代數(shù)發(fā)展簡史

1、代數(shù)發(fā)展簡史一門科學(xué)的歷史是那門科學(xué)中最寶貴的一部分，因為科學(xué)只能給我們知識而歷史卻能 給我們智慧。數(shù)學(xué)的歷史是重要的，它是文明史的有價值的組成部分，人類的進(jìn)步和科學(xué)思 想是一致的。F. Cajori0、引言數(shù)學(xué)發(fā)展到現(xiàn)在，已經(jīng)成為科學(xué)世界中擁有100多個主要分支學(xué)科的龐大的“共和國”。 大體說來，數(shù)學(xué)中研究數(shù)的部分屬于代數(shù)學(xué)的范疇；研究形的部分，屬于幾何學(xué)的范籌；溝 通形與數(shù)且涉及極限運算的部分，屬于分析學(xué)的范圍。這三大類數(shù)學(xué)構(gòu)成了整個數(shù)學(xué)的本體 與核心。在這一核心的周圍，由于數(shù)學(xué)通過數(shù)與形這兩個概念，與其它科學(xué)互相滲透，而出 現(xiàn)了許多邊緣學(xué)科和交叉學(xué)科。在此簡要介紹代數(shù)學(xué)的有關(guān)歷史發(fā)展情況

2、?！按鷶?shù)algebra) 一詞最初來源于公元9世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家、天文學(xué)家阿爾花拉子米(al-Khowarizmi，約780 850) 一本著作的名稱，書名的阿拉伯文是ilm al-jabr wal muqabalah，直譯應(yīng)為還原與 對消的科學(xué).al-jabr意為還原”，這里指把負(fù)項移到方程另一端還原”為正項；muqabalah 意即對消”或化簡”，指方程兩端可以消去相同的項或合并同類項.在翻譯中把“al-jabr”譯 為拉丁文aljebra”，拉丁文aljebra”一詞后來被許多國家采用，英文譯作“algebra”。阿布賈法爾穆罕默德伊本穆薩阿爾一花拉子米的傳記材料，很少流傳下來.一般認(rèn)為

3、他生于花拉子模Khwarizm，位于阿姆河下游，今烏茲別克境內(nèi)的希瓦城(XuBa)附近，故以 花拉子米為姓.另一說他生于巴格達(dá)附近的庫特魯伯利(Qut-rubbulli).祖先是花拉子模人.花 拉子米是拜火教徒的后裔，早年在家鄉(xiāng)接受初等教育，后到中亞細(xì)亞古城默夫(MepB)繼續(xù)深 造，并到過阿富汗、印度等地游學(xué)，不久成為遠(yuǎn)近聞名的科學(xué)家.東部地區(qū)的總督馬蒙 (al-MamUn，公元786-833年)曾在默夫召見過花拉子米.公元813年，馬蒙成為阿拔斯王 朝的哈利發(fā)后，聘請花拉子米到首都巴格達(dá)工作.公元830年，馬蒙在巴格達(dá)創(chuàng)辦了著名的 “智慧館”(Bayt al-Hikmah，是自公元前3世紀(jì)

4、亞歷山大博物館之后最重要的學(xué)術(shù)機(jī)關(guān))，花拉 子米是智慧館學(xué)術(shù)工作的主要領(lǐng)導(dǎo)人之一.馬蒙去世后，花拉子米在后繼的哈利發(fā)統(tǒng)治下仍 留在巴格達(dá)工作，直至去世.花拉子米生活和工作的時期，是阿拉伯帝國的政治局勢日漸安 定、經(jīng)濟(jì)發(fā)展、文化生活繁榮昌盛的時期.花拉子米科學(xué)研究的范圍十分廣泛，包括數(shù)學(xué)、天文學(xué)、歷史學(xué)和地理學(xué)等領(lǐng)域.他 撰寫了許多重要的科學(xué)著作.在數(shù)學(xué)方面，花拉子米編著了兩部傳世之作：代數(shù)學(xué)和印 度的計算術(shù).1859年，我國數(shù)學(xué)家李善蘭首次把“algebra”譯成“代數(shù)”。后來清代學(xué)者華蘅芳和英國人 傅蘭雅合譯英國瓦里斯的代數(shù)學(xué)，卷首有“代數(shù)之法，無論何數(shù)，皆可以任何記號代之”， 亦即：代數(shù)，

