2021-2022學(xué)年甘肅省蘭州市高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

1、2021-2022學(xué)年甘肅省蘭州市高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1已知向量，則（）A3BC5DD【分析】利用平面向量的模長(zhǎng)公式.【詳解】，故A，B，C錯(cuò)誤.故選：D.2已知復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位），則（）ABCDA【分析】由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算和除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再由共軛復(fù)數(shù)即可得出答案.【詳解】復(fù)數(shù)，則.故選：A.3若，則直線，的位置關(guān)系是（）A平行或異面B平行或相交C相交或異面D平行、相交或異面D【分析】利用條件，聯(lián)系立方體即可得出結(jié)論.【詳解】解：如圖所示，設(shè)平面為平面若，故，相交；若，故，異面；若，故，平行.故選：D4在一次拋硬幣的試驗(yàn)中，某同學(xué)用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了100次試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)正

2、面朝上出現(xiàn)了48次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為（）A0.48，0.48B0.5，0.5C0.48，0 .5D0.5，0.48C【分析】頻率跟實(shí)驗(yàn)次數(shù)有關(guān)，概率是一種現(xiàn)象的固有屬性，與實(shí)驗(yàn)次數(shù)無(wú)關(guān)，即可得到答案.【詳解】頻率跟實(shí)驗(yàn)次數(shù)有關(guān)，出現(xiàn)正面朝上的頻率為實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)正面朝上的次數(shù)除以總試驗(yàn)次數(shù)，故為.概率是拋硬幣試驗(yàn)的固有屬性，與實(shí)驗(yàn)次數(shù)無(wú)關(guān)，拋硬幣正面朝上的概率為.故選：C.5已知，則（）ABCDB【分析】根據(jù)二倍角公式展開(kāi)，上下同除，代數(shù)計(jì)算，即可得答案.【詳解】由題意得，故選：B.6在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，向量，若，則角B的大小為（）ABCDB【分析】根據(jù)向

3、量平行列方程，結(jié)合正弦定理求得正確答案.【詳解】由于，所以，由正弦定理得，由于，所以，所以，由于，所以.故選：B7如圖，已知四棱錐，底而ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)相等且為4，E為CD的中點(diǎn)，則異面直線CM與AE所成角的余弦值為（）ABCDD【分析】取AB的中點(diǎn)F，連接FC，F(xiàn)M，通過(guò)平移的方法，找出異面直線CM與AE所成角或其補(bǔ)角，然后解三角形求得答案.【詳解】如圖，取AB的中點(diǎn)F，連接FC，F(xiàn)M，因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，E是CD的中點(diǎn)，所以，且， 所以異面直線CM與AE所成的角為FCM或其補(bǔ)角，四棱錐的側(cè)棱相等且為4，在MAB中，由勾股定理得，在MCF中，由余弦定理得，所

4、以異面直線CM與AE所成角的余弦值為，故選：D8如圖，在中，點(diǎn)C滿(mǎn)足，點(diǎn)P為OC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線分別交線段OA，OB于點(diǎn)M，N，若，則的值為（）A3B4C5D6D【分析】先由向量的線性運(yùn)算得，再由得，由三點(diǎn)共線即可求解.【詳解】由題意得，則，又，則，則，又三點(diǎn)共線，則，即.故選：D.二、多選題9下列命題中，正確的是()A若，則或B若，且，則或C若與平行，則D若不平行的兩個(gè)非零向量、，滿(mǎn)足，則BD【分析】A：根據(jù)向量垂直，數(shù)量積為零即可判斷；B：根據(jù)向量數(shù)乘的性質(zhì)即可判斷；C：根據(jù)向量平行概念和數(shù)量積概念即可判斷；D：根據(jù)向量運(yùn)算律即可判斷【詳解】對(duì)于A，若，則或或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，且

5、，則或，故B正確；對(duì)于C，若與平行，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若不平行的兩個(gè)非零向量、，滿(mǎn)足，則，故D正確故選：BD10下列化簡(jiǎn)正確的是（）ABCDACD【分析】根據(jù)余弦的二倍角公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，即可判斷A，B是否正確；利用兩角和的正切公式以及特殊角的三角函數(shù)值，即可判斷C，D是否正確.【詳解】，故A正確；，故B錯(cuò)誤；，故C正確；因?yàn)椋?，即，故D正確.故選：ACD.11關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的有（）A函數(shù)有最小值B存在有時(shí)，成立C函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)ABC【分析】根據(jù)題意得，再根據(jù)正弦型函數(shù)性質(zhì)判斷即可.【詳解】，當(dāng)時(shí)，有最小值為，故A正確；設(shè)，所以，所

