關(guān)于蹦極的受力分析及數(shù)學(xué)建模

1、關(guān)于蹦極的受力分析及數(shù)學(xué)建模摘要本文對(duì)人在蹦極跳過(guò)程中受到的重力、拉力和空氣阻力等，分階段進(jìn)行了詳細(xì)的受力分析，并根據(jù)牛頓第二定律，利用微分的理念證明了在人的質(zhì)量和彈簧繩長(zhǎng)度確定的條件下，蹦極者能夠達(dá)到的最大速度和彈簧繩最大拉伸長(zhǎng)度是一定的（選擇不同的繩長(zhǎng)可以獲得不同的最大速度，得到不同的刺激體驗(yàn)）。其次，分別在忽略或考慮空氣阻力影響（數(shù)據(jù)借鑒自華東師大研究生數(shù)學(xué)建模比賽題目的條件）的基礎(chǔ)上，探討了蹦極過(guò)程中質(zhì)量，繩長(zhǎng)和最大速度，彈簧繩最大伸長(zhǎng)量之間的關(guān)系。利用這個(gè)模型，蹦極活動(dòng)經(jīng)營(yíng)者可以改進(jìn)服務(wù)，讓消費(fèi)者可以根據(jù)自身體重選擇合適的彈簧繩長(zhǎng)度，得到自己能夠接受的最大速度和下跳深度，讓蹦極運(yùn)動(dòng)成

2、為一種可“自選式的”刺激體驗(yàn)。讓更多的消費(fèi)者接受。數(shù)學(xué)建模MATLAB蹦極 前言蹦極(bungeejumping)是從國(guó)外開始流行、傳入我國(guó)的一項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，由于蹦極時(shí)失重、速度與加速度帶給人感官的極度體驗(yàn),使得這項(xiàng)運(yùn)動(dòng)深受喜歡刺激和冒險(xiǎn)的青年的青睞。目前的蹦極塔多選在懸崖或水庫(kù)上，讓跳蹦極的人在跳下后第一次能“差一點(diǎn)兒”碰到水面，帶給人最大的感官刺激。雖然保證安全，但是能夠享受這樣強(qiáng)烈刺激的人畢竟是很少數(shù)，所以至今蹦極也還被歸類為極限運(yùn)動(dòng)，一定程度上限制了其推廣本文根據(jù)牛頓第二定律，對(duì)蹦極者在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到的重力、拉力和空氣阻力等進(jìn)行受力分析，找到最大速度Vmax和蹦極者質(zhì)量m、彈簧繩長(zhǎng)度L之間的

3、關(guān)系。根據(jù)分析建立起來(lái)的數(shù)學(xué)模型，可以指導(dǎo)蹦極經(jīng)營(yíng)者對(duì)現(xiàn)有設(shè)施稍作修改，讓蹦極者可以“自選”能夠接受的最大速度和下跳深度，讓更廣大的消費(fèi)者人群能夠體驗(yàn)蹦極運(yùn)動(dòng)帶給人的刺激和樂趣。忽略空氣阻力條件下，在蹦極者下落過(guò)程中，其受力與運(yùn)動(dòng)情況在不同的階段下是不相同的：第一階段，彈簧繩沒有全部展開，蹦極者所受彈簧拉力為零，做自由落體運(yùn)動(dòng)；第二階段，彈簧繩開始被拉伸，蹦極者開始受到向上的彈力，蹦極者下落速度雖仍在增加，但加速度減??；第三階段，彈簧繩拉力和重力相等，此時(shí)加速度為零，蹦極者速度達(dá)到最大值；第四階段，彈簧繩繼續(xù)被拉伸，彈力開始大于重力。蹦極者下落速度減小，直到為零時(shí)，達(dá)到最低位置。之后蹦極者會(huì)在

4、彈力作用下回升并再次下落，經(jīng)過(guò)幾個(gè)來(lái)回后靜止下來(lái)。但最大速度和彈簧繩伸長(zhǎng)量都不會(huì)超過(guò)初次下落。所以計(jì)算蹦極者的最大速度，就考慮初次下落即可。分析及推導(dǎo)一、不考慮空氣阻力時(shí)推導(dǎo)蹦極者的最大速度和下跳深度設(shè)蹦極繩長(zhǎng)為L(zhǎng)，初速度v0二0，則l=2gt2蹦極繩長(zhǎng)全部展開時(shí)人的速度為：v=2LgL之后，人不僅受到重力，還受到繩的拉力，加速度在減小，速度仍在增加，直至加速度為0時(shí)，速度最大。設(shè)加速度為0時(shí)，蹦極繩被拉長(zhǎng)量AL,此時(shí)mg二kgAL，即AL=m(k=7.4408千克/米k為了求解最大速度，將AL平均分成n小份，每一小份中，認(rèn)為繩的拉力相同，人的加速度相同。TOC o 1-5 h zAL1在第一

