五年級奧數(shù).計數(shù)綜合.排列組合(ABC級).學(xué)生版

1、知識結(jié)構(gòu)一、排列問題在實際生活中經(jīng)常會遇到這樣的問題，就是要把一些事物排在一起，構(gòu)成一列，計算有多少種排法，就是排列問題.在排的過程中，不僅與參與排列的事物有關(guān)，而且與各事物所在的先后順序有關(guān).一般地，從n個不同的元素中取出m(mn)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.根據(jù)排列的定義，兩個排列相同，指的是兩個排列的元素完全相同，并且元素的排列順序也相同.如果兩個排列中，元素不完全相同，它們是不同的排列；如果兩個排列中，雖然元素完全相同，但元素的排列順序不同，它們也是不同的排列.排列的基本問題是計算排列的總個數(shù).從n個不同的元素中取出m(mn)個元素的所有

2、排列的個數(shù)，叫做從n個不同的元素的排列中取出m個元素的排列數(shù)，我們把它記做Pm.n根據(jù)排列的定義，做一個m元素的排列由m個步驟完成：步驟1：從n個不同的元素中任取一個元素排在第一位，有n種方法；步驟2:從剩下的(n-1)個元素中任取一個元素排在第二位，有(n-1)種方法；步驟m:從剩下的n-(m-1)個元素中任取一個元素排在第m個位置，有n-(m-1)，n-m+1(種)方法；由乘法原理，從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)是n(n-1)(n-2)(n-m+1)，即Pm，n(n-1).(n-2)(n-m+1)，這里，mn，且等號右邊從n開始，后面每個因數(shù)比前一個因數(shù)小1，n共有m個因數(shù)相乘.hi

3、二、排列數(shù)一般地，對于m，n的情況，排列數(shù)公式變?yōu)镻”，n(n-1)(n-2)321.n表示從n個不同元素中取n個元素排成一列所構(gòu)成排列的排列數(shù).這種n個排列全部取出的排列，叫做n個不同元素的全排列.式子右邊是從n開始，后面每一個因數(shù)比前一個因數(shù)小1，一直乘到1的乘積,MSDC模塊化分級講義體系五年級奧數(shù)計數(shù)綜合.排列組合(ABC級)學(xué)生版Page1of10記為n!，讀做n的階乘，則Pn還可以寫為：Pnn!，其中n!=n（n1）（n2）-3-2-1.nn在排列問題中，有時候會要求某些物體或元素必須相鄰；求某些物體必須相鄰的方法數(shù)量，可以將這些物體當(dāng)作一個整體捆綁在一起進(jìn)行計算.汕|）三、組合問

4、題日常生活中有很多“分組”問題.如在體育比賽中，把參賽隊分為幾個組，從全班同學(xué)中選出幾人參加某項活動等等.這種“分組”問題，就是我們將要討論的組合問題，這里，我們將著重研究有多少種分組方法的問題.一般地，從n個不同元素中取出m個（mn）元素組成一組不計較組內(nèi)各元素的次序，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.從排列和組合的定義可以知道，排列與元素的順序有關(guān)，而組合與順序無關(guān).如果兩個組合中的元素完全相同，那么不管元素的順序如何，都是相同的組合，只有當(dāng)兩個組合中的元素不完全相同時，才是不同的組合.從n個不同元素中取出m個元素（mn）的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個不同元素的組

5、合數(shù).記作Cm.n一般地，求從n個不同元素中取出的m個元素的排列數(shù)Pm可分成以下兩步:n第一步：從n個不同元素中取出m個元素組成一組，共有Cm種方法；n第二步：將每一個組合中的m個元素進(jìn)行全排列，共有Pm種排法.m根據(jù)乘法原理，得到Pm=CmPm.n（n一1）（n一2）-（n一m+1）m（m一1）（m一2）-321nnm因此，組合數(shù)Cm=聖=nPmm這個公式就是組合數(shù)公式.四、組合數(shù)的重要性質(zhì)一般地，組合數(shù)有下面的重要性質(zhì)：Cm=Cn-m（mn）nn這個公式的直觀意義是：Cm表示從n個元素中取出m個元素組成一組的所有分組方法.Cn-m表示從nnn個元素中取出（n-m）個元素組成一組的所有分組方

