釋疑解難向量代數(shù)與解析幾何

1、釋疑解難 向量代數(shù)與解析幾何問題1 下列向量等式的幾何意義是什么？（1）； （2）；（3）；（4）答 （1）表示向量依次首尾相接時(shí)，第一向量起點(diǎn)與第三向量終點(diǎn)相重合，這在幾何上表示：三向量為邊構(gòu)成三角形，或者三向量共線（2）由混合積的幾何意義知，表示以為棱的平行六面體的體積表示體積為零，即向量共面（3）表示向量是由向量的線性組合而得到，因此向量平行于由向量確定的平面，即三向量共面（4）向量表示向量在向量上投影向量（如圖7-4）表示以為邊的三角形中與垂直的高向量，故有問題2 下列各式對(duì)嗎？為什么？當(dāng)時(shí)， ； ； ； ；若時(shí)，則；若時(shí)，則 答 以上各式均是錯(cuò)誤的錯(cuò)誤的原因在于把實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則搬到向

2、量運(yùn)算上一般而言，在一個(gè)集合中規(guī)定了某些代數(shù)運(yùn)算后，便形成了一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，各個(gè)代數(shù)系統(tǒng)都有自身的運(yùn)算規(guī)則不能隨意地搬到另一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，不然，就要發(fā)生錯(cuò)誤，下面分析錯(cuò)誤的原因：（1）在向量中沒有除法的定義，因而等式左邊是沒有意義的（2）向量的“乘法”運(yùn)算有三種，第一種是數(shù)乘向量；第二種是向量與向量的數(shù)量積；第三種是向量與向量的向量積該題等式左邊是沒有意義的，事實(shí)上，表示數(shù)，數(shù)與的乘積是數(shù)乘向量的關(guān)系，不能寫成，即不能寫成教材中規(guī)定了，但是沒有意義的（3）由于，故等式不成立（4）是亂套實(shí)數(shù)乘法結(jié)合律而得到的左邊是向量與數(shù)量的乘積，是一個(gè)平行于的向量，右邊是數(shù)量與向量的乘積，是一個(gè)平行于的向量，這兩

3、個(gè)向量在一般情形下是不相等的，只有與同向時(shí)，等式才能成立事實(shí)上，若，則（5）是套用實(shí)數(shù)的平方差公式而得到的由于向量積雖然滿足分配律，但不滿足交換律（僅滿足反交換律），因此，這個(gè)公式是不對(duì)的，事實(shí)上（6）、（7）是套用了實(shí)數(shù)的消去律，由于向量的數(shù)量積的向量積沒有逆運(yùn)算，因此，向量運(yùn)算中，這種消去律不成立（見前面的“幾點(diǎn)注意”），我們只能得到；問題3 設(shè)三角形頂點(diǎn)的向徑分別是，如何用表示三角形的面積？進(jìn)一步說明的幾何意義答 應(yīng)用向量的加法（如圖7-5），可以表示為，則的面積為 因，故 顯然，當(dāng)時(shí)，的面積，這在幾何上表示三點(diǎn)在同一直線上 問題4 一般二次方程 當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不全為零時(shí)必定表示二次曲面嗎？ 答 不一定例如下列各二次方程均不表示二次曲面：（1）可化為，故知它表示兩個(gè)平行平面（2），可化為，故知它表示一條直線（3），可化為，它表示一個(gè)點(diǎn)（4）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解，即無圖像由上可知，二次方程在某些情