高中數(shù)學(xué)選修第一冊：1.1.2 空間向量的數(shù)量積運算-2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)新教材配套學(xué)案（人教A版選擇性必修第一冊）

1、1.1.2 空間向量的數(shù)量積運算【學(xué)習(xí)目標(biāo)】課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.了解空間向量夾角的概念及表示方法.2.掌握兩個向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)與運算律.（重點）3.可以用數(shù)量積證明垂直，求解角度和長度（重點、難點）1、邏輯推理2、數(shù)學(xué)運算3、數(shù)學(xué)抽象【自主學(xué)習(xí)】空間向量的夾角(1)已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，則AOB叫做向量a，b的 ，記作 (2)a，b為非零向量，a，bb，a，a與b的夾角的范圍是 ，其中當(dāng)a，b0時，a與b ；當(dāng)a，b時，a與b ；當(dāng)a，beq f(,2)時，a與b 反之，若ab，則a，b ；若ab，則

2、a，b 。2. 空間向量數(shù)量積（1）概念：已知兩個非零向量a，b，則 叫做a，b的數(shù)量積，記作ab，即ab|a|b|cosa，b（2）投影向量：向量a向向量b投影，得到c=|a|b|cosa，b= ,向量c稱為向量a在向量b上的投影向量。（3）性質(zhì)ab ， |a|2 ， |a| ，cosa，b （4）運算律(ab) ，ab (交換律) a(bc) (分配律)特別提醒：不滿足結(jié)合律(ab)ca(bc)【小試牛刀】判斷正錯(1)若非零向量a，b為共線且同向的向量，則ab|a|b|.( )(2)對于向量a，b，c，有(ab)ca(bc)( )(3)對任意向量a，b，滿足|ab|a|b|.( )(4)

3、對于非零向量b，由abbc，可得ac.( )2對于向量a、b、c和實數(shù)，下列命題中的真命題是 ()A若ab0，則a0或b0B若a0，則0或a0C若a2b2，則ab或abD若abac，則bc【經(jīng)典例題】題型一數(shù)量積的計算注意：(1)已知a，b的模及a與b的夾角，直接代入數(shù)量積公式計算(2)如果要求的是關(guān)于a與b的多項式形式的數(shù)量積，可以先利用數(shù)量積的運算律將多項式展開，再利用aa|a|2及數(shù)量積公式進(jìn)行計算例1如圖所示，在棱長為1的正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，求：(1)eq o(EF,sup6()eq o(BA,sup6()； (2)eq o(EF,sup6()eq o(B

4、D,sup6()； (3)eq o(EF,sup6()eq o(DC,sup6()； (4)eq o(AB,sup6()eq o(CD,sup6().跟蹤訓(xùn)練 1 已知正四面體OABC的棱長為1.求：(1)eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()； (2)(eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()(eq o(CA,sup6()eq o(CB,sup6()；(3)|eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()|.題型二用數(shù)量積證明垂直問題注意：（1）證明線線垂直的方法證明線線垂直的關(guān)鍵是確定直線的方向向量，根據(jù)方向向量的數(shù)量

5、積是否為0來判斷兩直線是否垂直(2)證明與空間向量a，b，c有關(guān)的向量m，n垂直的方法先用向量a，b，c表示向量m，n，再判斷向量m，n的數(shù)量積是否為0.例2 如圖所示，已知ADB和ADC都是以D為直角頂點的直角三角形，且ADBDCD，BAC60.求證：BD平面ADC.跟蹤訓(xùn)練 2已知空間四邊形ABCD中，ABCD，ACBD，那么AD與BC的位置關(guān)系為_(填“平行”或“垂直”)題型三 用數(shù)量積求角度注意：求兩個空間向量a，b夾角的方法類同平面內(nèi)兩向量夾角的求法，利用公式cosa，beq f(ab,|a|b|)，在具體的幾何體中求兩向量的夾角時，可把其中一個向量的起點平移至與另一個向量的起點重合