5、小份中，認(rèn)為a=g，貝U=vAt+aAt2，1nL1211其中At1為繩子第一次拉長(zhǎng)牛所需的時(shí)間，對(duì)上式求解得到:12gAL-v+v2+lYlng!2aAL-v+v2+1At=LLn.1a1所以，繩子拉長(zhǎng)時(shí)的速度為:nv=v+aAt=v+gAt=、L+1L11L1:v2+2gAL，ln在第二小份中，同樣認(rèn)為人的加速度也相同，由mg-炮半=叫得kgALa=g-2mn貝yL=vAt+aAt2,TOC o 1-5 h znl+i2222其中篦為繩子第二次拉長(zhǎng)牛所需的時(shí)間，對(duì)上式求解得到:12aAL-v+.v2+2.l+1jl+1At=v=v+aAt=L+2L+122I2aALv2+2:l+1n22A

6、L所以，繩子拉長(zhǎng)一一時(shí)的速度為:n以此類推，繩子拉長(zhǎng)AL時(shí)的速度為:vL+n.12aAL=v+aAt=】：v2+nL+n-1nnL+n-1nkg(n-1)ALv就是蹦極人能夠達(dá)到的最大速度Vmax。L+n其中a=g-nmn蹦極人達(dá)到最大速度之后，繼續(xù)下落時(shí)，繩子繼續(xù)拉長(zhǎng)，拉力大于重力，人受到的合力向上。因此蹦極人達(dá)到最大速度之后，加速度向上，速度開始下降，速度降為0時(shí)，蹦極人下落到最低點(diǎn)。為了求得這一最低點(diǎn)，仍然可以將蹦極人達(dá)到最大速度之后的下落段分成若干小段，例如設(shè)每一小段為d=0.01m,在每一小段內(nèi)仍然認(rèn)為加速度不變。與上述計(jì)算過(guò)程類似，可以依次求得每一下落小段的末速度，當(dāng)末速度小于等于

7、0時(shí)，記下此時(shí)下落了n小段，即求得蹦極人達(dá)到最大速度之后的下落距離為nxd，從而求得蹦極人下落的最大距離為：L+AL+nxd。綜上可見，如果人的質(zhì)量、蹦極繩長(zhǎng)、蹦極繩的彈性系數(shù)一定，蹦極人能夠達(dá)到的最大速度和下落的最大距離就一定。換言之，消費(fèi)者可以根據(jù)自己的體重，選擇合適的彈簧繩長(zhǎng)度來(lái)獲得不同的最大速度，得到不同的刺激感受。小知識(shí)-前列腺炎對(duì)男性有哪些危害一、影響性功能，導(dǎo)致陽(yáng)萎、早泄。二、痛苦，影響工作和生活。三、影響生育，可導(dǎo)致不育。四、傳染配偶引起婦科炎癥五、導(dǎo)致內(nèi)分泌失調(diào)，引起精神異常。六、導(dǎo)致慢性腎炎，發(fā)展為尿毒癥。枷薇：msdf003馬老中醫(yī)從根本上幫你解決男性問題！二、考慮空氣阻

8、力時(shí)計(jì)算人的質(zhì)量、繩長(zhǎng)與能夠達(dá)到最大速度、下落最大深度的關(guān)系根據(jù)參考資料1提供的空氣阻力與速度的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，利用圖形分析和曲線擬合得到了一個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式如下：2F=0.05v2+0.2v，單位：磅英尺/秒2，換算成國(guó)際單位，則空阻F=0.45359x0.3048(0.05v2+0.2v)=0.0069v2+0.02765v，單位：千克米/秒2空阻蹦極繩全部放開之前，人受到兩個(gè)力的作用，重力和空氣阻力，所以合力為：F=ma=mg一F合空阻空氣阻力隨速度變化而時(shí)刻變化，加速度便時(shí)刻變化。為了求得蹦極繩長(zhǎng)全部放開時(shí)人的速度，可以將繩長(zhǎng)L分成若干n小段，使每一小段足夠小，在這一小段中，認(rèn)為人的受力相同，加速

9、度相同，利用這一加速度，由每一小段的初始速度計(jì)算該段的末速度。以此類推得到蹦極繩長(zhǎng)全部放開時(shí)人的速度。計(jì)算過(guò)程如下：人的初始速度為0加速度為g,即V二0,a=g，人在開始下降的第一小段-00n中，認(rèn)為加速度不變，為g,所需時(shí)間為，則=Vt+gt2，求解t，得t=，n012111ng由此得人在開始下降第一小段色中的末速度為：V=V+gt=nioin人在第二下降小段-中的初速度即為：v=,，2gL，在這一小段中加速度不變，設(shè)n1n為a，貝V：1ma=mgF=mg0.0069v20.02765v1空阻110.0069V20.02765v所以，a=gi1mm設(shè)第二下降小段-所需時(shí)間為則-1=vt+at

