人教版八年級數(shù)學(xué)上冊10《全等三角形 全章復(fù)習(xí)與鞏固》知識講解+鞏固練習(xí)(基礎(chǔ)版)(含答案)

1、PAGE 全等三角形全章復(fù)習(xí)與鞏固（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 了解全等三角形的概念和性質(zhì)，能夠準(zhǔn)確地辨認(rèn)全等三角形中的對應(yīng)元素；2探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等進行證明，掌握綜合法證明的格式；3會作角的平分線，了解角的平分線的性質(zhì)，能利用三角形全等證明角的平分線的性質(zhì)， 會利用角的平分線的性質(zhì)進行證明.【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點梳理】【高清課堂：388614 全等三角形單元復(fù)習(xí)，知識要點】一般三角形直角三角形判定邊角邊（SAS）角邊角（ASA）角角邊（AAS）邊邊邊（SSS）兩直角邊對應(yīng)相等一邊一銳角對應(yīng)相等斜邊、直角邊定理（HL）性質(zhì)對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等（其他對應(yīng)元素也相等，如對應(yīng)邊上的

2、高相等）備注判定三角形全等必須有一組對應(yīng)邊相等要點一、全等三角形的判定與性質(zhì)要點二、全等三角形的證明思路要點三、角平分線的性質(zhì)1.角的平分線的性質(zhì)定理 角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.2.角的平分線的判定定理 角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.3.三角形的角平分線 三角形角平分線交于一點，且到三邊的距離相等.4.與角平分線有關(guān)的輔助線 在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形； 在角的平分線上取一點向角的兩邊作垂線段.要點四、全等三角形證明方法全等三角形是平面幾何內(nèi)容的基礎(chǔ)，這是因為全等三角形是研究特殊三角形、四邊形、相似圖形、圓等圖形性質(zhì)的有力工具，是解決與線段、角相關(guān)問

3、題的一個出發(fā)點.運用全等三角形，可以證明線段相等、線段的和差倍分關(guān)系、角相等、兩直線位置關(guān)系等常見的幾何問題.可以適當(dāng)總結(jié)證明方法.1 證明線段相等的方法： (1) 證明兩條線段所在的兩個三角形全等.(2) 利用角平分線的性質(zhì)證明角平分線上的點到角兩邊的距離相等.(3) 等式性質(zhì).2 證明角相等的方法：(1) 利用平行線的性質(zhì)進行證明.(2) 證明兩個角所在的兩個三角形全等.(3) 利用角平分線的判定進行證明.(4) 同角（等角）的余角（補角）相等.(5) 對頂角相等.3 證明兩條線段的位置關(guān)系（平行、垂直）的方法；可通過證明兩個三角形全等，得到對應(yīng)角相等，再利用平行線的判定或垂直定義證明.4

4、 輔助線的添加:(1)作公共邊可構(gòu)造全等三角形；(2)倍長中線法；(3)作以角平分線為對稱軸的翻折變換全等三角形；(4)利用截長(或補短)法作旋轉(zhuǎn)變換的全等三角形.5. 證明三角形全等的思維方法:（1）直接利用全等三角形判定和證明兩條線段或兩個角相等，需要我們敏捷、快速地發(fā)現(xiàn)兩條線段和兩個角所在的兩個三角形及它們?nèi)鹊臈l件.（2）如果要證明相等的兩條線段或兩個角所在的三角形全等的條件不充分時，則應(yīng)根據(jù)圖形的其它性質(zhì)或先證明其他的兩個三角形全等以補足條件. （3）如果現(xiàn)有圖形中的任何兩個三角形之間不存在全等關(guān)系，此時應(yīng)添置輔助線，使之出現(xiàn)全等三角形，通過構(gòu)造出全等三角形來研究平面圖形的性質(zhì).【典

5、型例題】類型一、全等三角形的性質(zhì)和判定1、（2015西城區(qū)模擬）問題背景：（1）如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，BAD=120，B=ADC=90E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點且EAF=60探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長FD到點G使DG=BE連結(jié)AG，先證明ABEADG，再證明AEFAGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是 探索延伸：（2）如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，B+D=180E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且EAF=BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由【思路點撥】（1）延長FD到點G使DG=BE連結(jié)AG，即可證明ABEADG，可得A

