圓心角為這條曲線長度為，故答案為：圓弧、；各個面上的圓弧、16已知正方體的棱長為1，動點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動，且與點(diǎn)的距離為動點(diǎn)的集合形成一條曲線，這條曲線在平面上部分的形狀是圓?。淮饲€的周長是【解答】解：由題意，此問題的實質(zhì)是以為球心、半徑為 的球在正方體各個面上交線的長度計算因為球半徑小于1，所以球面只與平面，相交，因平面，為過球心的截面，截痕為圓弧，各弧圓心角為，故各段弧長為 這條曲線周長為故答案為：圓弧；17如圖，已知正方體的棱長為，長度為2的線段的一個端點(diǎn)在上運(yùn)動，另一端點(diǎn)在底面上運(yùn)動，則的中點(diǎn)的軌跡（曲面

10、）與共一頂點(diǎn)的三個面所圍成的幾何體的體積為【解答】解：如圖可得，端點(diǎn)在正方形內(nèi)運(yùn)動，連接點(diǎn)與點(diǎn)，由，構(gòu)成一個直角三角形，設(shè)為的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線長度為斜邊的一半可得不論如何變化，點(diǎn)到點(diǎn)的距離始終等于1故點(diǎn)的軌跡是一個以為中心，半徑為1的球的其體積故答案是18正方體中，、分別是棱，上的動點(diǎn)，且，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是直線【解答】解：建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1個單位，由于在上，在上，所以的中點(diǎn)必在該直角坐標(biāo)平面內(nèi)設(shè)，設(shè)，則，如圖，所以，又有，所以，將兩式相加得，顯然，點(diǎn)的軌跡為“直線”故答案為：直線19在長方體中，在線段，上各有一動點(diǎn)，則的中點(diǎn)的軌跡圖形的面積為24【解答】解：設(shè)點(diǎn)、分別為四個側(cè)面的中心，則點(diǎn)的軌跡是以5為邊長的菱形所以其面積為故答案為：2420如圖，在棱長為2的正四面體中，、分別為直線、上的動點(diǎn)，且若記中點(diǎn)的軌跡為，則等于（注表示的測度，在本題，為曲線、平面圖形、空間幾何體時，分別對應(yīng)長度、面積、體積【解答】解：如圖，當(dāng)為中點(diǎn)時，分別在，處，滿足，此時的中點(diǎn)在，的中點(diǎn)，的位置上，當(dāng)為中點(diǎn)時，分別在，處，滿足，此時的中點(diǎn)在，的中點(diǎn)，的位置上，連接，相交于點(diǎn)，則四點(diǎn)，共圓，圓心為，圓的半徑為，則中點(diǎn)的軌跡為為以為圓心，以為半徑的圓，其測度故答案為：21點(diǎn)為正方體的內(nèi)切球球面上的動點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，若球的體積為，則動點(diǎn)的軌跡的長度