5、就是運用文字符號來代替數(shù)字的一種數(shù)學(xué)方法。古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖(Diophantus)用文字縮寫來表示未知量，在公元250年前后丟番圖 寫了一本數(shù)學(xué)巨著算術(shù)(Arithmetical其中他引入了未知數(shù)的概念，創(chuàng)設(shè)了未知數(shù)的符 號，并有建立方程序的思想。故有“代數(shù)學(xué)之父” (Father of algebra)的稱號。代數(shù)是巴比倫人、希臘人、阿拉伯人、中國人、印度人和西歐人一棒接一棒而完成的偉 大數(shù)學(xué)成就。發(fā)展至今，它包含算術(shù)、初等代數(shù)、高等代數(shù)、數(shù)論、抽象代數(shù)五個部分1、算術(shù)算術(shù)給予我們一個用之不竭的、充滿有趣真理的寶庫。-高斯(Gauss,1777-1855)數(shù)可以說成是統(tǒng)治整個量的世界，而算

6、術(shù)的四則可以被認(rèn)為是作為數(shù)學(xué)家的完全的裝備。-麥斯韋(James Clark Maxwell 1831-1879)算術(shù)有兩種含義，一種是從中國傳下來的，相當(dāng)于一般所說的“數(shù)學(xué)”，如九章算術(shù)等。 另一種是從歐洲數(shù)學(xué)翻譯過來的，源自希臘語，有“計算技術(shù)”之意?，F(xiàn)在一般所說的“算術(shù)”， 往往指自然數(shù)的四則運算；如果是在高等數(shù)學(xué)中，則有“數(shù)論”的含義。作為現(xiàn)代小學(xué)課程內(nèi) 容的算術(shù)，主要講的是自然數(shù)、正分?jǐn)?shù)以及它們的四則運算，并通過由計數(shù)和度量而引起的 一些最簡單的應(yīng)用題加以鞏固。算術(shù)是數(shù)學(xué)中最古老的一個分支，它的一些結(jié)論是在長達(dá)數(shù)千年的時間里，緩慢而逐漸 地建立起來的。它們反映了在許多世紀(jì)中積累起來，

7、并不斷凝固在人們意識中的經(jīng)驗。自然數(shù)是在對于對象的有限集合進(jìn)行計算的過程中，產(chǎn)生的抽象概念。日常生活中要求 人們不僅要計算單個的對象，還要計算各種量，例如長度、重量和時間。為了滿足這些簡單 的量度需要，就要用到分?jǐn)?shù)?，F(xiàn)代初等算術(shù)運算方法的發(fā)展，起源于印度，時間可能在10世紀(jì)或11世紀(jì)。它后來被 阿拉伯人采用，之后傳到西歐。15世紀(jì)，它被改造成現(xiàn)在的形式。在印度算術(shù)的后面，明 顯地存在著我國古代的影響。19世紀(jì)中葉，格拉斯曼（Grassmann）第一次成功地挑選出一個基本公理體系，來定義加 法與乘法運算；而算術(shù)的其它命題，可以作為邏輯的結(jié)果，從這一體系中被推導(dǎo)出來。后來， 皮亞諾（Peano）進(jìn)

8、一步完善了格拉斯曼的體系。算術(shù)的基本概念和邏輯推論法則，以人類的實踐活動為基礎(chǔ)，深刻地反映了世界的客觀 規(guī)律性。盡管它是高度抽象的，但由于它概括的原始材料是如此廣泛，因此我們幾乎離不開 它。同時，它又構(gòu)成了數(shù)學(xué)其它分支的最堅實的基礎(chǔ)。2、初等代數(shù)作為中學(xué)數(shù)學(xué)課程主要內(nèi)容的初等代數(shù)，其中心內(nèi)容是方程理論。代數(shù)一詞的拉丁文原 意是歸位”。代數(shù)方程理論在初等代數(shù)中是由一元一次方程向兩個方面擴(kuò)展的：其一是增加 未知數(shù)的個數(shù)，考察由有幾個未知數(shù)的若干個方程所構(gòu)成的二元或三元方程組（主要是一次 方程組）；其二是增高未知量的次數(shù)，考察一元二次方程或準(zhǔn)二次方程。初等代數(shù)的主要內(nèi) 容在16世紀(jì)便已基本上發(fā)展完備

