數(shù)學建模思想和方法

1、關于數(shù)學建模的思想和方法第一張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月玩具、照片、飛機、火箭模型實物模型水箱中的艦艇、風洞中的飛機物理模型地圖、電路圖、分子結構圖符號模型模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物。 模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征。1.1 從現(xiàn)實對象到數(shù)學模型第二張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月啟示： 很多同學，尤其是非數(shù)學專業(yè)的同學，把數(shù)學建?？吹煤苌衩?，總以為它高深莫測，其實并非如此。實際上，數(shù)學建模就是發(fā)生在我們身邊的事情，可能你不經(jīng)意間就在進行著數(shù)學建模和求解，只不過你不知道罷了。 可以毫不夸張地說：數(shù)學建模無時不

2、在，無處不在!數(shù)學建模無時不在，無處不在!第三張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：答：船速每小時20千米/小時.航行問題:甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順水航行需30小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少?x =20y = 5求解數(shù)學建模無時不在，無處不在!第四張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月航行問題求解過程分析: 作出簡化假設（船速、水速為常數(shù)）； 用符號表示有關量（x, y表示船速和水速）； 用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以時間） 列出數(shù)學式子（二元一次方程）； 求解得到數(shù)學解答（x=20, y=5）； 回答原

3、問題（船速每小時20千米/小時）。在解決這個問題的過程中，我們經(jīng)歷了如下的步驟：實際上，上述過程就是數(shù)學的建模和求解過程，連這樣的小問題都是數(shù)學建模的問題，那么關于數(shù)學建模的廣泛性和普遍性，大家就可想而知了。第五張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月數(shù)學模型和數(shù)學建模對于一個現(xiàn)實對象，為了一個特定目的，根據(jù)其內在規(guī)律，作出必要的簡化假設，運用適當?shù)臄?shù)學工具，得到的一個數(shù)學結構。建立數(shù)學模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗等）數(shù)學模型(Mathematical Model) 數(shù)學建模（Mathematical Modeling)第六張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月1.2 數(shù)學建

4、模的重要意義 電子計算機的出現(xiàn)及飛速發(fā)展； 數(shù)學以空前的廣度和深度向一切領域滲透。數(shù)學建模作為用數(shù)學方法解決實際問題的第一步，越來越受到人們的重視。 在一般工程技術領域數(shù)學建模大有用武之地； 在高新技術領域數(shù)學建模幾乎是必不可少的工具； 數(shù)學進入一些新領域，為數(shù)學建模開辟了許多處女地。第七張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月數(shù)學建模的具體應用 分析與設計預報與決策控制與優(yōu)化規(guī)劃與管理數(shù)學建模計算機技術知識經(jīng)濟如虎添翼第八張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月1.3 數(shù)學建模示例1.3.1 椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎?問題分析模型假設通常 三只腳著地放穩(wěn) 四只腳著地 四條腿一樣長，椅腳

5、與地面點接觸，四腳連線呈正方形; 地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學上的連續(xù)曲面; 地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。第九張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月模型構成用數(shù)學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對稱性用(對角線與x軸的夾角)表示椅子位置四只腳著地距離是的函數(shù)A,C 兩腳與地面距離之和 f()B,D 兩腳與地面距離之和 g()xBADCODC B A 椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點旋轉四個距離(四只腳)兩個距離正方形對稱性第十張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月f() , g()是連續(xù)函數(shù)對任意, f(), g()至

6、少一個為0數(shù)學問題已知：f(),g()是連續(xù)函數(shù) ;對任意， f()g()=0;且g(0)=0，f(0)0. 證明：存在0，使f(0)=g(0)=0.地面為連續(xù)曲面 椅子在任意位置至少三只腳著地模型構成用數(shù)學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來第十一張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月將椅子旋轉900，對角線AC和BD互換。由g(0)=0，f(0)0，知f(/2)=0, g(/2)0.令h()=f()g(),則h(0)0和h(/2)0.由f,g的連續(xù)性知h為連續(xù)函數(shù),據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質,必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因為f()g()=0,所以f(0)=g(0)=0

