
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文檔簡介
1、第8講 立體幾何范圍與最值問題一選擇題(共34小題) 1在空間中有一棱長為的正四面體,其俯視圖的面積的最大值為ABCD【解答】解:由題意當(dāng)線段相對的側(cè)棱與投影面平行時(shí)投影最大,此時(shí)投影是關(guān)于線段對稱的兩個(gè)等腰三角形,由于正四面體的棱長都是1,故投影面積為故選:2已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上,底面滿足,若該三棱錐體積的最大值為,則其外接球的半徑為A1B2C3D【解答】解:如圖所示,由,可得,設(shè)的外接圓的半徑為,當(dāng)平面時(shí),該三棱錐取得體積的最大值為由解得所以,解得故選:3已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在以為直徑的球面上,于,若三棱錐的體積的最大值為,則該球的表面積為ABCD【解答】解:三棱錐的四個(gè)頂
2、點(diǎn)在以為直徑的球面上,如圖所示:由于:為球體的球心,所以:,由于,于,為的中點(diǎn),所以平面,則,故:,由于所以:,解得所以故選:4已知球的直徑,是該球面上的兩點(diǎn),則三棱錐的體積最大值是A2BC4D【解答】解:如圖,球的直徑,是該球面上的兩點(diǎn),(其中為點(diǎn)到底面的距離),故當(dāng)最大時(shí),的體積最大,即當(dāng)面面時(shí),最大,球的直徑,即,此時(shí)故選:5如圖,正三棱錐的側(cè)棱長為,兩側(cè)棱、的夾角為,、分別是、上的動點(diǎn),則的周長的最小值是ABCD【解答】解:三棱錐的側(cè)面展開圖,如圖,的周長的最小值為,由于題 設(shè)知,正三棱錐的側(cè)棱長為所以,故選:6在正三棱錐中,兩兩垂直,點(diǎn)在線段上,且,過點(diǎn)作該正三棱錐外接球的截面,則所
3、得截面圓面積的最小值是ABCD【解答】解:在正三棱錐中,兩兩垂直,構(gòu)造以,為棱長的正方體,且該正方體棱長為,以為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則該正三棱錐外接球球心為中點(diǎn),半徑為,點(diǎn)在線段上,且,過點(diǎn)作該正三棱錐外接球的截面,當(dāng)所得截面圓面積取最小值時(shí)截面圓的圓心為,當(dāng)所得截面圓面積取最小值時(shí)截面圓的半徑為:,過點(diǎn)作該正三棱錐外接球的截面,則所得截面圓面積的最小值為故選:7如圖,在棱長為2的正方體中,點(diǎn)是的中點(diǎn),動點(diǎn)在底面內(nèi)(不包括邊界)若平面,則的最小值是ABCD【解答】解:如圖,在上取中點(diǎn),在上取中點(diǎn),連接,且,平面,則動點(diǎn)的軌跡是,(不含,兩點(diǎn))又平面,則當(dāng)時(shí),取得最小值,
4、故選:8在棱長為1的正方體中,點(diǎn),分別是線段,(不包括端點(diǎn))上的動點(diǎn),且線段平行于平面,則四面體的體積的最大值是ABCD【解答】解:平面,平面,平面平面,設(shè)到平面的距離為,則,故,而,四面體的體積,當(dāng)時(shí)取得最大值故選:9棱長為1的正方體中,點(diǎn),分別是線段,(不包括端點(diǎn)上的動點(diǎn),且線段平行于平面,則四面體的體積的最大值是ABCD【解答】解:由題意在棱長為1的正方體中,點(diǎn),分別是線段,(不包括端點(diǎn))上的動點(diǎn),且線段平行于平面,設(shè),則,到平面的距離為,所以四面體的體積為,當(dāng)時(shí),體積取得最大值:故選:10若一個(gè)四棱錐底面為正方形,頂點(diǎn)在底面的射影為正方形的中心,且該四棱錐的體積為9,當(dāng)其外接球表面積最
5、小時(shí),它的高為A3BCD【解答】解:設(shè)底面邊長,棱錐的高,正四棱錐內(nèi)接于球,在直線上,設(shè)球半徑為,(1)若在線段上,如圖一,則,(2)若在在線段的延長線上,如圖二,則,平面,是直角三角形,或,即當(dāng)且僅當(dāng)取等號,即時(shí)取得最小值故選:11已知正四棱錐中,那么當(dāng)該棱錐的體積最大時(shí),它的高為A1BC2D3【解答】解:設(shè)底面邊長為,則高,所以體積,設(shè),則,當(dāng)取最值時(shí),解得或時(shí),當(dāng)時(shí),體積最大,此時(shí),故選:12已知在半徑為2的球面上有、四點(diǎn),若,則四面體的體積的最大值為ABCD【解答】解:過作平面,使平面,交于,設(shè)點(diǎn)到的距離為,則有,當(dāng)直徑通過與的中點(diǎn)連線時(shí),故故選:13如圖所示,圓形紙片的圓心為,半徑為