6、法.顯然，從n個元素中選出m個元素的分組方法恰是從n個元素中選m個元素剩下的（n-m）個元素的分組方法.例如，從5人中選3人開會的方法和從5人中選出2人不去開會的方法是一樣多的，即C3=C.規(guī)定Cn=1，C0=1.nn五、插板法一般用來解決求分解一定數(shù)量的無差別物體的方法的總數(shù)，使用插板法一般有三個要求：所要分解的物體一般是相同的：所要分解的物體必須全部分完：參與分物體的組至少都分到1MSDC模塊化分級講義體系五年級奧數(shù)計數(shù)綜合.排列組合（ABC級）學(xué)生版Page2of10個物體，不能有沒分到物體的組出現(xiàn).在有些題目中，已知條件與上面的三個要求并不一定完全相符，對此應(yīng)當(dāng)對已知條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?/p>

7、，使得它與一般的要求相符，再適用插板法.六使用插板法一般有如下三種類型：m個人分n個東西，要求每個人至少有一個.這個時候我們只需要把所有的東西排成一排，在其中的(n1)個空隙中放上(m1)個插板，所以分法的數(shù)目為.m個人分n個東西，要求每個人至少有a個.這個時候，我們先發(fā)給每個人(a-1)個，還剩下n-m(a-1)個東西，這個時候，我們把剩下的東西按照類型來處理就可以了.所以分法的數(shù)目為CmT.n-m(a-1)-1m個人分n個東西，允許有人沒有分到.這個時候，我們不妨先借來東西，每個人多發(fā)個，這樣就和類型一樣了，不過這時候物品總數(shù)變成了m)個，因此分法的數(shù)目為m-1.n+m-1例題精講【例1】

8、4個男生2個女生6人站成一排合影留念，有多少種排法？如果要求2個女生緊挨著排在正中間有多少種不同的排法？【鞏固】4男2女6個人站成一排合影留念，要求2個女的緊挨著有多少種不同的排法?【例2】將A、B、C、D、E、F、G七位同學(xué)在操場排成一列，其中學(xué)生B與C必須相鄰.請問共有多少種不同的排列方法？MSDC模塊化分級講義體系五年級奧數(shù)計數(shù)綜合.排列組合(ABC級)學(xué)生版Page3of10【鞏固】6名小朋友A、B、C、D、E、F站成一排，若A,B兩人必須相鄰，一共有多少種不同的站法?若A、B兩人不能相鄰，一共有多少種不同的站法？【例3】書架上有4本不同的漫畫書，5本不同的童話書，3本不同的故事書，全

9、部豎起排成一排，如果同類型的書不要分開，一共有多少種排法？如果只要求童話書和漫畫書不要分開有多少種排法？【鞏固】四年級三班舉行六一兒童節(jié)聯(lián)歡活動.整個活動由2個舞蹈、2個演唱和3個小品組成.請問:如果要求同類型的節(jié)目連續(xù)演出，那么共有多少種不同的出場順序？【例4】8人圍圓桌聚餐，甲、乙兩人必須相鄰，而乙、丙兩人不得相鄰，有幾種坐法?【鞏固】a，b，c，d，e五個人排成一排，a與b不相鄰，共有多少種不同的排法?MSDC模塊化分級講義體系五年級奧數(shù)計數(shù)綜合.排列組合（ABC級）學(xué)生版Page4of10【例5】一臺晚會上有6個演唱節(jié)目和4個舞蹈節(jié)目.求:當(dāng)4個舞蹈節(jié)目要排在一起時，有多少不同的安排節(jié)