6、E=AG，再證明AEFAGF，可得EF=FG，即可解題；（2）延長FD到點G使DG=BE連結(jié)AG，即可證明ABEADG，可得AE=AG，再證明AEFAGF，可得EF=FG，即可解題【答案與解析】證明：（1）在ABE和ADG中，ABEADG（SAS），AE=AG，BAE=DAG，EAF=BAD，GAF=DAG+DAF=BAE+DAF=BADEAF=EAF，EAF=GAF，在AEF和GAF中，AEFAGF（SAS），EF=FG，F(xiàn)G=DG+DF=BE+DF，EF=BE+DF；故答案為 EF=BE+DF（2）結(jié)論EF=BE+DF仍然成立；理由：延長FD到點G使DG=BE連結(jié)AG，在ABE和ADG中，

7、ABEADG（SAS），AE=AG，BAE=DAG，EAF=BAD，GAF=DAG+DAF=BAE+DAF=BADEAF=EAF，EAF=GAF，在AEF和GAF中，AEFAGF（SAS），EF=FG，F(xiàn)G=DG+DF=BE+DF，EF=BE+DF.【總結(jié)升華】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證AEFAGF是解題的關(guān)鍵舉一反三：【變式】如圖，已知：AEAB，ADAC，ABAC，BC，求證：BDCE.【答案】證明：AEAB，ADAC， EABDAC90 EABDAEDACDAE ，即DABEAC. 在DAB與EAC中， DABEAC （ASA） BDCE.類

8、型二、巧引輔助線構(gòu)造全等三角形(1)作公共邊可構(gòu)造全等三角形：2、 如圖：在四邊形ABCD中，ADCB，ABCD.求證：BD.【思路點撥】B與D不包含在任何兩個三角形中，只有添加輔助線AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可構(gòu)造出全等三角形.【答案與解析】證明：連接AC， ADCB，ABCD. 12，34 在ABC與CDA中 ABCCDA（ASA） BD【總結(jié)升華】添加公共邊作為輔助線的時候不能割裂所給的條件，如果證AC，則連接對角線BD.舉一反三：【變式】在ABC中，ABAC.求證：BC【答案】證明：過點A作ADBC 在RtABD與RtACD中 RtABDRtACD（HL） BC.(2)倍長中線法：【高清

9、課堂：388614 全等三角形單元復(fù)習(xí)，例8】3、己知：在ABC中，AD為中線.求證：AD【答案與解析】證明：延長AD至E，使DEAD， AD為中線， BDCD 在ADC與EDB中 ADCEDB（SAS） ACBE 在ABE中，ABBEAE，即ABAC2AD AD.【總結(jié)升華】用倍長中線法可將線段AC，2AD，AB轉(zhuǎn)化到同一個三角形中，把分散的條件集中起來.倍長中線法實際上是繞著中點D旋轉(zhuǎn)180.舉一反三：【變式】若三角形的兩邊長分別為5和7, 則第三邊的中線長的取值范圍是( ) A.1 6 B.5 7 C.2 12 D.無法確定【答案】A ；提示：倍長中線構(gòu)造全等三角形，7575，所以選A選

10、項.(3).作以角平分線為對稱軸的翻折變換構(gòu)造全等三角形：4、（2016秋諸暨市期中）如圖，已知1=2，P為BN上的一點，PFBC于F，PA=PC求證：PCB+BAP=180【思路點撥】過點P作PEBA于E，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得PE=PF，然后利用HL證明RtPEA與RtPFC全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得PAE=PCB，再根據(jù)平角的定義解答【答案與解析】證明：如圖，過點P作PEBA于E，1=2，PFBC于F，PE=PF，PEA=PFB=90，在RtPEA與RtPFC中，RtPEARtPFC（HL），PAE=PCB，BAP+PAE=180，PCB+BAP=180【總結(jié)升

11、華】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵舉一反三：【變式】（2015開縣二模）如圖，已知，BAC=90，AB=AC，BD是ABC的平分線，且CEBD交BD延長線于點E求證：BD=2CE【答案】解： 如圖2，延長CE、BA相交于點F，EBF+F=90，ACF+F=90，EBF=ACF，在ABD和ACF中ABDACF（ASA），BD=CF，在BCE和BFE中，BCEBFE（ASA），CE=EF，BD=2CE(4)利用截長(或補短)法構(gòu)造全等三角形：5、如圖所示，已知ABC中ABAC，AD是BAC的平分線，M是AD上任意一點