6、,該紙片上的正方形的中心為,為圓上的點(diǎn),分別是以,為底邊的等腰三角形沿虛線剪開后,分別以,為折痕折起,使得,重合,得到四棱錐當(dāng)正方形的邊長變化時(shí),所得四棱錐體積(單位:的最大值為ABCD【解答】解:沿虛線剪開后,分別以,為折痕折起,使得,重合,得到四棱錐,由題意得,所得四棱錐體積(單位:,構(gòu)造函數(shù)(a),則(a),當(dāng)(a)時(shí),在內(nèi)遞增,在其他定義域內(nèi)遞減,當(dāng)時(shí),取得最大值,也就是取得最大值,將代入,得:所得四棱錐體積(單位:的最大值為故選:14如圖1,圓形紙片的圓心為,半徑為,該紙片上的正方形的中心為點(diǎn),為圓上的點(diǎn),分別是以,為底邊的等腰三角形沿虛線剪開后,分別以,為折痕折起,使得,重合得到一
7、個(gè)四棱錐(如圖當(dāng)四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍時(shí),異面直線與所成角的余弦值為ABCD【解答】解:如圖,連接交于點(diǎn),設(shè)正方形的邊長為則,由四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍,可得,解得即,所以,所以在四棱錐中,因?yàn)?,所以即為異面直線與所成的角,所以,即異面直線與所成角的余弦值為故選:15如圖,在三棱錐中,底面,于,于,若,則當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí),的值為A2BCD【解答】解:在中,底面,得,平面,可得,平面平面,且,面,結(jié)合平面,可得中,可得,平面,平面中,當(dāng),即時(shí),有最大值為故選:16正方體中,點(diǎn)在上運(yùn)動(包括端點(diǎn)),則與所成角的取值范圍是A,B,C,D,【解答】解:設(shè)與所成角為如圖所示,不妨設(shè)則,0,0,1
8、,0,0,0,1,設(shè),則,故選:17已知與是四面體中相互垂直的棱,若,且,則四面體的體積的最大值是ABC18D36【解答】解:過作,垂足為,連接,平面,又,平面,取的中點(diǎn),則,當(dāng)最大時(shí),棱錐的體積取得最大值又,故當(dāng)最大時(shí),棱錐體積最大,當(dāng)時(shí),取得最大值,此時(shí),棱錐的體積最大值為故選:18在直四棱柱中,底面為菱形,分別是,的中點(diǎn),為的中點(diǎn)且,則的面積的最大值為AB3CD【解答】解:連接交于,底面是菱形,以,為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),棱柱的高為,則,0,到直線的距離,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號故選:19在正四棱錐中,平面于,底面邊長為,點(diǎn),分別在線段,上移動,則兩點(diǎn)的最短距離為ABC2D1【解答】解
9、:如圖,由于點(diǎn)、分別在線段、上移動,先讓點(diǎn)在上固定,在上移動,當(dāng)最小時(shí),最小過作,在中,在上運(yùn)動,且當(dāng)運(yùn)動到點(diǎn)時(shí),最小,又等于的長為,也就是異面直線和的公垂線段的長,故選:20已知二面角為,動點(diǎn),分別在面,內(nèi),到的距離為,到的距離為,則,兩點(diǎn)之間距離最小值為AB2C4D【解答】解:如圖分別作于,于,于,于,連,則,又當(dāng)且僅當(dāng),即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)取最小值故選:21如果,與是夾在平面與之間的兩條線段,且,直線與平面所成的角為,那么線段長的取值范圍是A,B,CD,【解答】解:由題意,在平面,當(dāng)和重合時(shí),、在平面上,、構(gòu)成直角三角形,一內(nèi)角為,此時(shí)最小為;當(dāng)與兩個(gè)面近似平行時(shí),達(dá)到無限長線段長的取值范圍為
10、,故選:22正三棱柱中,各棱長均為2,為中點(diǎn),為的中點(diǎn),則在棱柱的表面上從點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離是ABCD【解答】解:沿著棱將棱柱的側(cè)面展開,故小蟲爬行的最短距離為,故選:23在長方體中,點(diǎn)為的中點(diǎn),點(diǎn)為對角線上的動點(diǎn),點(diǎn)為底面上的動點(diǎn)(點(diǎn)、可以重合),則的最小值為ABCD1【解答】解:由題意,要求的最小值,就是到底面的距離的最小值與的最小值之和,是在底面上的射影距離最小,展開三角形與三角形,在同一個(gè)平面上,如圖,易知,可知時(shí),的最小,最小值為:故選:24在中,點(diǎn)在斜邊上,以為棱把它折成直二面角,折疊后的最小值為ABCD3【解答】解:設(shè),則,作于,于,于是,是直二面角,與成角,當(dāng),即是的平分線時(shí),有