9、了。古巴比倫（公元前19世紀(jì)前17世紀(jì)）解決了一次和二次方程問題，歐幾里得的原本 （公元前4世紀(jì)）中就有用幾何形式解二次方程的方法。我國的九章算術(shù)（公元1世紀(jì)）中 有三次方程和一次聯(lián)立方程組的解法，并運用了負(fù)數(shù)。3世紀(jì)的丟番圖用有理數(shù)求一次、二 次不定方程的解。13世紀(jì)我國出現(xiàn)的天元術(shù)（李冶測圓海鏡）是有關(guān)一元高次方程的數(shù)值 解法。16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)了三次和四次方程的解法。代數(shù)學(xué)符號發(fā)展的歷史，可分為三個階段。第一個階段為三世紀(jì)之前，對問題的解不用 縮寫和符號，而是寫成一篇論文，稱為文字?jǐn)⑹龃鷶?shù)。第二個階段為三世紀(jì)至16世紀(jì)，對 某些較常出現(xiàn)的量和運算采用了縮寫的方法，稱為簡化代數(shù)。三世

10、紀(jì)的丟番圖的杰出貢獻(xiàn)之 一，就是把希臘代數(shù)學(xué)簡化，開創(chuàng)了簡化代數(shù)。然而此后文字?jǐn)⑹龃鷶?shù)，在除了印度以外的 世界其它地方，還十分普通地存在了好幾百年，尤其在西歐一直到15世紀(jì)。第三個階段為 16世紀(jì)以后，對問題的解多半表現(xiàn)為由符號組成的數(shù)學(xué)速記，這些符號與所表現(xiàn)的內(nèi)容沒 有什么明顯的聯(lián)系，稱為符號代數(shù)。韋達(dá)（Viete）在他的分析方法入門（Inartem analyticem isagoge,1591）著作中，首次系統(tǒng)地使用了符號表示未知量的值進(jìn)行運算，提出符號運算與 數(shù)的區(qū)別，規(guī)定了代數(shù)與算術(shù)的分界。韋達(dá)是第一個試圖創(chuàng)立一般符號代數(shù)的的數(shù)學(xué)家，他 開創(chuàng)的符號代數(shù)，經(jīng)笛卡爾（Descarte）改

11、進(jìn)后成為現(xiàn)代的形式。笛卡爾用小寫字母a, b, c 等表示已知量，而用x, y, z代表未知量。這種用法已經(jīng)成為當(dāng)今的標(biāo)準(zhǔn)用法?！?”、“一” 號第一次在數(shù)學(xué)書中出現(xiàn)，是1489年維德曼的著作商業(yè)中的巧妙速算法（Behend und hupsch Rechnung uff alien kauffmanschafften, 1489）。不過正式為大家所公認(rèn)，作為加、減法 運算的符號，那是從1514年由荷伊克開始的。1540年，雷科德（R. Rcorde）開始使用現(xiàn)在使 用的“=”。到1591年，韋達(dá)在著作中大量使用后，才逐漸為人們所接受。1600年哈里奧特 （T. Harriot）創(chuàng)用大于號“”

12、和小于號“V”。1631年，奧屈特給出、偵作為乘除運算符。1637年，笛卡爾第一次使用了根號，并引進(jìn)用字母表中頭前的字母表示已知數(shù)、后面的字 母表示未知數(shù)的習(xí)慣做法。至于“卡”、才”、3”這三個符號的出現(xiàn)，那是近代的事了。數(shù)的概念的拓廣，在歷史上并不全是由解代數(shù)方程所引起的，但習(xí)慣上仍把它放在初等 代數(shù)里，以求與這門課程的安排相一致。公元前4世紀(jì)，古希臘人發(fā)現(xiàn)無理數(shù)。公元前2 世紀(jì)（西漢時期），我國開始應(yīng)用負(fù)數(shù)。1545年，意大利的卡爾達(dá)諾（N. Cardano）在大術(shù)中 開始使用虛數(shù)。1614年，英國的耐普爾發(fā)明對數(shù)。17世紀(jì)末，一般的實數(shù)指數(shù)概念才逐步 形成。3、高等代數(shù)在高等代數(shù)中，一次