6、以，故B正確；因?yàn)?，所以，所以函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C正確；當(dāng)時(shí)，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.12棱長(zhǎng)為的正方體的展開(kāi)圖如圖所示.已知為線段的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動(dòng).則關(guān)于該正方體，下列說(shuō)法正確的有（）A與是異面直線B與所成角為C平面平面D若，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為BCD【分析】由展開(kāi)圖還原正方體，根據(jù)可知A錯(cuò)誤；由可知異面直線與所成角為，由此可求得B正確；由線面垂直的判定可證得平面，由面面垂直的判定可知C正確；根據(jù)平面，平面平面可得點(diǎn)軌跡，進(jìn)而求得D正確.【詳解】由展開(kāi)圖還原正方體如下圖所示，對(duì)于A，四邊形為平行四邊形，與是共面直線，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，與所成角即為，為等邊三角形，即與所成角

7、為，B正確；對(duì)于C，平面，平面，；又，平面，平面，又平面，平面平面，C正確；對(duì)于D，由正方體性質(zhì)可知平面，取中點(diǎn)，連接，則平面平面，點(diǎn)的軌跡為正六邊形的邊，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，D正確.故選：BCD.三、填空題13已知平面向量，的夾角為120，且.若，則_.11【分析】根據(jù)數(shù)量積公式，可得的值，由題意得，展開(kāi)計(jì)算，即可得答案.【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄?，的夾角為，且，所以，因?yàn)?，所以，所以，解得，?1.14在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于直線上，則_.-0.5【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，并將其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)代入，解方程可得【詳解】，又復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于直線上，解得.故答案為.15已知甲、乙、丙三人去參加某公司面試，他們被該公

8、司錄取的概率分別是，且三人錄取結(jié)果相互之間沒(méi)有影響，則他們?nèi)酥星∮袃扇吮讳浫〉母怕蕿開(kāi).0.15【分析】利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式分別求出甲和乙被錄取的概率、甲和丙被錄取的概率、乙和丙被錄取的概率，然后即可求出他們?nèi)酥星∮袃扇吮讳浫〉母怕?【詳解】因?yàn)榧?、乙、丙三人被該公司錄取的概率分別是，且三人錄取結(jié)果相互之間沒(méi)有影響，甲和乙被錄取的概率為，甲和丙被錄取的概率為，乙和丙被錄取的概率為則他們?nèi)酥星∮袃扇吮讳浫〉母怕蕿椋蚀鸢笧?16在三棱錐中，則該三棱錐外接球的表面積為_(kāi).【分析】作且交于E，根據(jù)已知條件可得的外接球即為的外接球，連接，應(yīng)用勾股定理、線面垂直的判定可得面、面，再由線面

9、垂直的性質(zhì)有、，則兩兩垂直，進(jìn)一步得到的外接球即長(zhǎng)寬高分別為的長(zhǎng)方體的外接球，即可求外接球的面積.【詳解】由題設(shè)，為等腰直角三角形，作且交于E，所以為邊長(zhǎng)為4的正方形，則的外接球即為的外接球，連接，又即，而，故面，又面，所以，即，在中，又故，所以，而且，故面，又面，所以，即，綜上，兩兩垂直，則的外接球即長(zhǎng)寬高分別為的長(zhǎng)方體的外接球，所以的外接球半徑，則外接球的表面積為.故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：作且交于E，連接，應(yīng)用勾股定理、正方形性質(zhì)及線面垂直的判定和性質(zhì)證明兩兩垂直，轉(zhuǎn)化為求長(zhǎng)方體的外接球面積.四、解答題17設(shè)向量滿(mǎn)足，且與的夾角為.（1）求及的值；（2）求的值.（1）；（2）.【分析】（1）

