高中數(shù)學選修第一冊：課時跟蹤檢測（二十二） 雙曲線的簡單幾何性質(zhì)

1、課時跟蹤檢測（二十二） 雙曲線的簡單幾何性質(zhì)A級基礎鞏固1雙曲線2x2y28的實軸長是()A2B2eq r(2)C4D4eq r(2)解析：選C雙曲線方程可變形為eq f(x2,4)eq f(y2,8)1，所以a24，a2，從而2a4，故選C.2如果橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的離心率為eq f(r(3),2)，那么雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1的離心率為()A.eq f(r(5),2)B.eq f(5,4)C.eq r(2)D2解析：選A由已知橢圓的離心率為eq f(r(3),2)，得eq f(a2b2,a2)eq f(3,4)，a2

2、4b2.e2eq f(a2b2,a2)eq f(5b2,4b2)eq f(5,4).雙曲線的離心率eeq f(r(5),2).3若雙曲線與橢圓eq f(x2,16)eq f(y2,64)1有相同的焦點，它的一條漸近線方程為yx，則雙曲線的方程為()Ay2x296By2x2160Cy2x280Dy2x224解析：選D設雙曲線方程為x2y2(0)，因為雙曲線與橢圓有相同的焦點，且焦點為(0，4eq r(3)，所以0，b0)上，C的焦距為4，則它的離心率為_解析：由題意知eq f(4,a2)eq f(9,b2)1，c2a2b24，解得a1，所以eeq f(c,a)2.答案：27設雙曲線C經(jīng)過點(2,

3、2)，且與eq f(y2,4)x21具有相同的漸近線，則C的方程為_，漸近線方程為_解析：設雙曲線C的方程為eq f(y2,4)x2.將點(2,2)的坐標代入，得3，雙曲線C的方程為eq f(x2,3)eq f(y2,12)1.令eq f(y2,4)x20，得y2x，即漸近線方程為y2x.答案：eq f(x2,3)eq f(y2,12)1y2x8已知定點A，B且|AB|4，動點P滿足|PA|PB|3，則|PA|的最小值為_解析：如圖所示，點P是以A，B為焦點的雙曲線的右支上的點，當P在M處時，|PA|最小，最小值為aceq f(3,2)2eq f(7,2).答案：eq f(7,2)9已知雙曲線

4、E與雙曲線eq f(x2,16)eq f(y2,9)1共漸近線，且過點A(2eq r(3)，3)若雙曲線M以雙曲線E的實軸為虛軸，虛軸為實軸，試求雙曲線M的標準方程解：由題意，設雙曲線E的方程為eq f(x2,16)eq f(y2,9)t(t0)點A(2eq r(3)，3)在雙曲線E上，eq f(2r(3)2,16)eq f(32,9)t，teq f(1,4)，雙曲線E的標準方程為eq f(y2,f(9,4)eq f(x2,4)1.又雙曲線M與雙曲線E互為共軛雙曲線，雙曲線M的標準方程為eq f(x2,4)eq f(y2,f(9,4)1.10設雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)

5、1(0aa，所以e2eq f(a2b2,a2)1eq f(b2,a2)2，則e2.于是雙曲線的離心率為2.B級綜合運用11已知雙曲線E的中心為原點，F(xiàn)(3,0)是E的焦點，過F的直線l與E相交于A，B兩點，且AB的中點為N(12，15)，則E的方程為()A.eq f(x2,3)eq f(y2,6)1B.eq f(x2,4)eq f(y2,5)1C.eq f(x2,6)eq f(y2,3)1D.eq f(x2,5)eq f(y2,4)1解析：選B設雙曲線的標準方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)，由題意知c3，a2b29，設A(x1，y1)，B(x2，y2)則有eq

6、 blcrc (avs4alco1(f(xoal(2,1),a2)f(yoal(2,1),b2)1，,f(xoal(2,2),a2)f(yoal(2,2),b2)1，)兩式作差得eq f(y1y2,x1x2)eq f(b2x1x2,a2y1y2)eq f(12b2,15a2)eq f(4b2,5a2)，又AB的斜率是eq f(150,123)1，所以4b25a2，代入a2b29得a24，b25，所以雙曲線標準方程是eq f(x2,4)eq f(y2,5)1.12已知A，B為雙曲線E的左、右頂點，點M在E上，ABM為等腰三角形，且頂角為120，則E的離心率為()A.eq r(5)B2C.eq r

7、(3)D.eq r(2)解析：選D不妨取點M在第一象限，如圖所示，設雙曲線方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)，則|BM|AB|2a，MBx18012060，M點的坐標為eq blc(rc)(avs4alco1(2a，r(3)a).M點在雙曲線上，eq f(4a2,a2)eq f(3a2,b2)1，ab，ceq r(2)a，eeq f(c,a)eq r(2).故選D.13已知雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60的直線l與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線的離心率e的取值范圍是_解析：由題意，知

8、eq f(b,a)eq r(3)，則eq f(b2,a2)3，所以c2a23a2，即c24a2，所以e2eq f(c2,a2)4，所以e2.答案：2，)14若雙曲線E：eq f(x2,a2)y21(a0)的離心率等于eq r(2)，直線ykx1與雙曲線E的右支交于A，B兩點(1)求k的取值范圍；(2)若|AB|6eq r(3)，求k的值解：(1)由eq blcrc (avs4alco1(f(c,a)r(2)，,a2c21)得eq blcrc (avs4alco1(a21，,c22，)故雙曲線E的方程為x2y21.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq blcrc (avs4alco1(y

9、kx1，,x2y21)得(1k2)x22kx20.直線與雙曲線右支交于A，B兩點，故eq blcrc (avs4alco1(k1，,2k241k220，)即eq blcrc (avs4alco1(k1，,r(2)kr(2)，)1keq r(2).(2)由得x1x2eq f(2k,k21)，x1x2eq f(2,k21)，|AB|eq r(1k2)eq r(x1x224x1x2)2eq r(f(1k22k2,k212)6eq r(3)，整理得28k455k2250，k2eq f(5,7)或k2eq f(5,4).又1keq r(2)，keq f(r(5),2).C級拓展探究15雙曲線C的中心在原

10、點，右焦點為Feq blc(rc)(avs4alco1(f(2r(3),3)，0)，漸近線方程為yeq r(3)x.(1)求雙曲線C的方程；(2)設直線l：ykx1與雙曲線C交于A，B兩點，問：當k為何值時，以AB為直徑的圓過原點？解：(1)設雙曲線的方程是eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)，則ceq f(2r(3),3)，eq f(b,a)eq r(3).又c2a2b2，b21，a2eq f(1,3).雙曲線的方程是3x2y21.(2)由eq blcrc (avs4alco1(ykx1，,3x2y21)得(3k2)x22kx20.由0，且3k20，得eq r(6)keq r(6)