7、.評注和思考建模的關鍵:和f(),g()的確定.模型求解給出一種簡單、粗糙的證明方法第十二張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月1.3.2 商人們怎樣安全過河問題(智力游戲) 3名商人 3名隨從隨從們密約, 在河的任一岸, 一旦隨從的人數(shù)比商人多, 就殺人越貨.但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們怎樣才能安全過河?問題分析多步?jīng)Q策過程決策: 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員要求: 在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過河.河小船(至多2人)第十三張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月模型構成Xk-第k次渡河前此岸的商人數(shù)yk-第k次渡河前此岸的隨從數(shù)x

8、k, yk=0,1,2,3; k=1,2, sk=(xk , yk)-過程的狀態(tài)S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2S-允許狀態(tài)集合uk-第k次渡船上的商人數(shù)vk-第k次渡船上的隨從數(shù)dk=(uk , vk)決策D=(u ,v) u+v=1,2-允許決策集合uk, vk=0,1,2; k=1,2, sk+1=sk dk +(-1)k-狀態(tài)轉移律求dkD(k=1,2,n),使skS,并按轉移律由s1=(3,3)到達sn+1=(0,0).多步?jīng)Q策問題第十四張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月模型求解xy3322110窮舉法-編程上

9、機圖解法狀態(tài)s=(x,y)-16個格點 -10個點允許決策 -移動1或2格;k奇,左或下移;k偶,右或上移.s1sn+1d1, ，d11給出安全渡河方案評注和思考規(guī)格化方法,易于推廣d1d11允許狀態(tài)S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2第十五張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月背景 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口(億) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增長概況中國人口增長概況 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口(億)

10、 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長1.3.3 如何預報人口的增長第十六張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月指數(shù)增長模型馬爾薩斯提出 (1798)常用的計算公式x(t)-時刻t的人口基本假設 : 人口(相對)增長率 r 是常數(shù)今年人口x0,年增長率rk年后人口隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長第十七張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月指數(shù)增長模型的應用及局限性 與19世紀以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合 適用于19世紀后遷往加拿大的歐洲移民后代 可用于短期人口增長預測 不符合19世紀后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律 不能預

11、測較長期的人口增長過程19世紀后人口數(shù)據(jù)人口增長率r不是常數(shù)(逐漸下降)第十八張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月阻滯增長模型(Logistic模型)人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設r-固有增長率(x很小時)xm-人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)第十九張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月dx/dtx0 xmxm/2xmtx0 x(t)-S形曲線, x增加先快后慢x0 xm/2阻滯增長模型(Logistic模型)第二十張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月參數(shù)估計用指數(shù)增長模型或阻滯

12、增長模型作人口預報，必須先估計模型參數(shù) r 或 r, xm 利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合例：美國人口數(shù)據(jù)（單位-百萬） 1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4專家估計r=0.2557/10, xm=392.1阻滯增長模型(Logistic模型)第二十一張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月模型檢驗把模型計算結果 與實際數(shù)據(jù)比較實際為281.4(百萬)模型應用-預報美國2010年的人口加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計模型參數(shù)r=0.02490, xm=434.0 x(2010)=30

13、6.0阻滯增長模型(Logistic模型)第二十二張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月數(shù)學建模的基本方法機理分析測試分析根據(jù)對客觀事物特性的認識，找出反映內部機理的數(shù)量規(guī)律將對象看作“黑箱”,通過對量測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型機理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實例研究(Case Studies)來學習。我們所指的建模主要指機理分析。二者結合用機理分析建立模型結構,用測試分析確定模型參數(shù)1.4 數(shù)學建模的方法和步驟第二十三張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 數(shù)學建模的一般步驟模型準備模型假設模型構成模型求解模型分析模型檢驗模型應用模型準備了解實際背景明確建模目的搜集有

14、關信息掌握對象特征形成一個比較清晰的問題第二十四張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月模型假設針對問題特點和建模目的作出合理的、簡化的假設在合理與簡化之間作出折中模型構成用數(shù)學的語言、符號描述問題發(fā)揮想像力使用類比法盡量采用簡單的數(shù)學工具 數(shù)學建模的一般步驟第二十五張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月模型求解各種數(shù)學方法、軟件和計算機技術如結果的誤差分析、統(tǒng)計分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型分析模型檢驗與實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗模型的合理性、適用性模型應用 數(shù)學建模的一般步驟第二十六張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月數(shù)學建模的全過程現(xiàn)實對象的信息數(shù)學模型現(xiàn)實對象的解答數(shù)學模型