10、目的順序？當(dāng)要求每2個舞蹈節(jié)目之間至少安排1個演唱節(jié)目時，一共有多少不同的安排節(jié)目的順序?【鞏固】由4個不同的獨唱節(jié)目和3個不同的合唱節(jié)目組成一臺晚會，要求任意兩個合唱節(jié)目不相鄰，開始和最后一個節(jié)目必須是合唱，則這臺晚會節(jié)目的編排方法共有多少種？【例6】有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少種不同的吃法?【鞏固】小紅有10塊糖，每天至少吃1塊，7天吃完，她共有多少種不同的吃法?【鞏固】有12塊糖，小光要6天吃完，每天至少要吃一塊，問共有種吃法.【例7】10只無差別的橘子放到3個不同的盤子里，允許有的盤子空著.請問一共有多少種不同的放法?MSDC模塊化分級講義體系五年級奧數(shù)計數(shù)綜合.排

11、列組合（ABC級）學(xué)生版Page5of10【鞏固】將13個相同的蘋果放到3個不同的盤子里，允許有盤子空著。一共有種不同的放法?！纠?】把20個蘋果分給3個小朋友，每人最少分3個，可以有多少種不同的分法?【鞏固】三所學(xué)校組織一次聯(lián)歡晚會，共演出14個節(jié)目，如果每校至少演出3個節(jié)目，那么這三所學(xué)校演出節(jié)目數(shù)的不同情況共有多少種？【例9】（1）小明有10塊糖，每天至少吃1塊，8天吃完，共有多少種不同吃法？（2）小明有10塊糖，每天至少吃1塊，8天或8天之內(nèi)吃完，共有多少種吃法?【鞏固】有10粒糖，每天至少吃一粒，吃完為止，共有多少種不同的吃法?【例10】馬路上有編號為1，2，3，蘋，10的十只路燈，

12、為節(jié)約用電又能看清路面，可以把其中的三只燈關(guān)掉，但又不能同時關(guān)掉相鄰的兩只，在兩端的燈也不能關(guān)掉的情況下，求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？MSDC模塊化分級講義體系五年級奧數(shù)計數(shù)綜合.排列組合（ABC級）學(xué)生版【鞏固】學(xué)校新修建的一條道路上有12盞路燈，為了節(jié)省用電而又不影響正常的照明，可以熄滅其中2盞燈，但兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的2盞燈，那么熄燈的方法共有多少種?【例11】在四位數(shù)中，各位數(shù)字之和是4的四位數(shù)有多少?【鞏固】大于2000小于3000的四位數(shù)中數(shù)字和等于9的數(shù)共有多少個?【例12】所有三位數(shù)中，與456相加產(chǎn)生進(jìn)位的數(shù)有多少個?【鞏固】從1到2004這2004個正整數(shù)中

13、，共有幾個數(shù)與四位數(shù)8866相加時，至少發(fā)生一次進(jìn)位?MSDC模塊化分級講義體系五年級奧數(shù)計數(shù)綜合.排列組合（ABC級）學(xué)生版Page7of10課堂檢測【隨練1】某小組有12個同學(xué)，其中男少先隊員有3人，女少先隊員有4人，全組同學(xué)站成一排，要求女少先隊員都排一起，而男少先隊員不排在一起，這樣的排法有多少種？【隨練2】把7支完全相同的鉛筆分給甲、乙、丙3個人，每人至少1支，問有多少種方法?【隨練3】在三位數(shù)中，至少出現(xiàn)一個6的偶數(shù)有多少個?家庭作業(yè)【作業(yè)1】將三盆同樣的紅花和四盆同樣的黃花擺放成一排，要求三盆紅花互不相鄰，共有種不同的放法?！咀鳂I(yè)2】學(xué)校合唱團(tuán)要從6個班中補充8名同學(xué)，每個班至少1名，共有多少種抽調(diào)方法?【作業(yè)3】能被3整除且至少有一個數(shù)字是6的四位數(shù)有個。MSDC模塊化分級講義體系五年級奧數(shù)計數(shù)綜合.排列組合（ABC級）學(xué)生版Page8of10【作業(yè)4】學(xué)校乒乓球隊一共有4名男生和3名女生.某次比賽后他們站成一排照相，請問:如果要求男生不能相鄰，一共有多少不同的站法？如果要求女生都站在一起，一共有多少種不同的站法？【作業(yè)5】由0，1，2,3,4,5