蝴蝶定理的證明

1、定理:蝴蝶定理的證明設M為圓內弦PQ的中點，過 M作弦AB和CD。設AD和BC各相交PQ于點E和F ,則M是EF的中點。在蝴蝶定理的證明中有各種奇妙的輔助線，同時誕生了各種美妙的思想，蝴蝶定理在這些輔助線的 幫助下，翩翩起舞！證法1 如圖 2,作OU _L AD, OV_L BC,則垂足 U, V分別為 AD、BC的中點，且由于 .EUO EMO =90. FVO FMO =90得 M、E、U、O共圓；M、F、V、O共圓。則 ZAUM= ZEOM , ZMOF =/MVC又DmAD MCB , U、V 為AD、BC 的中點，從而 AMUA AMVC , /AUM =/MVC則 ZEOM =/M

2、OF 于是 ME=MF oZFMD =/EMD , MD=MD證法2過D作關于直線OM的對稱點D,如圖3所示，則A聯(lián)結DM交圓O于C,則C與C關于OM對稱，即PC =CQ。又 TOC o 1-5 h z 1 / 一、 1 、 1 -ZCFP= - ( QB+PC ) = (QB+CC+CQ ) = BC= / BDC 222故 M、F、B、D四點共圓，即 /MBF =/MDF圖2CC而ZMBF =NEDM0)由、知，ADME mADMF ,故 ME=MF 。證法3 如圖4,設直線DA與BC交于點N 。對ANEF及截線AMBNEF及截線CMD分別應用梅涅勞斯定理，有FM EA NB 彳 FM E

3、D NC 彳 =1=1 ME AN BF ME DN CF圖3由上述兩式相乘，并注意到NA ND =NC NB_2/日 FM AN ND BF CF BF CF得2ME AE ED BN CN AE ED_ PM+MF MQ-MFPM2-MF222PM-ME MQ+MEPM2-ME2化簡上式后得ME=MF 。22不使用輔助線的證明方法圖5單純的利用三角函數(shù)也可以完成蝴蝶定理的證明。證法4（Steven給出）如圖5,并令.DAB= .ADC= .DMP= .AMP=,DCB,ABC,CMQ ,BMQ! 二 a=otPM 二 MQME = x, MFS AME由S.FCMS.FCMS.EDMSFM

4、B 二 iS.EDMAM AE sin :FM CM sin ED MD sinMC CFEM MDsin FBBM sinMF MB sin、,二1MA ME sin、.化簡得MF2MECF FBAE EDQF FPPE EQ22a-y a y _ a -y一 _22a-x a x a -x從而”ME=MFo證法5 令ZPMD二.QMC=a, ZQMB =/AMP = P，以點 M 為視點，對 AMBC 和 AMAD分別應用張角定理，有sin g T； i sin上 sin h sin(ct )MFMCMEsin : sin ;MD MA上述兩式相減，得pIMF ME )sin :MC -M

5、DMC MDsin ;一MB - MAMA MB設G、H分別為CD、AB的中點，由OM _LPQ,有MB-MA故 ME=MF oMD-MC= 2MH -2OM cos 90 - B )=2OM sin= 2MG =2OM cos 90 - ： - 2OM sinMF ME0(=0 而 a + P = 180 ,知 sin (a + P ) # 0 ,2（二）運用解析幾何的知識完成蝴蝶定理的證明在數(shù)學中用函數(shù)的方法解決幾何問題也是非常重要的方法，所以解析幾何上夜出現(xiàn)了許多漂亮的證 明蝴蝶定理的方法，以下列出幾個例子以供參考。證法6 （單博教授給出）如圖 6,建立直角坐標系，則圓的方程可設為222

6、x2+（y+a） =R2直線AB的萬程為y = k,x,直線CD的方程為y = k2x由于圓和兩相交直線組成了二次曲線系，其方程為N x2 十(y 十 a )2 _ R2 十九(y _ k1x * y _ k2x)1 = 0令y =0,知點E和點F的橫坐標滿足二次方程 (N + Kk1k2 )x2 + N ( a2 R2 )= 0由于x的系數(shù)為0 ,則兩根為和x2之和為0 ,即x1 = 一x2,故ME=MF。證法7 如圖7建立平面直角坐標系，則圓的方程可寫為222x -a y = r直線AB、CD的方程可寫為y = k1x, y = k2x又設 A、B、C、D 的坐標為(x，% )，i =12

