2021-2022學(xué)年廣西南寧市高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

1、2021-2022學(xué)年廣西南寧市高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法和乘法的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，進(jìn)而即得.【詳解】復(fù)數(shù)，所以復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.故選：A.2已知在中，角A，B的對(duì)邊分別為a，b，若，則b的值為（）A1BC2DC【分析】根據(jù)正弦定理可得，結(jié)合的值可求b的值.【詳解】由正弦定理可得，所以，因?yàn)?，所?故選：C.3已知向量，則等于（）ABCDA【分析】由向量坐標(biāo)運(yùn)算直接求解即可.【詳解】.故選：A4下列說法不正確的是（）A長方體是平行六面體B正方體是平行六面體C直四棱柱

2、是長方體D平行六面體是四棱柱C【分析】根據(jù)長方體和直四棱柱的性質(zhì)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，長方體的各個(gè)對(duì)面是平行的，故正確；對(duì)于B，正方體的各個(gè)對(duì)面是平行的，故正確；對(duì)于C，直四棱柱的對(duì)面未必平行，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，按照四棱柱的定義，平行六面體是的側(cè)棱是平行的，是四棱柱，故正確；故選：C.5某新聞機(jī)構(gòu)想了解全國人民對(duì)長津湖之水門橋的評(píng)價(jià)，決定從某市3個(gè)區(qū)按人口數(shù)用分層抽樣的方法抽取一個(gè)樣本.若3個(gè)區(qū)人口數(shù)之比為2：3：4，且人口最少的一個(gè)區(qū)抽出100人，則這個(gè)樣本的容量為（）A550B500C450D400C【分析】根據(jù)分層抽樣的抽取比例相同求解即可【詳解】設(shè)這個(gè)樣本的容量為，則，解得.故選：C

3、6哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果在“2，3，5，7，11”這5個(gè)素?cái)?shù)中，任取兩個(gè)素?cái)?shù)，其和不是合數(shù)的概率是()ABCDB【分析】根據(jù)已知條件分別求出基本事件總個(gè)數(shù)和滿足任意兩個(gè)素?cái)?shù)之和不是合數(shù)的基本事件數(shù)即可求解.【詳解】在“2，3，5，7，11”這5個(gè)素?cái)?shù)中任取兩個(gè)，其和有10種不同的情況如下：5、7、8、9、10、12、13、14、16、18，其中兩素?cái)?shù)之和不是合數(shù)的有5，7，13共3種，所以任取兩個(gè)素?cái)?shù)，其和不是合數(shù)的概率為.故選：B.7在四棱錐PABCD中，已知PA底面ABCD，且底面ABCD為矩

4、形，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A平面PAB平面PADB平面PAB平面PBCC平面PBC平面PCDD平面PCD平面PADC【分析】由面面垂直的判定定理對(duì)選項(xiàng)逐一判斷【詳解】已知PA底面ABCD，可得，又底面ABCD為矩形 而平面，平面平面PAD平面PAB，平面PCD平面PAD又平面，平面PBC平面PAB選項(xiàng)A，B，D可證明 故選：C8如圖，正方體的棱長為1，E，F(xiàn)，G分別為的中點(diǎn)，則下列說法正確的序號(hào)為（）直線與直線所成角的正切值為直線與平面不平行點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面的距離相等平面截正方體所得的截面面積為ABCDA【分析】由為直線與直線所成角即可判斷；取中點(diǎn)，證得平面平面即可判斷；由平面不過的中點(diǎn)即可

5、判斷；先找出截面，再計(jì)算面積即可判斷.【詳解】對(duì)于，易得，則即為直線與直線所成角，則，正確；對(duì)于，取中點(diǎn)，連接，易得，平面，平面，所以平面，同理可得平面，又，平面，所以平面平面，又平面，則平面，錯(cuò)誤；對(duì)于，若點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面的距離相等，則平面必過的中點(diǎn)，連接交于，顯然不是的中點(diǎn)，則平面不過的中點(diǎn)，即點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面的距離不相等，錯(cuò)誤；對(duì)于，連接，則，易得等腰梯形即為平面截正方體所得的截面，易知，之間的距離為，則面積為，正確.故選：A.二、多選題9下面四個(gè)條件中，能確定一個(gè)平面的是（）A一條直線B一條直線和一個(gè)點(diǎn)C兩條相交的直線D兩條平行的直線CD逐一判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤即可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)