13、方程組（即線性方程組）發(fā)展成為線性代數(shù)理論；而二次以上方程 發(fā)展成為多項式理論。前者是向量空間、線性變換、型論、不變量論和張量代數(shù)等內(nèi)容的一 門近世代數(shù)分支學(xué)科，而后者是研究只含有一個未知量的任意次方程的一門近世代數(shù)分支學(xué) 科。作為大學(xué)課程的高等代數(shù)，只研究它們的基礎(chǔ)。高次方程組（即非線性方程組）發(fā)展成 為一門比較現(xiàn)代的數(shù)學(xué)理論一代數(shù)幾何。線性代數(shù)是高等代數(shù)的一大分支。我們知道一次方程叫做線性方程，討論線性方程及線 性運算的代數(shù)就叫做線性代數(shù)。在線性代數(shù)中最重要的內(nèi)容就是行列式和矩陣。行列式和矩 陣在十九世紀(jì)受到很大的注意，而且寫了成千篇關(guān)于這兩個課題的文章。向量的概念，從數(shù) 學(xué)的觀點來看不過

14、是有序三元數(shù)組的一個集合，然而它以力或速度作為直接的物理意義，并 且數(shù)學(xué)上用它能立刻寫出物理上所說的事情。向量用于梯度，散度，旋度就更有說服力。同 樣，行列式和矩陣如導(dǎo)數(shù)一樣（雖然在數(shù)學(xué)上不過是一個符號，表示包括的極限的長式子， 但導(dǎo)數(shù)本身是一個強(qiáng)有力的概念，能使我們直接而創(chuàng)造性地想象物理上發(fā)生的事情）。因此， 雖然表面上看，行列式和矩陣不過是一種語言或速記，但它的大多數(shù)生動的概念能對新的思 想領(lǐng)域提供鑰匙。然而已經(jīng)證明這兩個概念是數(shù)學(xué)物理上高度有用的工具。線性代數(shù)學(xué)科和矩陣?yán)碚撌前殡S著線性系統(tǒng)方程系數(shù)研究而引入和發(fā)展的。十七世紀(jì)日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和提出了行列式（determinant）的概念，他

15、在1683年寫了一部 叫做解伏題之法的著作，意思是解行列式問題的方法”，書里對行列式的概念和它的展 開已經(jīng)有了清楚的敘述。而在歐洲，第一個提出行列式概念的是德國的數(shù)學(xué)家，微積分學(xué)奠 基人之一萊布尼茲（Leibnitz，1693年）。1750年克萊姆（Cramer）在他的線性代數(shù)分析 導(dǎo)言（Introduction d lanalyse des lignes courbes algebriques）中發(fā)表了求解線性系統(tǒng)方程的 重要基本公式（既人們熟悉的Cramer克萊姆法則）。1764年，Bezout把確定行列式每一項 的符號的手續(xù)系統(tǒng)化了。對給定了含n個未知量的n個齊次線性方程，Bezout證

16、明了系數(shù) 行列式等于零是這方程組有非零解的條件Wandermonde是第一個對行列式理論進(jìn)行系統(tǒng)的 闡述（即把行列式理論與線性方程組求解相分離）的人。并且給出了一條法則，用二階子式 和它們的余子式來展開行列式。就對行列式本身進(jìn)行研究這一點而言，他是這門理論的奠基 人。參照克萊姆和Bezout的工作，1772年，Laplace在對積分和世界體系的探討中，證明 了 Vandermonde的一些規(guī)則，并推廣了他的展開行列式的方法，用r行中所含的子式和它 們的余子式的集合來展開行列式，這個方法現(xiàn)在仍然以他的名字命名。1841年，德國數(shù)學(xué) 家雅可比（Jacobi）總結(jié)并提出了行列式的最系統(tǒng)的理論。另一個