11、最小值,最小值是故選:25在平面四邊形中,且,現(xiàn)將沿著對角線翻折成,則在折起至轉(zhuǎn)到平面內(nèi)的過程中,直線與平面所成的最大角為ABCD【解答】解:如圖,平面四邊形中,連結(jié),交于點(diǎn),且,將沿著對角線翻折成,當(dāng)與以為圓心,為半徑的圓相切時(shí),直線與平面所成角最大,此時(shí),中,與平面所成的最大角為故選:26已知三棱錐中,且與平面成角當(dāng)?shù)闹等〉阶畲笾禃r(shí),二面角的大小為ABCD【解答】解:過作平面,連接并延長交,于,連接,則是在底面上的射影,則,平面,即,則是二面角的平面角,則,要使的值取到最大值,則取得最大,由正弦定理得,當(dāng)取得最大值,即當(dāng)時(shí)取最大值此時(shí),故選:27已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在表面積為的球的球面上
12、,為球的直徑,當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí),設(shè)二面角的大小為,則ABCD【解答】解:如圖所示:由已知得球的半徑為2,為球的直徑,當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí),為等腰直角三角形,在面上的射影為圓心,過圓心作于,連結(jié),則為二面角的平面角,在中,故選:28在正方體中,是底面正方形內(nèi)一點(diǎn),是中點(diǎn)若,與底面所成角相等,則最大值為ABCD【解答】解:連接,則,分別為和與平面所成的角,和與平面所成的角相等,;又為的中點(diǎn),以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別為,軸,建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長為1,則,設(shè),則,即,則的軌跡為圓被正方形所截的一段圓弧,則當(dāng)位于圓弧與的交點(diǎn)位置時(shí),最小為此時(shí)有最大值為故選:29已知的頂點(diǎn)平面,點(diǎn),在平面同側(cè)
13、,且,若,與所成角分別為,則線段長度的取值范圍為A,B,C,D,【解答】解:分別過,作底面的垂線,垂足分別為,由已知可得,如圖,當(dāng),所在平面與垂直,且,在底面上的射影,在點(diǎn)同側(cè)時(shí)長度最小,當(dāng),所在平面與垂直,且,在底面上的射影,在點(diǎn)兩側(cè)時(shí)長度最大過作,垂足為,則,的最小值為,最大值為,的最小值為,最大值為線段長度的取值范圍為,故選:30如圖,空間直角坐標(biāo)系中,正三角形的頂點(diǎn),分別在平面和軸上移動若,則點(diǎn)到原點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為AB2CD3【解答】解:連結(jié),取的中點(diǎn),連結(jié)、,根據(jù)題意可得中,斜邊,又正的邊長為2,對圖形加以觀察,當(dāng),分別在平面和軸上移動時(shí),可得當(dāng)、三點(diǎn)共線時(shí),到原點(diǎn)的距離最遠(yuǎn),且這最遠(yuǎn)
14、距離等于故選:31棱長為2的正方體在空間直角坐標(biāo)系中移動,但保持點(diǎn)、分別在軸、軸上移動,則點(diǎn)到原點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為ABC5D4【解答】解:由題意可知,與和在同一個(gè)平面時(shí),到的距離比較大,如圖:設(shè),則坐標(biāo)為,其中,顯然,故選:32如圖在棱長為2的正方體中為的中點(diǎn),點(diǎn)在線段上,點(diǎn)到直線的距離的最小值為ABCD【解答】解:如圖所示,取的中點(diǎn),連接,底面,四邊形是矩形,又平面,平面,平面直線上任一點(diǎn)到平面的距離是兩條異面直線與的距離過點(diǎn)作,平面平面平面過點(diǎn)作交于點(diǎn),則取,連接,則四邊形是矩形可得平面,在中,得點(diǎn)到直線的距離的最小值為故選:33若點(diǎn),是半徑為2的球面上三點(diǎn),且,則球心到平面的距離最大值為AB
15、CD【解答】解:因?yàn)楫?dāng)截面是以為直徑的圓時(shí),球心到過、兩點(diǎn)的平面的距離最大設(shè)截面圓的圓心為,球心為,則是以的直角三角形,且,球心到截面的距離所以:截面圓半徑為1,球心到截面的距離為:故選:34二面角的平面角為,在面內(nèi),于,在平面內(nèi),于,是棱上的一個(gè)動點(diǎn),則的最小值為A6BCD5【解答】解:將二面角平攤開來,即為圖形當(dāng)、在一條直線時(shí)的最小值,最小值即為對角線而,故故選:二多選題(共1小題)35已知三棱錐中,則A三棱錐的外接球的體積為B三棱錐的外接球的體積為C三棱錐的體積的最大值為D三棱錐的體積的最大值為【解答】解:如圖,的中點(diǎn)為外接球球心,故半徑為1,體積為,當(dāng)面與面相互垂直時(shí),點(diǎn)到面的距離最大