6、，轉(zhuǎn)化為求平面中的角度大小問題例3如圖，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各條棱長都相等，M是側(cè)棱CC1的中點，則異面直線AB1和BM所成的角的大小是_跟蹤訓(xùn)練 3 已知點O是正ABC平面外的一點，若OAOBOCAB1，E、F分別是AB、OC的中點，試求OE與BF所成角的余弦值題型四 用數(shù)量積求長度注意:求解長度問題時，先選擇以兩點為端點的向量，將此向量表示為幾個向量和的形式，求出這幾個已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模，利用公式|a|eq r(aa)求解即可例4 如圖，已知ABCD中，AD4，CD3，D60，PA平面ABCD，并且PA6，則PC的長為_跟蹤訓(xùn)練 4 在平行六面體ABCDA1B

7、1C1D1中，AB1，AD2，AA13，BAD90，BAA1DAA160，求AC1的長【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1在如圖所示的正方體中，下列各對向量的夾角為45的是()A與B與C與D與2已知|a|2，|b|3，a，b60，則|2a3b|等于()Aeq r(97) B97Ceq r(61) D613.已知a，b是空間兩個向量，若|a|2，|b|2，|ab|eq r(7)，則cosa，b_4.已知空間向量a，b，c滿足abc0，|a|3，|b|1，|c|4，則abbcca的值為_5已知|a|3eq r(2)，|b|4，mab，nab，a，b135，mn，則_6如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別

8、是棱CD，CC1的中點，求異面直線A1M與DN所成的角。7.在空間四邊形OABC中，連接AC，OB，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求向量eq o(OA,sup6()與eq o(BC,sup6()所成角的余弦值8如圖，正三棱柱ABCA1B1C1中，底面邊長為eq r(2).(1)設(shè)側(cè)棱長為1，求證：AB1BC1；(2)設(shè)AB1與BC1的夾角為eq f(,3)，求側(cè)棱的長 【參考答案】【自主學(xué)習(xí)】1.（1）夾角 a，b（2）0， 方向相同 方向相反 互相垂直 0或 eq f(,2).2. （1）|a|b|cosa，b （2）（3）ab0 aa eq r(aa)eq f(a

9、b,|a|b|)（4）(a)b ba abac【小試牛刀】1. 2B 【解析】對于A，可舉反例：當(dāng)ab時，ab0；對于C，a2b2，只能推得|a|b|，而不能推出ab；對于D，abac可以移項整理推得a(bc)【經(jīng)典例題】例1 解 (1)eq o(EF,sup6()eq o(BA,sup6()eq f(1,2)eq o(BD,sup6()eq o(BA,sup6()eq f(1,2)|eq o(BD,sup6()|eq o(BA,sup6()|coseq o(BD,sup6()，eq o(BA,sup6()eq f(1,2)cos 60eq f(1,4).(2)eq o(EF,sup6()eq

10、 o(BD,sup6()eq f(1,2)eq o(BD,sup6()eq o(BD,sup6()eq f(1,2)|eq o(BD,sup6()|2eq f(1,2).(3)eq o(EF,sup6()eq o(DC,sup6()eq f(1,2)eq o(BD,sup6()eq o(DC,sup6()eq f(1,2)|eq o(BD,sup6()|eq o(DC,sup6()|coseq o(BD,sup6()，eq o(DC,sup6()eq f(1,2)cos 120eq f(1,4).(4)eq o(AB,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(AB,sup6()(eq

11、o(AD,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()|eq o(AB,sup6()|eq o(AD,sup6()|coseq o(AB,sup6()，eq o(AD,sup6()|eq o(AB,sup6()|eq o(AC,sup6()|coseq o(AB,sup6()，eq o(AC,sup6()cos 60cos 600.跟蹤訓(xùn)練 1 (1)eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()|eq o(OA,sup6()|eq o(OB,sup6()|cosAOB11co

12、s60eq f(1,2)；(2)(eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()(eq o(CA,sup6()eq o(CB,sup6()(eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()(eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()(eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()(eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()2eq o(OC,sup6()1211cos60211cos6011cos6012211cos601；(3)|eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6(

13、)eq o(OC,sup6()|eq r(o(sup12(),sdo4(o(OA,sup6()o(OB,sup6()o(OC,sup6()2)eq r(121212211cos603)eq r(6).例2 【證明】不妨設(shè)ADBDCD1，則ABACeq r(2).eq o(BD,sup6()eq o(AC,sup6()(eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，由于eq o(AD,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(AD,sup