17、研究行列式的是法國最偉 大的數(shù)學(xué)家柯西（Cauchy），他大大發(fā)展了行列式的理論，在行列式的記號中他把元素排成 方陣并首次采用了雙重足標(biāo)的新記法，與此同時發(fā)現(xiàn)兩行列式相乘的公式及改進(jìn)并證明了 laplace的展開定理。相對而言，最早利用矩陣概念的是拉格朗日（Lagrange）在1700年后 的雙線性型工作中體現(xiàn)的。拉格朗日期望了解多元函數(shù)的最大、最小值問題，其方法就是人 們知道的拉格朗日迭代法。為了完成這些，他首先需要一階偏導(dǎo)數(shù)為0，另外還要有二階偏 導(dǎo)數(shù)矩陣的條件。這個條件就是今天所謂的正、負(fù)的定義。盡管拉格朗日沒有明確地提出利 用矩陣。大約在1800年，高斯（Gauss）提出了高斯消元法并

18、用它解決了天體計算和后來的 地球表面測量計算中的最小二乘法問題。（這種涉及測量、求取地球形狀或當(dāng)?shù)鼐_位置的 應(yīng)用數(shù)學(xué)分支稱為測地學(xué)。）雖然高斯由于這個技術(shù)成功地消去了線性方程的變量而出名， 但早在幾世紀(jì)中國人的手稿中就出現(xiàn)了解釋如何運用高斯”消去的方法求解帶有三個未知 量的三方程系統(tǒng)。在當(dāng)時的幾年里，高斯消去法一直被認(rèn)為是測地學(xué)發(fā)展的一部分，而不是 數(shù)學(xué)。而1764年，Bezout把確定行列式每一項的符號的手續(xù)系統(tǒng)化了。對給定了含n個未 知量的n個齊次線性方程，Bezout證明了系數(shù)行列式等于零是這方程組有非零解的條件。 Vandermonde是第一個對行列式理論進(jìn)行系統(tǒng)的闡述（即把行列式理

19、論與線性方程組求解相 分離）的人。并且給出了一條法則，用二階子式和它們的余子式來展開行列式。就對行列式 本身進(jìn)行研究這一點而言，他是這門理論的奠基人。參照克萊姆和Bezout的工作，1772年，Laplace在對積分和世界體系的探討中，證明 了 Vandermonde的一些規(guī)則，并推廣了他的展開行列式的方法，用r行中所含的子式和它 們的余子式的集合來展開行列式，這個方法現(xiàn)在仍然以他的名字命名。1841年，德國數(shù)學(xué) 家雅可比（Jacobi）總結(jié)并提出了行列式的最系統(tǒng)的理論。另一個研究行列式的是法國最偉 大的數(shù)學(xué)家柯西（Cauchy），他大大發(fā)展了行列式的理論，在行列式的記號中他把元素排成 方陣并

20、首次采用了雙重足標(biāo)的新記法，與此同時發(fā)現(xiàn)兩行列式相乘的公式及改進(jìn)并證明了 laplace的展開定理。相對而言，最早利用矩陣概念的是拉格朗日（Lagrange）在1700年后 的雙線性型工作中體現(xiàn)的。拉格朗日期望了解多元函數(shù)的最大、最小值問題，其方法就是人 們知道的拉格朗日迭代法。為了完成這些，他首先需要一階偏導(dǎo)數(shù)為0，另外還要有二階偏 導(dǎo)數(shù)矩陣的條件。這個條件就是今天所謂的正、負(fù)的定義。盡管拉格朗日沒有明確地提出利 用矩陣。大約在1800年，高斯（Gauss）提出了高斯消元法并用它解決了天體計算和后來的 地球表面測量計算中的最小二乘法問題。（這種涉及測量、求取地球形狀或當(dāng)?shù)鼐_位置的 應(yīng)用數(shù)學(xué)

21、分支稱為測地學(xué)。）雖然高斯由于這個技術(shù)成功地消去了線性方程的變量而出名， 但早在幾世紀(jì)中國人的手稿中就出現(xiàn)了解釋如何運用高斯”消去的方法求解帶有三個未知 量的三方程系統(tǒng)。在當(dāng)時的幾年里，高斯消去法一直被認(rèn)為是測地學(xué)發(fā)展的一部分，而不是 數(shù)學(xué)。而高斯-約當(dāng)消去法則最初是出現(xiàn)在由Wilhelm Jordan撰寫的測地學(xué)手冊中。許多 人把著名的數(shù)學(xué)家Camille Jordan誤認(rèn)為是“高斯-約當(dāng)消去法中的約當(dāng)。矩陣代數(shù)的豐富發(fā)展，人們需要有合適的符號和合適的矩陣乘法定義。二者要在大約同 一時間和同一地點相遇。1848年，英格蘭的J.J. Sylvester首先提出了矩陣（matrix）這個詞， 它