10、根據(jù)向量數(shù)量積的定義和向量運(yùn)算規(guī)則求解即可；（2）根據(jù)（1）所求的向量數(shù)量積計(jì)算向量的模即可得出答案.【詳解】（1）依題意，；（2）根據(jù)（1）中可得，.18已知a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且(1)求角A的大小；(2)若，且的面積為，求a的值(1)(2)【分析】（1）通過(guò)正弦定理將邊化為角，求出即可；（2）由三角形面積公式得，再由余弦定理即可得結(jié)果.【詳解】(1)由正弦定理得，即，由于，所以，由于，所以.(2)由 可得： ，由余弦定理得：，19如圖，在四棱錐中，面平面ABCD，且底面ABCD是直角梯形，滿(mǎn)足，點(diǎn)G在線段PC上，且.(1)求證：；(2)求證：PA平面BDG.(1)證明

11、見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由結(jié)合面面垂直的性質(zhì)證得面PCD，即可證得；（2）連接交于點(diǎn)，先由相似得，再結(jié)合得，即可證得PA平面BDG.【詳解】(1)由，可得，又面平面ABCD，面平面ABCD，平面，則面，又面，則；(2)連接交于點(diǎn)，連接，由梯形中，得，又，面，面，PA平面BDG.20甲、乙兩人參加普法知識(shí)競(jìng)賽，共有5題，選擇題3個(gè)，判斷題2個(gè)，甲、乙兩人各抽一題.（1）甲、乙兩人中有一個(gè)抽到選擇題，另一個(gè)抽到判斷題的概率是多少？（2）甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？（1）（2）首先用列舉法，求得甲、乙兩人各抽一題的所有可能情況.（1）根據(jù)上述分析，分別求得“甲抽到判斷題

12、，乙抽到選擇題”和“甲、乙兩人中有一個(gè)抽到選擇題，另一個(gè)抽到判斷題”的概率，然后根據(jù)互斥事件概率加法公式，求得“甲、乙兩人中有一個(gè)抽到選擇題，另一個(gè)抽到判斷題”的概率.（2）根據(jù)上述分析，求得“甲、乙兩人都抽到判斷題”的概率，根據(jù)對(duì)立事件概率計(jì)算公司求得“甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題” 的概率.【詳解】把3個(gè)選擇題記為，2個(gè)判斷題記為“甲抽到選擇題，乙抽到判斷題”的情況有，共6種；“甲抽到判斷題，乙抽到選擇題”的情況有，共6種；“甲、乙都抽到選擇題”的情況有，共6種；“甲、乙都抽到判斷題”的情況有，共2種.因此基本事件的總數(shù)為.（1）記“甲抽到選擇題，乙抽到判斷題”為事件A，則.記“甲抽到

13、判斷題，乙抽到選擇題”為事件B，則，故“甲、乙兩人中有一個(gè)抽到選擇題，另一個(gè)抽到判斷題”的概率為.（2）記“甲、乙兩人至少有一人抽到選擇題”為事件C，則為“甲、乙兩人都抽到判斷題”，由題意，故“甲、乙兩人至少有一人抽到選擇題”的概率為.本小題主要考查互斥事件概率計(jì)算，考查對(duì)立事件，屬于基礎(chǔ)題.21如圖，在三棱柱中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在線段上. (1)求證：；(2)若是正三角形，求三棱柱的體積.（1）見(jiàn)證明；(2) 【分析】（1）分別證明和，結(jié)合直線與平面垂直判定，即可（2）法一：計(jì)算，結(jié)合和，即可法二 :計(jì)算，結(jié)合，計(jì)算體積，即可法三：結(jié)合，計(jì)算結(jié)果，即可【詳解】(1)證明：設(shè)點(diǎn)在平面

14、內(nèi)的射影為，則，且，因，所以.在中，則，在中，則，故，故.因，故.(2)法一、，由(1)得，故是三棱錐的高，是正三角形，故三棱柱的體積，故三棱柱的體積為. 法二、將三棱柱補(bǔ)成四棱柱如圖，因且高一樣，故，故，由(1)得，故是四棱柱的高，故， 故，故三棱柱的體積為.法三、在三棱錐中，由(1)得，是三棱錐的高，6分記到平面的距離為，由得，即，為的中點(diǎn)，故到平面的距離為， .故三棱柱的體積為.本道題考查了直線與平面垂直的判定，考查了三棱柱的體積計(jì)算公式，難度較大22請(qǐng)從下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答.；的面積為；.在中，內(nèi)角，的對(duì)邊分別是，若_.（1）求角；（2）若，求的取值范圍.條件選擇見(jiàn)解析