14、6()(eq o(AD,sup6()eq o(DC,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AD,sup6()1，eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()|eq o(AB,sup6()|eq o(AC,sup6()|cos 60eq r(2)eq r(2)eq f(1,2)1.eq o(BD,sup6()eq o(AC,sup6()0，即BDAC，又已知BDAD，ADACA，BD平面ADC.跟蹤訓(xùn)練2解析eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()(eq o(AB,sup6()eq o(BD,sup6()(eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup

15、6()eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()2eq o(AB,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(AB,sup6()(eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()0，AD與BC垂直例3 90【解析】不妨設(shè)棱長為2，則eq o(AB1,sup6()eq o(BB1,sup6()eq o(BA,sup6()，eq o(BM,sup6()eq o(BC,sup6()eq f(1,2)eq o

16、(BB1,sup6()，coseq o(AB1,sup6()，eq o(BM,sup6()eq f(（o(BB1,sup6()o(BA,sup6()）（o(BC,sup6()f(1,2)o(BB1,sup6()）,2r(2)r(5)eq f(0220,2r(2)r(5)0，跟蹤訓(xùn)練 3設(shè)eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，eq o(OC,sup6()c，則abbccaeq f(1,2)，|a|b|c|1，eq o(OE,sup6()eq f(1,2)(ab)，eq o(BF,sup6()eq f(1,2)cb，eq o(OE,sup6()eq o(BF,sup6()

17、eq f(1,2)(ab)(eq f(1,2)cb)eq f(1,2)(eq f(1,2)aceq f(1,2)bcab|b|2)eq f(1,2)(eq f(1,4)eq f(1,4)eq f(1,2)1)eq f(1,2)，coseq o(OE,sup6()，eq o(BF,sup6()eq f(o(OE,sup6()o(BF,sup6(),|o(OE,sup6()|o(BF,sup6()|)eq f(f(1,2),f(r(3),2)f(r(3),2)eq f(2,3)，異面直線OE與BF所成角的余弦值為eq f(2,3).例4 7 【解析】，|2()2|2|2|22226242322|c

18、os 120611249PC7跟蹤訓(xùn)練 4 解因為eq o(AC1,sup6(-)eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AA1,sup6(-)，所以eq o(AC,sup6(-)eq oal(2,1)(eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AA1,sup6(-)2eq o(AB,sup6()2eq o(AD,sup6()2eq o(AA,sup6(-)eq oal(2,1)2(eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AA1,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AA1,su

19、p6()因為BAD90，BAA1DAA160，所以eq o(AC,sup6(-)eq oal(2,1)1492(13cos 6023cos 60)23.因為eq o(AC,sup6()eq oal(2,1)|eq o(AC1,sup6()|2，所以|eq o(AC1,sup6(-)|223，則|eq o(AC1,sup6(-)|eq r(23)，即AC1eq r(23).【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1. A【解析】A，B，C，D四個選項中各對向量的夾角依次是45，135，90，1802.C 解析|2a3b|24a212ab9b2 4221223cos 6093261，|2a3b|eq r(61).3eq f(

20、1,8) 【解析】將|ab|eq r(7)化為(ab)27，求得abeq f(1,2)，再由ab|a|b|cosa，b求得cosa，beq f(1,8).413 【解析】abc0，(abc)20，a2b2c22(abbcca)0，abbccaeq f(321242,2)13.5eq f(3,2)【解析】由mn，得(ab)(ab)0，a2(1)abb20，18(1)3eq r(2)4cos 135160，即460，eq f(3,2).6.解 以點D為原點，以DA，DC，DD1為x軸、y軸、z軸建立坐標(biāo)系Dxyz設(shè)正方體的棱長為2，則(2，1,2)， (0,2,1)，0，故異面直線A1M與ND所成

21、角為907.解eq o(BC,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()，eq o(OA,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(AB,sup6()|eq o(OA,sup6()|eq o(AC,sup6()|coseq o(OA,sup6()，eq o(AC,sup6()|eq o(OA,sup6()|eq o(AB,sup6()|coseq o(OA,sup6()，eq o(AB,sup6()84cos 13586cos 1202416eq r(2)，coseq o(OA,sup6()，eq o(BC,sup6()eq f(o(OA,sup6()o(BC,sup6(),|o(OA,sup6()|o(BC,sup6()|)eq f(2416r(2),85)eq f(32r(2),5).(1)證明eq o(AB1,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BB1,sup6()，eq o(BC1,sup6()eq o(BB1,sup6()eq o(BC,