22、來源于拉丁語，代表一排數(shù)。在1855年矩陣代數(shù)得到了 Arthur Cayley的進(jìn)一步發(fā)展Cayley 研究了線性變換的組成并提出了矩陣乘法的定義，使得復(fù)合變換ST的系數(shù)矩陣變?yōu)榫仃嘢 和矩陣T的乘積。他還進(jìn)一步研究了那些包括矩陣的逆在內(nèi)的代數(shù)問題。1858年，Cayley 在他的矩陣?yán)碚撐募刑岢鲋腃ayley-Hamilton理論，即斷言一個矩陣的平方就是它的 特征多項式的根。利用單一的字母A來表示矩陣是對矩陣代數(shù)發(fā)展至關(guān)重要的。在發(fā)展的 早期公式det（AB）=det（A）det （B）為矩陣代數(shù)和行列式間提供了一種聯(lián)系。數(shù)學(xué)家Cauchy 首先給出了特征方程的術(shù)語，并證明了階數(shù)超

23、過3的矩陣有特征值及任意階實對稱行列式都 有實特征值;給出了相似矩陣的概念，并證明了相似矩陣有相同的特征值;研究了代換理論。數(shù)學(xué)家試圖研究向量代數(shù)，但在任意維數(shù)中并沒有兩個向量乘積的自然定義。第一個涉 及一個不可交換向量積（既VxW不等于WxV）的向量代數(shù)是由Hermann Grassmann在他的 線性擴(kuò)張論（Die lineale Ausdehnungslehre）一書中提出的（1844）。他的觀點還被引入 一個列矩陣和一個行矩陣的乘積中，結(jié)果就是現(xiàn)在稱之為秩數(shù)為1的矩陣，或簡單矩陣。在 19世紀(jì)末美國數(shù)學(xué)物理學(xué)家Willard Gibbs發(fā)表了關(guān)于向量分析基礎(chǔ)（Elements of V

24、ector Analysis）的著名論述。其后物理學(xué)家P.A.M. Dirac提出了行向量和列向量的乘積為標(biāo)量。我 們習(xí)慣的列矩陣和向量都是在20世紀(jì)由物理學(xué)家給出的。矩陣的發(fā)展是與線性變換密切相連的。到19世紀(jì)它還僅占線性變換理論形成中有限的空 間?，F(xiàn)代向量空間的定義是由Peano于1888年提出的。二次世界大戰(zhàn)后隨著現(xiàn)代數(shù)字計算 機(jī)的發(fā)展，矩陣又有了新的含義，特別是在矩陣的數(shù)值分析等方面。由于計算機(jī)的飛速發(fā)展 和廣泛應(yīng)用，許多實際問題可以通過離散化的數(shù)值計算得到定量的解決。于是作為處理離散 問題的線性代數(shù)，成為從事科學(xué)研究和工程設(shè)計的科技人員必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。4、數(shù)論以正整數(shù)作為研究對象的數(shù)

25、論，可以看作是算術(shù)的一部分，但它不是以運算的觀點，而 是以數(shù)的結(jié)構(gòu)的觀點，即一個數(shù)可用性質(zhì)較簡單的其它數(shù)來表達(dá)的觀點來研究數(shù)的。因此可 以說，數(shù)論是研究由整數(shù)按一定形式構(gòu)成的數(shù)系的科學(xué)。早在公元前3世紀(jì)，歐幾里得的原本討論了整數(shù)的一些性質(zhì)。他證明素數(shù)的個數(shù)是 無窮的，他還給出了求兩個數(shù)的公約數(shù)的輾轉(zhuǎn)相除法。這與我國九章算術(shù)中的更相減 損法”是相同的。埃拉托色尼則給出了尋找不大于給定的自然數(shù)N的全部素數(shù)的篩法”：在 寫出從1到N的全部整數(shù)的紙草上，依次挖去2、3、5、7的倍數(shù)(各自的2倍，3倍，) 以及1，在這篩子般的紙草上留下的便全是素數(shù)了。當(dāng)兩個整數(shù)之差能被正整數(shù)m除盡時，便稱這兩個數(shù)對于模

