定積分的應(yīng)用教學(xué)課件

1、第六章 定積分的應(yīng)用第1頁(yè)，共73頁(yè)。第一節(jié) 定積分的元素法abxyo分析面積元素回顧曲邊梯形求面積的問(wèn)題第2頁(yè)，共73頁(yè)。設(shè)U是可用定積分表達(dá)的量，則計(jì)算量U的步驟為：定積分的元素法 選擇函數(shù) f (x) ,并確定自變量 x 的變化區(qū)間a, b; 在a, b內(nèi)考慮典型小區(qū)間x, x+dx, 求出相應(yīng)于這個(gè)小區(qū)間的部分量U的近似值 f(x)dx, 記為 計(jì)算應(yīng)用方向： 平面圖形的面積、立體的體積、平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)；功、水壓力、引力和平均值等第3頁(yè)，共73頁(yè)。第二節(jié) 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用一、平面圖形的面積1.直角坐標(biāo)情形面積元素:(1) 由連續(xù)曲線(xiàn) y = f (x), 直線(xiàn) x=a, x=b

2、(ab)及x軸所圍成的平面圖形的面積yo面積第4頁(yè)，共73頁(yè)。若f (x)有正有負(fù),則曲邊梯形面積為xyoab第5頁(yè)，共73頁(yè)。 (2) 由連續(xù)曲線(xiàn) y=f(x), y=g(x), 直線(xiàn) x=a, x=b (ab)所圍成的平面圖形的面積cxyoab面積元素:第6頁(yè)，共73頁(yè)。特別， 時(shí),xyoab面積元素:第7頁(yè)，共73頁(yè)。dcxyo圍成的平面圖形的面積為 xyodc第8頁(yè)，共73頁(yè)。及y軸圍成的平面圖形的面積為 dcxyodcxyo第9頁(yè)，共73頁(yè)。解先求兩曲線(xiàn)的交點(diǎn)面積元素選x為積分變量,例1 第10頁(yè)，共73頁(yè)。例2 圍成的平面圖形的面積. xoy解 由對(duì)稱(chēng)性,交點(diǎn)第11頁(yè)，共73頁(yè)。解

3、兩曲線(xiàn)的交點(diǎn)例3 第12頁(yè)，共73頁(yè)。此題選y為積分變量比較好,選擇積分變量的原則： (1)積分容易；(2)盡量少分塊. 第13頁(yè)，共73頁(yè)。例4 第14頁(yè)，共73頁(yè)。有時(shí)需要把邊界函數(shù)參數(shù)化.第15頁(yè)，共73頁(yè)。解橢圓的參數(shù)方程由對(duì)稱(chēng)性知總面積等于第一象限部分面積的4倍,例4 第16頁(yè)，共73頁(yè)。解例5 360頁(yè) 第17頁(yè)，共73頁(yè)。面積元素曲邊扇形的面積2.極坐標(biāo)情形扇形面積公式 第18頁(yè)，共73頁(yè)。解例6 解例7 第19頁(yè)，共73頁(yè)。解例8 第20頁(yè)，共73頁(yè)。第21頁(yè)，共73頁(yè)。第22頁(yè)，共73頁(yè)。 旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線(xiàn)叫做旋轉(zhuǎn)軸圓柱圓錐圓

4、臺(tái)二、體積1. 旋轉(zhuǎn)體的體積第23頁(yè)，共73頁(yè)。abox y體積元素:旋轉(zhuǎn)體的體積為第24頁(yè)，共73頁(yè)。直線(xiàn)OP的方程為解例1 第25頁(yè)，共73頁(yè)。例2 x yOab解 第26頁(yè)，共73頁(yè)。例3 解 xy利用圓面積第27頁(yè)，共73頁(yè)。第28頁(yè)，共73頁(yè)。例4 解 下面再補(bǔ)充介紹一個(gè)方法.第29頁(yè)，共73頁(yè)。上例:套筒法第30頁(yè)，共73頁(yè)。解例5 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積第31頁(yè)，共73頁(yè)。繞 y 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積:可看作平面圖OABC與OBC分別繞 y 軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積之差. 第32頁(yè)，共73頁(yè)。繞 y 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積:可看作平面圖OABC與OBC分別繞 y 軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體

5、積之差. 或用“套筒法”:第33頁(yè)，共73頁(yè)。例6 解 22-2第34頁(yè)，共73頁(yè)。第35頁(yè)，共73頁(yè)。2. 平行截面面積為已知的立體的體積xxx+dxA(x)ab第36頁(yè)，共73頁(yè)。解建立坐標(biāo)系如圖,截面面積所以立體體積例6 垂直于 x 軸的截面為直角三角形, 第37頁(yè)，共73頁(yè)。三、平面曲線(xiàn)弧長(zhǎng)并依次連接相鄰分點(diǎn)得一內(nèi)接折線(xiàn)， 則稱(chēng)此極限為曲線(xiàn)弧AB的弧長(zhǎng). 此時(shí)稱(chēng)弧為可求長(zhǎng)的.第38頁(yè)，共73頁(yè)。定理(弧長(zhǎng)公式) 證在第三章“導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用”中弧微分一節(jié)知, 即得證. 推論1 第39頁(yè)，共73頁(yè)。推論2 證第40頁(yè)，共73頁(yè)。解例1 第41頁(yè)，共73頁(yè)。例2 解 例3 解 第42頁(yè)，共73頁(yè)