6、于選項(xiàng)A：一條直線不能確定一個(gè)平面，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B：一條直線和直線外的一個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，一條直線和直線上的一個(gè)點(diǎn)不能確定一個(gè)平面，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C：兩條相交的直線可以確定一個(gè)平面，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：兩條平行的直線可以確定一個(gè)平面，故選項(xiàng)D正確；故選：CD10給定一組數(shù)據(jù)5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，則這組數(shù)據(jù)的（）A平均數(shù)為3B標(biāo)準(zhǔn)差為C眾數(shù)為2和3D第85百分位數(shù)為4.5AC【分析】A.利用平均數(shù)公式求解判斷；B.利用標(biāo)準(zhǔn)差公式求解判斷；C.利用眾數(shù)的定義判斷；D.利用第百分位數(shù)求解判斷.【詳解】A平均數(shù)為，故正確； B.標(biāo)準(zhǔn)差為，故錯(cuò)誤；C.眾

7、數(shù)為出現(xiàn)次數(shù)最多的2和3，故正確；D.將數(shù)據(jù)按從小到大順序排列，則 ，一共10個(gè)數(shù)，8.5不是整數(shù)，則第9項(xiàng)5是第85百分位數(shù)，故錯(cuò)誤；故選：AC11已知事件，且，則下列結(jié)論正確的是（）A如果，那么，B如果與互斥，那么，C如果與相互獨(dú)立，那么，D如果與相互獨(dú)立，那么，BD【分析】A選項(xiàng)在前提下，計(jì)算出，即可判斷；B選項(xiàng)在與互斥前提下，計(jì)算出，即可判斷；C、D選項(xiàng)在與相互獨(dú)立前提下，計(jì)算出， ，即可判斷.【詳解】解：A選項(xiàng)：如果，那么，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：如果與互斥，那么，故B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：如果與相互獨(dú)立，那么，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：如果與相互獨(dú)立，那么，故D選項(xiàng)正確.故選：BD.本題考查

8、在包含關(guān)系，互斥關(guān)系，相互獨(dú)立的前提下的和事件與積事件的概率，是基礎(chǔ)題.12在中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）AB的最小內(nèi)角是最大內(nèi)角的一半C是鈍角三角形D若，則的外接圓直徑為ACD【分析】不妨設(shè)，解得，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證：由正弦定理可以判斷選項(xiàng)A；先判斷出最大的內(nèi)角為，最小的內(nèi)角為A，再由余弦定理求出，即可判斷選項(xiàng)B；由余弦定理判斷出為銳角，即可判斷選項(xiàng)C；用正弦定理可以判斷選項(xiàng)D【詳解】不妨設(shè)，解得，對(duì)于A，由正弦定理知，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，最大的內(nèi)角為，最小的內(nèi)角為，由余弦定理知，故，即B正確；對(duì)于C，為銳角，是銳角三角形，即C錯(cuò)誤；對(duì)于D，的外接圓直徑

9、，即D錯(cuò)誤故選：ACD.三、填空題13已知復(fù)數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是_；【分析】由復(fù)數(shù)的模和除法法則求得后可得其共軛復(fù)數(shù)【詳解】由已知，所以故14已知圓錐的母線長為5，高為4，則圓錐的表面積為_.【分析】先求解出圓錐的底面半徑，然后根據(jù)側(cè)面積加上底面積求解出表面積.【詳解】由題意知圓錐的底面半徑為，則圓錐的表面積為.故答案為.15在棱長為9的正方體中，點(diǎn)，分別在棱，上，滿足，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且平面，則四棱錐外接球的表面積為_.以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由平面可得P點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)四棱錐的特點(diǎn)可得外接球的直徑可得答案.【詳解】以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由

10、，則，設(shè)， ，設(shè)平面的法向量為，則，即，不妨令，則，得，因?yàn)槠矫?，所以，即，解得，所以，由平面，且底面是正方形，所以四棱錐外接球的直徑就是，由，得，所以外接球的表面積.故答案為.本題考查了四棱錐外接球的表面積的求法，關(guān)鍵點(diǎn)是建立空間直角坐標(biāo)系，確定球的半徑，考查了學(xué)生的空間想象力和計(jì)算能力.四、雙空題16在中，是中點(diǎn)，在邊上，則_，的值為_. 【分析】由，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算即可得；由平面向量的線性運(yùn)算可得，再由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算即可得.【詳解】因?yàn)?，所以，由題意，所以，所以；由可得，解得.故；.本題考查了平面向量線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題.