26、”m同余。我國孫子算經(jīng) 代數(shù)等許多分支，并與數(shù)學(xué)其它分支相結(jié)合產(chǎn)生了代數(shù)幾何、代數(shù)數(shù)論、代數(shù)拓?fù)?、拓?fù)淙?等新的數(shù)學(xué)學(xué)科。抽象代數(shù)已經(jīng)成了當(dāng)代大部分?jǐn)?shù)學(xué)的通用語言。被譽為天才數(shù)學(xué)家的伽羅瓦(Galois, Evariste,1811-1832)是近世代數(shù)的創(chuàng)始人之一。他深 入研究了一個方程能用根式求解所必須滿足的本質(zhì)條件，他提出的伽羅瓦域”、伽羅瓦群” 和伽羅瓦理論”都是近世代數(shù)所研究的最重要的課題。伽羅瓦群理論被公認(rèn)為十九世紀(jì)最杰 出的數(shù)學(xué)成就之一。他給方程可解性問題提供了全面而透徹的解答，解決了困擾數(shù)學(xué)家們長 達(dá)數(shù)百年之久的問題。伽羅瓦群論還給出了判斷幾何圖形能否用直尺和圓規(guī)作圖的一般判別

27、 法，圓滿解決了三等分任意角或倍立方體的問題都是不可解的。最重要的是，群論開辟了全 新的研究領(lǐng)域，以結(jié)構(gòu)研究代替計算，把從偏重計算研究的思維方式轉(zhuǎn)變?yōu)橛媒Y(jié)構(gòu)觀念研究 的思維方式，并把數(shù)學(xué)運算歸類，使群論迅速發(fā)展成為一門嶄新的數(shù)學(xué)分支，對近世代數(shù)的 形成和發(fā)展產(chǎn)生了巨大影響。同時這種理論對于物理學(xué)、化學(xué)的發(fā)展，甚至對于二十世紀(jì)結(jié) 構(gòu)主義哲學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展都發(fā)生了巨大的影響。1843年，哈密頓(Hamilton, W. R.)發(fā)明了一種乘法交換律不成立的代數(shù)一一四元數(shù)代數(shù)。 第二年，Grassmann推演出更有一般性的幾類代數(shù)。1857年，Cayley設(shè)計出另一種不可交換 的代數(shù)一一矩陣代數(shù)。他們的

28、研究打開了抽象代數(shù)(也叫近世代數(shù))的大門。實際上，減弱或 刪去普通代數(shù)的某些假定，或?qū)⒛承┘俣ù詣e的假定與其余假定是兼容的)，就能研究 出許多種代數(shù)體系。1870年，克隆尼克(Kronecker)給出了有限阿貝爾群的抽象定義；狄德金開始使用體”的說 法，并研究了代數(shù)體；1893年，韋伯定義了抽象的體；1910年，施坦尼茨展開了體的一般 抽象理論；狄德金和克隆尼克創(chuàng)立了環(huán)論；1910年，施坦尼茨總結(jié)了包括群、代數(shù)、域等 在內(nèi)的代數(shù)體系的研究，開創(chuàng)了抽象代數(shù)學(xué)。有一位杰出女?dāng)?shù)學(xué)家被公認(rèn)為抽象代數(shù)奠基人之一，被譽為代數(shù)女皇，她就是諾特(Emmy Noether), 1882年3月23日生于德國埃爾朗根，1900年入埃朗根大學(xué)，1907年在數(shù)學(xué)家哥 爾丹指導(dǎo)下獲博士學(xué)位。諾特的工作在代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)、代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何的發(fā)展中有重要影響。1907-1919年，她 主要研究代數(shù)不變式及微分不變式。她在博士論文中給出三元四次型的不變式的完全組。還 解決了有理函數(shù)域的有限有理基的存在問題。對有限群的不變式具有有限基給出一個構(gòu)造性 證明。她不用消去法