10、2，n12212求解t，2I2aL一V+V2+111n由此得人在第二下降小段L中的末速度為:nI2aLv=V+at=-V2+21121n人在第三下降小段-中的初速度即為：V=2+2aL，在這一小段中加速度不變，設(shè)n2R1n為a，貝U：0.0069V20.02765va=g422mm2ma=mgF=mg0.0069V20.02765v，2空阻22設(shè)第三下降小段-所需時(shí)間為13，則2aLL1一v+丫v2+=vt+a12，求解t，得t=-n2322323a2LI2aL由此得人在第三下降小段一中的末速度為：v=v+at=v2+2n32232-以此類推，蹦極繩長(zhǎng)全部放開之前的最后一小段L中的初速度為:n

11、v=：v2+a-2L，在這一小段中加速度不變，設(shè)為a，貝V：n-1n-2-1ma=mgF=mg0.0069v20.02765vn-1空阻n-1n-10.0069v20.02765va=gn-1n-1n-1mm設(shè)最后下降小段L所需時(shí)間為t，則nL=vtnn-1n+丄a12，求解t，得t2n-1nnnI2aLv+1v2+n-n-1n-1n，an-1由此得人在最后下降小段L中的末速度為:nI2aLv2+nIn-1nv即為蹦極繩長(zhǎng)全部放開時(shí)人的速度。在此之后，人不僅受到重力、空氣阻力，n還受到彈簧繩的拉力，加速度繼續(xù)減小，下落速度仍在增加，直至加速度為0時(shí)，速度最大。再往后加速度向上，下落速度減小直至

12、為0時(shí)，人下落到最低點(diǎn)。為了求得最大速度和下落最大深度，將蹦極繩全部放開后的下落段分成若干小段例如設(shè)每一小段為d=0.01m，在每一小段內(nèi)認(rèn)為空氣阻力和繩的拉力不變，即加速度不變。計(jì)算繩子拉長(zhǎng)過(guò)程中每一小段的始末速度和在這一小段中的加速度。設(shè)人體運(yùn)動(dòng)速度向下時(shí)為正，反彈后向上為負(fù)。與上述計(jì)算過(guò)程類似，可以依次求得每一下落小段的加速度，當(dāng)加速度小于等于0時(shí)，記下此時(shí)的速度，即為最大速度Vmax。依次求得每一下落小段的末速度，當(dāng)末速度小于等于0時(shí)，記下此時(shí)下落了q小段，即求得蹦極人下落的最大距離為：L+qxd。結(jié)論基于上述推算出來(lái)的數(shù)學(xué)模型，借助MATLABB仿真工具軟件，得到如下的圖形:80計(jì)算

13、空氣忽略空氣阻力28282626242422222020蹦極者重（kg）圖1蹦極者重量、繩長(zhǎng)與最大速度的關(guān)系忽略空氣7060504080蹦極繩長(zhǎng)（m）蹦極繩長(zhǎng)（m）蹦極者重（kg）30301830183030301540154050)s/m（度速大最者極蹦度深大最下跳者極蹦蹦極繩長(zhǎng)（m）4070605040蹦極者重(kg)計(jì)算空氣蹦極者重（kg）圖2蹦極者重量、繩長(zhǎng)與最大下落深度的關(guān)系度深大最下跳者極蹦，十算空氣阻力L55504540蹦極繩長(zhǎng)18m蹦極繩長(zhǎng)20m蹦極繩長(zhǎng)22m蹦極繩長(zhǎng)24m35度深大最下跳者極蹦60蹦極繩長(zhǎng)18m蹦極繩長(zhǎng)20m蹦極繩長(zhǎng)22m蹦極繩長(zhǎng)24m503540455055

14、6065707580蹦極者重(kg)404550556065707580蹦極者重(kg)圖3不同繩長(zhǎng)時(shí)蹦極者重量與最大下落深度的關(guān)系5453525154.23.22.21.20.22222）s/m（度速大最者極蹦蹦極繩長(zhǎng)18m蹦極繩長(zhǎng)20m蹦極繩長(zhǎng)22m蹦極繩長(zhǎng)24m）s/m（度速大最者極蹦404550556065蹦極者重(kg)707580蹦極繩長(zhǎng)22m53.25252.21.22520蹦極繩長(zhǎng)18m蹦極繩長(zhǎng)20m4550556065707580蹦極者重(kg)20圖4不同繩長(zhǎng)時(shí)蹦極者重量與最大速度的關(guān)系蹦極者重40kg蹦極者重50kg蹦極者重60kg蹦極者重70kg505050665544)m(度深大最下跳者極蹦20253050)m(度深大最下跳者極蹦25蹦極繩長(zhǎng)(m)30301520蹦極繩長(zhǎng)(m)圖5不同蹦極者重量時(shí)繩長(zhǎng)與最大下落深度的關(guān)系43210982222211度速大最者極蹦忽略空氣阻力蹦極者重40kg蹦極者重50kg蹦極者重60kg蹦極者重70kg25302度速大最者極蹦2025蹦極繩長(zhǎng)(m)18301520蹦極繩長(zhǎng)(m)圖6不同蹦極者重量時(shí)繩長(zhǎng)與最大速度的關(guān)系由圖可見，在本文現(xiàn)有的數(shù)據(jù)條