7、,3,4則X、人分別是二次方Vi22 2222 22m(x -a ) +k1 x =r ,(x -a ) +k2x =r 的一根。V4-yix =1kx (k2x4-Kx 妁jki-k2)xix4x2 -xix4 -xix4 一%AD在y軸上的截距為理，BC在y軸上的截距為I - 卜2 ：區(qū)2乂3x3-x2o注意到x1、x21 k12 x2 -2ax a2 -r2=0的乂3、乂4程程圖8-2 a +x2的商也所取xix2取22a2 2a - rx3x4x3x4從而易證法8Mx2xi -x2即 ME = MF。*3 -x4如圖8,以M為極點，MO為極軸建立極坐標系。CMx 一則；C PF sin

8、 i ： - 一C F2： F： Bsin 2因 C、F、-OL點共線，令：c ：b sin :二):B cos，：C cos :注意到A :B = I ：D作 OU _L CD 于 U ,作 OV _L AB 于 V。p _ pp _ p由 RtAOUM 與 RtAOVM 可得一B& =-D一(cos：-cos :將(3)代入可得PE =PF,即 ME=MF二蝴蝶定理的推廣和猜想（一） 猜想1 在蝴蝶定理中,P、Q分別是ED、CF和AB的交點,如果P、Q分別是CE、DF 和AB延長線的交點，我們猜想，仍可能會有PM = QM .推論1過圓的弦AB的中點M引任意兩條弦 CD與EF,連結CE、D

9、F并延長交AB的延長線于P、Q.求證：PM = QM.證明；設 AM =BM = a, PM = x,QM = y ;/PM E = Z QM F = ，/ PCM = / DFM =3 ;/CM E = / DM F = 丫，/ QDM = / CEM =8 ;記 APM E, AQM F,APMC, QM曲面積分別為 S1 , S2 , S3 , S4.則由恒等式 S2- S3 - S4- S1= 1 知 M P- M Esin a MQ M Fsin a FQ FM sin （兀-3 ）CP CM sin 3 MCsin （”+y）MD sin （ +丫）- DQ- DM sin 8 E

10、P- EM sin （兀-8 ）= DQ- M P2 - EP- MQ2 = 1 ,即 QF - QD- M P2= PC - PE- MQ2.又由割線定理知 PC- PE = PA - PB = （ x - a） （ x + a） = x2-a2,QF QD = QB- QA = （ y-a） （ y + a） = y2- a2. 代入 式,得（y2- a2） x2= （ x2- a2） y2.即 a2x2= a2y2.由于 a w0, x, y 0, 所以 x = y . 即 PM = QM.網(wǎng)（二）猜想2 在蝴蝶定理中，顯然OM是AB的垂線（O是圓心），那么，我們可以猜想，如果 在保持O

11、M LAB的前提下將圓 O的弦AB移至圓外，仍可能會有PM =QM .推論2 已知直線 AB與。相離.OM AB, M為垂足.過M作 OO任意兩條割線 MC, M E 分別交。于C, D和E, F. 連結DE,FC并延長分別交 AB于P, Q. 求證：PM = QM.證明：過 F作FK / AB,交直線 OM于N,交。于K .連結 M K交 OO于G.連結 GQ, GC.由于ON FK,故有FN = KN,從而M F =M K（因為M在 FK的垂直平分線上）.又由割線定理知 M E- M F = MG - M K .因此 M E = MG. 又由 /FMN = Z KMN, OM LAB,知/

12、 EM P = / GMQ. 從 ZCQM = ZCFK = /CGK / CGM y CQM= 180 , 從而 G,M, Q, C 四點共圓.所以 / MGQ = MCQ.又由于 /M EP = / DEF = / DCF = / MCQ,知/ M EP = / MGQ.由 、 、 知 APM E 04QMG所以PM = QM.（三）猜想3既然蝴蝶定理對于雙曲線是成立的 ，而雙曲線是兩條不相交的曲線 ，那么，我們 可以猜想，如果把兩條不相交的曲線換成兩條不相交的直線（也即是兩條平行線），仍可能會有PM = QM .推論3 設點A、B分別在兩條平行線l 1、l 2上，過AB的中點M任意作兩條直線