6、。例4 解 的弧長(zhǎng). 第43頁(yè)，共73頁(yè)。練習(xí)：P284 習(xí)題6-21. 2.(1)(3) 3. 5.(1)(2) 6. 7. 8.(1)12. 13. 14. 15.(1)(3) 18. 20.22. 26. 28. 30.第44頁(yè)，共73頁(yè)。 將彈簧一端固定,另一端從平衡位置拉長(zhǎng)s,問(wèn)克服彈性需做多少功？ 第三節(jié) 定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用如果是變力, 例1 解 勢(shì)能一、變力沿直線(xiàn)所作的功第45頁(yè)，共73頁(yè)。例2 兩物體之間的萬(wàn)有引力為 地球?qū)Φ乇硗馕矬w的引力為 當(dāng)物體在地球表面時(shí), 把物體從A點(diǎn)提升到B點(diǎn),需克服引力做功 第46頁(yè)，共73頁(yè)。如果要求物體飛離地球引力范圍, 取發(fā)射時(shí)物體的動(dòng)能

7、為 稱(chēng)為第二宇宙速度. 第47頁(yè)，共73頁(yè)。 一圓柱形蓄水池高為5米, 底半徑為3米,池內(nèi)盛滿(mǎn)了水. 問(wèn)要把池內(nèi)的水全部吸出, 需作多少功？ 建立坐標(biāo)系如圖,解例3 功元素注：若水不裝滿(mǎn),如何求？ 第48頁(yè)，共73頁(yè)。二、水壓力例4 解在端面建立坐標(biāo)系如圖,壓力元素端面上所受的壓力為 第49頁(yè)，共73頁(yè)。 水庫(kù)的閘門(mén)是等腰梯形,上底6米,下底4米,高10米,水面與上底齊平,求閘門(mén)所承受的壓力. 例5 解6m4mx01mx建立坐標(biāo)系如圖,細(xì)長(zhǎng)條長(zhǎng)度壓力元素第50頁(yè)，共73頁(yè)。三、引力 設(shè)有一長(zhǎng)度為l、線(xiàn)密度為的均勻細(xì)直棒,在其中垂直線(xiàn)上距棒a處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M. 求該棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力. 例6

8、解建立坐標(biāo)系如圖,第51頁(yè)，共73頁(yè)。水平方向的分力元素由對(duì)稱(chēng)性知，引力在鉛直方向分力為第52頁(yè)，共73頁(yè)。練習(xí)：P291 習(xí)題6-33. 5. 第n次呢? 6. 8. 9. 11. 12.第53頁(yè)，共73頁(yè)。習(xí)題課第54頁(yè)，共73頁(yè)。例1 解所圍成的圖形的面積. 關(guān)于y積分較方便，第55頁(yè)，共73頁(yè)。作草圖如下,化為極坐標(biāo)計(jì)算,例2 解第56頁(yè)，共73頁(yè)。例3 解第57頁(yè)，共73頁(yè)。導(dǎo)數(shù)左負(fù)右正，故為極小值點(diǎn)，又由唯一性知是最小值點(diǎn)，第58頁(yè)，共73頁(yè)。例4解法1旋轉(zhuǎn)體的體積為用直角坐標(biāo)，第59頁(yè)，共73頁(yè)。例4 解法2參數(shù)化，第60頁(yè)，共73頁(yè)。例5 解體積元素為y=f(x)y=g(x)a

9、bxx+dxy=mxyo所以所求旋轉(zhuǎn)體體積為第61頁(yè)，共73頁(yè)。體積元素為例6 解第62頁(yè)，共73頁(yè)。例7解(考研) 用“套筒法”： 本題：第63頁(yè)，共73頁(yè)。解例8 第64頁(yè)，共73頁(yè)。求心臟線(xiàn) r = a (1+cos ) 的全長(zhǎng).心臟線(xiàn)全長(zhǎng)對(duì)應(yīng)例9 解第65頁(yè)，共73頁(yè)。 用鐵錘把釘子釘入木板，設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進(jìn)入木板的深度成正比，鐵錘在第一次錘擊時(shí)將鐵釘擊入1厘米，若每次錘擊所作的功相等，問(wèn)第n次錘擊時(shí)又將鐵釘擊入多少？解設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇榈谝淮五N擊時(shí)所作的功為P292 5.設(shè)n次擊入的總深度為h厘米, 所作的總功為例10第66頁(yè)，共73頁(yè)。所以第n次擊入的深度為依題意知，每次錘擊所作的功相