11、五、解答題17已知，.(1)若，求的坐標(biāo)；(2)若，求與的夾角.(1)或；(2).【分析】（1）設(shè)，利用向量的模長公式可求得實(shí)數(shù)的值，即可得出向量的坐標(biāo)；（2）由已知可得，可求得的值，利用平面向量夾角的取值范圍即可得解.【詳解】(1)解：因?yàn)?，設(shè)，則，解得.因此，或.(2)解：由已知可得，因?yàn)?，則，可得，所以，則.18某市3000名市民參加亞運(yùn)會(huì)相關(guān)知識(shí)比賽，成績統(tǒng)計(jì)如下圖所示(1)求a的值，并估計(jì)該市參加考試的3000名市民中，成績?cè)谏系娜藬?shù)；(2)若在本次考試中前1500名參加復(fù)賽，則進(jìn)入復(fù)賽市民的分?jǐn)?shù)應(yīng)當(dāng)如何制定（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）(1)，成績?cè)谏系娜藬?shù)為900人.(2)【分析】（1）根據(jù)

12、頻率之和為，結(jié)合頻率分布直方圖即可求得，再求得成績?cè)诘念l率，根據(jù)頻數(shù)計(jì)算公式即可求得結(jié)果；（2）根據(jù)頻率分布直方圖中位數(shù)的求解，結(jié)合已知數(shù)據(jù)，即可求得結(jié)果.【詳解】(1)依題意，故.成績?cè)?0, 90)上的頻率為，所以，所求人數(shù)為30000.30=900.(2)依題意，本次初賽成績前1500名參加復(fù)賽，即求該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，因?yàn)樗?，進(jìn)入復(fù)賽市民的分?jǐn)?shù)應(yīng)當(dāng)為.19如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，底面，(1)證明：ACCD；(2)若E是棱PC的中點(diǎn)，求直線AD與平面PCD所成的角(1)證明見解析(2)【分析】（1）由線面垂直得到，再由得到，即可證明平面，從而得到；（2）由平面，即可得到，再由等腰

13、三角形三線合一得到，即可得到平面，則即為直線與平面所成的角，再根據(jù)銳角三角函數(shù)計(jì)算可得；【詳解】(1)證明：因?yàn)榈酌妫酌?，所以，因?yàn)?，所以，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?2)解：由（1）平面，平面，所以，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，所以即為直線與平面所成的角，因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，即直線與平面所成的角為；20在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c(1)若，且的面積，求a，b的值；(2)若，判斷的形狀(1)；(2)是直角三角形或等腰三角形.【分析】（1）根據(jù)余弦定理可得，由三角形面積得到，進(jìn)而即得；（2）根據(jù)題中條件及兩角和與差的正弦公式，得到，求出或，進(jìn)而

14、可得出結(jié)果.【詳解】(1)因?yàn)?，又余弦定理可得：，即，又的面積，所以，因此，；解得：；(2)因?yàn)?，所以，即，所以或，因此或，所以是直角三角形或等腰三角?21某快餐配送平臺(tái)針對(duì)外賣員送餐準(zhǔn)點(diǎn)情況制定了如下的考核方案：每一單自接單后在規(guī)定時(shí)間內(nèi)送達(dá)延遲5分鐘內(nèi)送達(dá)延遲5至10分鐘送達(dá)其他延遲情況，分別評(píng)定為四個(gè)等級(jí)，各等級(jí)依次獎(jiǎng)勵(lì)3元獎(jiǎng)勵(lì)0元罰款3元罰款6元.假定評(píng)定為等級(jí)的概率分別是.(1)若某外賣員接了一個(gè)訂單，求其不被罰款的概率；(2)若某外賣員接了兩個(gè)訂單，且兩個(gè)訂單互不影響，求這兩單獲得的獎(jiǎng)勵(lì)之和為3元的概率.(1)(2)【分析】（1）利用互斥事件的概率公式，即可求解；（2）由條件可知兩單共獲得的獎(jiǎng)勵(lì)為3元即事件，同樣利用互斥事件和的概率，即可求解.【詳解】(1)設(shè)事件分別表示“被評(píng)為等級(jí)”，由題意，事件兩兩互斥，所以，又“不被罰款”，所以.因此“不被罰款”的概率為；(2)設(shè)事件表示“第單被評(píng)為等級(jí)”，則“兩單共獲得的獎(jiǎng)勵(lì)為3元”即事件，且事件彼此互斥，又，所以.22如圖，四棱柱中，底面ABCD是菱形，平面ABCD，E為中點(diǎn)，.(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積；(3)在上是否存在點(diǎn)M，滿足平面？若存在，求出AM的長；若不存在，說明理由.(1)證明見解析(2)(3)存在，【分析】（1）連交于點(diǎn)F，連EF，由中位線定理以及線面平行的判定證明即可；（2）過作的