15、的解答表述求解解釋驗證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗證根據(jù)建模目的和信息將實際問題“翻譯”成數(shù)學問題選擇適當?shù)臄?shù)學方法求得數(shù)學模型的解答將數(shù)學語言表述的解答“翻譯”回實際對象用現(xiàn)實對象的信息檢驗得到的解答實踐現(xiàn)實世界數(shù)學世界理論實踐第二十七張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月1.5 數(shù)學模型的特點和分類模型的逼真性和可行性模型的漸進性模型的強健性模型的可轉移性模型的非預制性模型的條理性模型的技藝性模型的局限性數(shù)學模型的特點第二十八張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月應用領域人口、交通、經(jīng)濟、生態(tài)數(shù)學方法初等數(shù)學、微分方程、規(guī)劃、統(tǒng)計表現(xiàn)特性描述、優(yōu)化、預報、決策建模目的了解程度白箱

16、灰箱黑箱確定和隨機靜態(tài)和動態(tài)線性和非線性離散和連續(xù)數(shù)學模型的分類第二十九張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月1.6 怎樣學習數(shù)學建模數(shù)學建模與其說是一門技術，不如說是一門藝術技術大致有章可循藝術無法歸納成普遍適用的準則想像力洞察力判斷力 學習、分析、評價、改進別人作過的模型 親自動手，認真作幾個實際題目第三十張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2.數(shù)學建模競賽的的思想和方法 全國大學生數(shù)學建模競賽是由教育部高等教育司和中國工業(yè)與應用數(shù)學學會共同主辦的面向大學生的課外科技活動,是全國高校規(guī)模最大的課外科技活動之一,居教育部四大學科競賽之首。 本競賽在每年9月(一般在中旬某個周末的星期

17、五至下周星期一共3天，72小時）舉行，競賽面向全國大專院校的學生，不分專業(yè)（但競賽分本科、?？苾山M，本科組競賽所有大學生均可參加，專科組競賽只有?？粕òǜ呗殹⒏邔Ｉ┛梢詤⒓樱?。 2008 年全國有31個省/市/自治區(qū)(包括香港)1023所院校、12846個隊（其中甲組10384隊、乙組2462隊）、3萬8千多名來自各個專業(yè)的大學生參加競賽，是歷年來參賽人數(shù)最多的一次！可以說，大學生數(shù)學建模競賽是我國高等教育改革的一次成功實踐。第三十一張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2.1 參賽目的和原則提高對數(shù)學知識應用性的認識提高對專業(yè)知識應用性的認識培養(yǎng)應用能力和探索精神培養(yǎng)創(chuàng)新意識和創(chuàng)新

18、精神提高獨立解決問題的能力提高分析問題解決問題的能力培養(yǎng)團隊精神培養(yǎng)編程能力 提高表達及寫作能力參賽目的參賽原則繼承和創(chuàng)新相結合的原則理論與實踐相結合的原則普遍和特殊相統(tǒng)一的原則分工和合作相統(tǒng)一的原則第三十二張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2.2 數(shù)學建模隊伍的組織組隊時，要統(tǒng)籌兼顧，充分利用現(xiàn)有的師生資源。既要考慮到每個隊伍中學生的年級情況，又要考慮到其學生的學習情況、專業(yè)背景等，一般來講，三個學生最好來自不同的專業(yè)，每個隊伍中既要有理論知識雄厚的學生又要有編程能力較強的學生，既要有精通理工科知識又要有文筆出眾的學生，對于教師亦是如此，既要考慮到教師的經(jīng)驗和能力，又要考慮到教師的年

19、齡和體力，既要考慮到與學生的熟悉和默契程度，又要考慮到師生的專業(yè)，保證師生資源的合理配置，使師生資源能夠最大地得到利用，確保參賽隊伍具有很強的戰(zhàn)斗力。第三十三張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2.3 數(shù)學建模競賽的步驟和方法 數(shù)學建模競賽一般在每年9月中旬舉行(某個周末的星期五至下周星期一共3天，72小時。周一上午在網(wǎng)上遞交電子版的競賽論文）。 2009年數(shù)學建模競賽定于9月11日上午8：00開始，賽題將同時在全國大學生數(shù)學建模競賽、高等教育出版社和中國數(shù)模以及數(shù)學中國等網(wǎng)站發(fā)布。 (1)選題 拿到賽題后，學生和指導教師要一起來分析和研究各個賽題，要根據(jù)各賽題的難易程度和知識成分并結合