16、,故此時(shí)三棱錐的體積最大,此時(shí)高為;其最大值為:故選:三填空題(共14小題)36已知三棱錐滿足,則該三棱錐體積的最大值為【解答】解:如圖,取中點(diǎn),連接,可得,平面,設(shè),當(dāng)平面平面時(shí),三棱錐體積最大,此時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),故答案為:37設(shè),是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn),為等邊三角形且其面積為,則三棱錐體積的最大值為【解答】解:設(shè),是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn),為等邊三角形且其面積為,解得,球心為,三角形 的外心為,顯然在的延長線與球的交點(diǎn)如圖:,則三棱錐高的最大值為:6,則三棱錐體積的最大值為:故答案為:38點(diǎn)在正方體的側(cè)面及其邊界上運(yùn)動,并保持,若正方體邊長為2,則的取值范圍是,【解答】解
17、:點(diǎn)在正方體的側(cè)面及其邊界上運(yùn)動,并保持,可知:平面與直線垂直,所以在線段上,正方體的棱長為2,所以的最小值為,最大值為2則的取值范圍是,故答案為:,39如圖,在棱長為2的正方體中,點(diǎn)是中點(diǎn),動點(diǎn)在底面內(nèi)(不包括邊界),使四面體體積為,則的最小值是【解答】解:由題意,故將底面建立一個(gè)如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系:,在中,根據(jù)題意,動點(diǎn)為底面內(nèi)任意一點(diǎn),設(shè),交于點(diǎn),則解得動點(diǎn)的軌跡為與直線距離為的一條平行線又,直線,即點(diǎn)到直線距離點(diǎn)到到點(diǎn)的最小距離點(diǎn)到到點(diǎn)的最小值為故答案為:40棱長為1的正方體如圖所示,分別為直線,上的動點(diǎn),則線段長度的最小值為【解答】解:棱長為1的正方體如圖所示,分別為直線,上
18、的動點(diǎn),線段長度的最小值是異面直線與間的距離,以為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,0,1,1,1,1,1,線段長度的最小值:故答案為:41如圖,在棱長為1的正方體中,點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)當(dāng)在平面,上的正投影都為三角形時(shí),將它們的面積分別記為,當(dāng)時(shí),(填“”或“”或“” ;的最大值為【解答】解:設(shè)在平面和平面上的投影分別為,則、到平面的距離相等,即,設(shè)在底面的投影為,則在上,設(shè)且,則,當(dāng)時(shí),取得最大值故答案為:,42在棱長為1的正方體中,點(diǎn)是棱的中點(diǎn),點(diǎn)是線段上的動點(diǎn),點(diǎn)是線段上的動點(diǎn),設(shè)直線與平面所成的角為,則的最大值為【解答】解:如圖,不妨取為,直線在平面中,直線與平面所成的角的最大
19、值就是二面角的大小,過作,連結(jié),就是所求角正方體的棱長為1,故答案為:43如圖,圓形紙片的圓心為,半徑為,該紙片上的等邊三角形的中心為,為圓上的點(diǎn),分別是以,為底邊的等腰三角形沿虛線剪開后,分別以,為折痕折起,使得,重合,得到三棱錐當(dāng)所得三棱錐體積(單位:最大時(shí),的邊長為【解答】解:由題意,連接,交于點(diǎn),由題意得,設(shè),則,三棱錐的高,則,令,令,即,解得,則(2),體積最大值為此時(shí)的邊長為故答案為:44在棱長為1的正方體中,為線段的中點(diǎn),是棱上的動點(diǎn),若點(diǎn)為線段上的動點(diǎn),則的最小值為【解答】解:連接,則,點(diǎn)、在平面中,且,如圖1所示;在中,以為軸,為軸,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖2所示;則,;設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為,的方程為,直線的方程為,由組成方程組,解得,直線與的交點(diǎn),;所以對稱點(diǎn),故答案為:45在正方體中,為棱的中點(diǎn),且,點(diǎn)為底面所在平面上一點(diǎn),若直線,與底面所成的角相等,則動點(diǎn)的軌跡所圍成的幾何圖形的
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