12、，求證：MBMCABAC【思路點撥】因為ABAC，所以可在AB上截取線段AEAC，這時BEABAC，如果連接EM，在BME中，顯然有MBMEBE這表明只要證明MEMC，則結(jié)論成立【答案與解析】證明：ABAC，則在AB上截取AEAC，連接ME在MBE中，MBMEBE（三角形兩邊之差小于第三邊）在AMC和AME中， AMCAME（SAS） MCME（全等三角形的對應(yīng)邊相等）又 BEABAE， BEABAC， MBMCABAC【總結(jié)升華】充分利用角平分線的對稱性，截長補短是關(guān)鍵.類型三、全等三角形動態(tài)型問題6、如圖（1），ABBD于點B，EDBD于點D，點C是BD上一點且BCDE，CDAB（1）試判

13、斷AC與CE的位置關(guān)系，并說明理由；（2）如圖（2），若把CDE沿直線BD向左平移，使CDE的頂點C與B重合，此時第（1）問中AC與BE的位置關(guān)系還成立嗎？（注意字母的變化）【答案與解析】證明：（1）ACCE理由如下：在ABC和CDE中， ABCCDE（SAS） ACBE又 EECD90， ACBECD90 ACCE（2） ABC各頂點的位置沒動，在CDE平移過程中，一直還有，BCDE，ABCEDC90， 也一直有ABC(SAS) ACBE而E90， ACB90故有AC，即AC與BE的位置關(guān)系仍成立【總結(jié)升華】變還是不變，就看在運動的過程中，本質(zhì)條件（本題中的兩三角形全等）變還是沒變本質(zhì)條件變

14、了，結(jié)論就會變；本質(zhì)條件不變，僅僅是圖形的位置變了.結(jié)論仍然不變舉一反三：【變式】如圖(1)，ABC中，BCAC，CDE中，CECD，現(xiàn)把兩個三角形的C點重合，且使BCAECD，連接BE，AD求證：BEAD若將DEC繞點C旋轉(zhuǎn)至圖(2)，(3)所示的情況時，其余條件不變，BE與AD還相等嗎?為什么?【答案】證明：BCAECD， BCAECAECDECA，即BCEACD 在ADC與BEC中 ADCBEC(SAS) BEAD 若將DEC繞點C旋轉(zhuǎn)至圖(2)，(3)所示的情況時，其余條件不變，BE與AD還相等，因為還是可以通過SAS證明ADCBEC.【鞏固練習(xí)】一.選擇題1. 如圖所示，若ABEAC

15、F，且AB5，AE2，則EC的長為（ ）A.2 B.3 C.5 D.2.52.（2015春平頂山期末）請仔細(xì)觀察用直尺和圓規(guī)作一個角AOB等于已知角AOB的示意圖，請你根據(jù)所學(xué)的圖形的全等這一章的知識，說明畫出AOB=AOB的依據(jù)是（）A SASBASACAASDSSS3. （2016新疆）如圖，在ABC和DEF中，B=DEF，AB=DE，添加下列一個條件后，仍然不能證明ABCDEF，這個條件是（）AA=D BBC=EF CACB=F DAC=DF4. 在下列結(jié)論中, 正確的是( ) A.全等三角形的高相等B.頂角相等的兩個等腰三角形全等 C. 一角對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等D.一邊對應(yīng)相等

16、的兩個等邊三角形全等5. 如圖，點C、D分別在AOB的邊OA、OB上，若在線段CD上求一點P，使它到OA，OB的距離相等，則P點是（ ） A. 線段CD的中點 B. OA與OB的中垂線的交點C. OA與CD的中垂線的交點 D. CD與AOB的平分線的交點6在ABC與DEF中，給出下列四組條件：（1）ABDE，BCEF，ACDF；（2）ABDE，BE，BCEF；（3）BE，BCEF，CF；（4）ABDE，ACDF，BE其中，能使ABCDEF的條件共有（ ）組A1組 B2組 C3組 D4組7. 如果兩個銳角三角形有兩條邊和其中一邊上的高對應(yīng)相等，那么這兩個三角形的第三條邊所對的角的關(guān)系是（ ）A.