20、本隊學生的知識特點和特長來進行選題。 (2)賽題分解 對賽題進行必要的分解，然后根據(jù)學生的專業(yè)、知識結構和能力進行合理的分工，誰干什么，怎么干，都要心中有數(shù)。要有主要負責建模的，主要負責編程的，主要負責寫作的。但切記分工是相對的，合作是絕對的，怎么配合，怎么互相幫助，事先都要有充分的考慮。第三十四張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 (3)查閱資料 在開始解決各個問題之前，所有學生都必須要先查閱資料，只有掌握具有針對性的第一手資料、閱讀和理解了資料，工作才能進行下去。查閱資料時，可以利用goole和baidu等搜索引擎搜索相關網(wǎng)頁，也可以通過校園網(wǎng)圖書館內電子資源中的CNKI數(shù)據(jù)庫，維普

21、科技期刊，萬方數(shù)據(jù)等數(shù)據(jù)庫來查找相關的期刊論文和學位論文。 (4)分題求解 一般每個問題都包括建立模型、編程求解和答案書寫等三個部分，建模時,三個學生要合作，要一起來進行思考和分析，搭建出模型的基本框架，然后把具體的細節(jié)問題交給負責建模的學生，此時負責編程的學生要基本上了解模型的結構，對于一些問題如包括哪些變量、變量之間的關系如何、要采用什么樣的算法來求解等等都要心中有數(shù)，并且開始動手編程，負責寫作的學生要把問題分析、模型假設、符號說明等框架寫出來。第三十五張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月(4)模型的驗證和修改 建立模型、制定算法、編程求解后，一般來說，所得到的結果與問題的實際理想值

22、都會有一定的出入，甚至有時所得的結果非常離譜，簡直不可思議。此時一定不要慌，大家要集中起來認真分析，一個問題一個問題地去排除，如可以先檢查一下模型是不是有問題，是不是在建模的時候有些因素沒有考慮到；如果模型沒有什么問題，那么再檢查一下程序編寫得是不是有問題等等，一個正確模型的建立，肯定不會一蹴而就的，要經(jīng)過不斷的修改和反復驗證，直至與問題相符合為止。第三十六張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月（5）論文成稿與修改 常言道：“編框編簍，全在收口”，一個模型建立的好壞固然很重要，但是最后論文的書寫也非常重要，要注意用標準的數(shù)學語言來進行表述，各個問題的解答基本上都要包括這樣幾個部分：問題分析

23、，問題假設，符號說明（通用的符號在前面統(tǒng)一說明，具體各分題的符號在各個問題解答之前說明）等等，每個問題的敘述都應具有獨立性和自含性，即閱卷人單獨閱覽某個問題時不需要閱讀全文，就能獲得該問題必要的信息。 整篇論文要內容完整，論點鮮明突出，論據(jù)充分確鑿，論述條理清楚，分析透徹，具有說服力；整個推導過程要嚴謹，實驗曲線、模擬結果和結論正確；要語言準確，語句通順，行文流暢，敘述簡明扼要，層次清晰，結構嚴謹；撰寫規(guī)范，格式正確，曲線的線條要均勻清晰、整潔美觀，問題分析假設、建立模型等各欄目齊全、合理，沒有遺漏項目。 一篇好的論文要經(jīng)過不斷的修改才能最終定稿、上交。第三十七張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于20

24、22年6月2.4 注意事項(1)選題要慎重 一般來講，選好了賽題后，除非萬不得已，不要輕易換題，因為每個競賽試題都有很大的難度，在規(guī)定的時間內完成任務，壓力很大、時間很緊張、基本上都不夠用，半道換題就不更用說了。(2)資料要充足 很多學生不喜歡查資料，上來就開始進行賽題的分析和研究，要時刻牢記：兵馬未動、糧草先行。資料就是我們的糧草！我們的第一個任務就是要查閱大量的資料。第三十八張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月(3)要合理分配時間，解答過程要全面 各個問題的解答基本上都要包括問題分析，問題假設，符號說明，建立模型，模型求解，模型驗證等幾個部分，有很多學生把工作的重點都放在了前一兩個問題，對后面問題的建模和