17、 相等 B.不相等 C.互補 D.相等或互補8. ABC中，BAC90 ADBC，AE平分BAC，B2C，DAE的度數(shù)是( ) A.45 B.20 C.、30 D.15二.填空題9. 已知，若ABC的面積為10 ，則的面積為_ ，若的周長為16，則ABC的周長為_10. ABC和ADC中，下列三個論斷：ABAD；BACDAC；BCDC將兩個論斷作為條件，另一個論斷作為結(jié)論構(gòu)成一個命題，寫出一個真命題：_11.（2015春成都校級期末）如圖，在ABC中，C=90，B=30，AD平分BAC，CD=2cm，則BD的長是 12. 下列說法中：如果兩個三角形可以依據(jù)“AAS”來判定全等，那么一定也可以依

18、據(jù)“ASA”來判定它們?nèi)?；如果兩個三角形都和第三個三角形不全等，那么這兩個三角形也一定不全等；要判斷兩個三角形全等，給出的條件中至少要有一對邊對應(yīng)相等正確的是_.13. 如右圖，在ABC中，C90，BD平分CBA交AC于點D若AB，CD，則ADB的面積為_ 14（2016秋揚中市月考）如圖，ACAB，ACCD，要使得ABCCDA（1）若以“SAS”為依據(jù)，需添加條件 ；（2）若以“HL”為依據(jù)，需添加條件 15. 如圖，ABC中，H是高AD、BE的交點，且BHAC，則ABC_.16. 在ABC中，C90，ACBC，AD平分BAC，DEAB于E.若AB20cm，則DBE的周長為_.三.解答題1

19、7. 已知：如圖，CBDE，BE，BAECAD求證：ACDADC18已知：ABC中，ACBC，CEAB于E，AF平分CAB交CE于F，過F作FDBC交AB于D求證： ACAD 19. 已知：如圖，AD平分BAC，DEAB于E，DFAC于F，且BD=CD求證：BE=CF20.（2015北京校級模擬）感受理解如圖，ABC是等邊三角形，AD、CE分別是BAC、BCA的平分線，AD、CE相交于點F，則線段FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系是 自主學(xué)習(xí)事實上，在解決幾何線段相等問題中，當(dāng)條件中遇到角平分線時，經(jīng)常采用下面構(gòu)造全等三角形的解決思路如：在圖中，若C是MON的平分線OP上一點，點A在OM上，此時，在ON

20、上截取OB=OA，連接BC，根據(jù)三角形全等判定（SAS），容易構(gòu)造出全等三角形OBC和OAC，從而得到線段CA與CB相等學(xué)以致用參考上述學(xué)到的知識，解答下列問題：如圖，ABC不是等邊三角形，但B=60，AD、CE分別是BAC、BCA的平分線，AD、CE相交于點F求證：FE=FD【答案與解析】一.選擇題1. 【答案】B；【解析】根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等，ECACAE523；2. 【答案】D； 【解析】解：根據(jù)作圖過程可知OC=OC，OB=OB，CD=CD，OCDOCD（SSS）故選D3. 【答案】D；【解析】B=DEF，AB=DE，添加A=D，利用ASA可得ABCDEF；添加BC=EF，利用SA

21、S可得ABCDEF；添加ACB=F，利用AAS可得ABCDEF；故選D4. 【答案】D； 【解析】A項應(yīng)為全等三角形對應(yīng)邊上的高相等；B項如果腰不相等不能證明全等；C項直角三角形至少要有一邊相等.5. 【答案】D； 【解析】角平分線上的點到角兩邊的距離相等.6. 【答案】C； 【解析】（1）（2）（3）能使兩個三角形全等.7. 【答案】A； 【解析】高線可以看成為直角三角形的一條直角邊，進而用HL定理判定全等.8. 【答案】D； 【解析】由題意可得BDAC60，C30，所以DAE604515.二.填空題9. 【答案】10，16；【解析】全等三角形面積相等，周長相等.10【答案】；11.【答案】4cm； 【解析】解：C=90，B=30，BAC=9030=60，AD平分CAB，CAD=BAD=60=30，AD=2CD=22=4cm，又B=ABD=30，AD=BD=4cm故答案為：4cm.12.【答案】【解析】不正確是因為存在兩個全等的三角形與某一個三角形不全等的情況.13.【答案】；【解析】由角平分線的性質(zhì)，D點到AB的距離等于CD，所以ADB的面積為.14.【答案】AB=CD；AD=BC【解析】（1）若以“SAS