《概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)》第4章正態(tài)分布1課件

1、2022/8/41一、正態(tài)分布的定義二、正態(tài)分布的數(shù)字特征三、正態(tài)分布性質(zhì)四、中心極限定理第四章 正 態(tài) 分 布基本內(nèi)容：第1頁，共39頁。2022/8/42正態(tài)分布是最重要的概率分布(原因)：(1) 很多隨機(jī)現(xiàn)象可用正態(tài)分布描述或近似描述,例如測量誤差、學(xué)生成績，人的身高、體重等大量隨機(jī)現(xiàn)象可以用正態(tài)分布描述.(2)一般地,大量獨(dú)立隨機(jī)變量的和近似地服從正態(tài)分布.(中心極限定理)(3)某些常用分布(如卡方分布,t分布,F分布等)是由正態(tài)分布推導(dǎo)得到的.第2頁，共39頁。2022/8/43一、正態(tài)分布的定義定義. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為則稱X服從正態(tài)分布記作1. 正態(tài)分布 ( Normal

2、distribution )或高斯分布 ),第3頁，共39頁。2022/8/442. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,特別地,且其分布函數(shù)：則稱N(0,1)其概率密度為第4頁，共39頁。2022/8/45(3)第5頁，共39頁。2022/8/46第6頁，共39頁。2022/8/47u01234567890.00.50000.50400.50800.51200.51600.51990.52390.52790.53190.53590.10.53980.54380.54780.55170.55570.55960.56360.56750.57140.57530.20.57930.58320.58710.5

3、9100.59480.59870.60260.60640.61030.61410.30.61790.62170.62550.62930.63310.63860.64040.64430.64800.65170.40.65540.65910.66280.66640.67000.67360.67720.68080.68440.68790.50.69150.69500.69850.70190.70540.70880.71230.71570.71900.72240.60.72570.72910.73240.73570.73890.74220.74540.74860.75170.75490.70.7580

4、0.76110.76420.76730.77030.77340.77640.77940.78230.78520.80.78810.79100.79390.79670.79950.80230.80510.80780.81060.81330.90.81590.81860.82120.82380.82640.82890.83150.83400.83650.83891.00.84130.84380.84610.84850.85080.85310.85540.85770.85990.86211.10.86430.86650.86860.87080.87290.87490.87700.87900.8810

5、0.88301.20.88490.88690.88880.89070.89250.89440.89620.89800.89970.90151.30.90320.90490.90660.90820.90990.91150.91310.91470.91620.91771.40.91920.92070.92220.92360.92510.92650.92790.92920.93060.93191.50.93320.93450.93570.93700.93820.93940.94060.94180.94290.94411.60.94520.94360.94740.94840.94950.95050.9

6、5150.95250.95350.95451.70.95540.95640.95730.95820.95910.95990.96080.96160.96250.9633第7頁，共39頁。2022/8/48證：Y的分布函數(shù)為當(dāng)a0，有上式兩邊關(guān)于y求導(dǎo)，得性質(zhì)1則(線性性)(2) 當(dāng)a0，有第8頁，共39頁。2022/8/49特別地，則第9頁，共39頁。2022/8/410設(shè)X表示“考生考試成績”，問總分應(yīng)是多少算上線？解：且總分上線應(yīng)為 x 分.由題意知經(jīng)查表考試成績呈正態(tài)分布,例3.某省高考人數(shù)是35000人,計(jì)劃招生3500人,占考生人數(shù)的第10頁，共39頁。2022/8/4111.期望E

7、(X)二、正態(tài)分布的數(shù)字特征則解：奇函數(shù)=1第11頁，共39頁。2022/8/412則2.方差D(X) 3. 標(biāo)準(zhǔn)差第12頁，共39頁。 正態(tài)分布的密度函數(shù)的性質(zhì)與圖形關(guān)于 x = 對稱（-，）升，（，+ ）降單調(diào)性對稱性拐點(diǎn)鐘形曲線：中間高兩邊低y-+x第13頁，共39頁。2,對密度曲線的影響 第14頁，共39頁。2022/8/415( 法則)求X落在內(nèi)的概率.解:3倍標(biāo)準(zhǔn)差原理: 設(shè)0.9974F(x)是小概率事件 X的取值幾乎都落入以為中心，以3為半徑的區(qū)間內(nèi)第15頁，共39頁。2022/8/416第16頁，共39頁。性質(zhì)2 可加性. 2022/8/417則Z=X+Y的概率密度為則且X與

8、Y相互獨(dú)立,證明：特殊地設(shè)X和Y相互獨(dú)立, 且都服從N(0,1)即Z服從N(0,2).第17頁，共39頁。2022/8/418推廣到更一般的結(jié)論。性質(zhì)3 線性組合性.相互獨(dú)立，第18頁，共39頁。2022/8/419解:依題意求P(XY)= P(X-Y0)由正態(tài)分布的線性組合性質(zhì)知，X-Y服從正態(tài)分布即例5.第19頁，共39頁。2022/8/420四、二維正態(tài)分布定義: 設(shè)二維連續(xù)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度則稱(X, Y)服從二維正態(tài)分布，記作第20頁，共39頁。2022/8/421結(jié)論1 設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)服從二維正態(tài)分布結(jié)論3結(jié)論2 設(shè)X,Y的相關(guān)系數(shù)為第21頁，共39頁。20

9、22/8/422四、中心極限定理 客觀背景：客觀實(shí)際中，許多隨機(jī)變量是由大量相互獨(dú)立的偶然因素的綜合影響所形成，每一個(gè)微小因素，在總的影響中所起的作用是很小的，但總起來，卻對總和有顯著影響，這種隨機(jī)變量往往近似地服從正態(tài)分布。 概率論中有關(guān)論證獨(dú)立隨機(jī)變量的和的極限分布是正態(tài)分布的一系列定理稱為中心極限定理。 由正態(tài)分布的線性組合性質(zhì)知，相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的和仍服從正態(tài)分布。在某些相當(dāng)一般的條件下，很多個(gè)相互獨(dú)立的非正態(tài)的隨機(jī)變量（不管它們的分布如何）的和近似服從正態(tài)分布。第22頁，共39頁。2022/8/423獨(dú)立同分布的中心極限定理 設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,Xn,相互獨(dú)立, 服從同一分布，且

10、有的數(shù)學(xué)期望 和方差 ，則隨機(jī)變量 的分布函數(shù) 滿足如下極限式第23頁，共39頁。2022/8/424定理的應(yīng)用：對于獨(dú)立的隨機(jī)變量序列 ，不管 服從什么分布，只要它們是同分布，且有有限的數(shù)學(xué)期望和方差，那么，當(dāng)n充分大時(shí)，這些隨機(jī)變量之和 近似地服從正態(tài)分布另一種形式：第24頁，共39頁。由題意 相互獨(dú)立且服從同一分布，且2022/8/425例6.在一零售商店中，其結(jié)賬柜臺替各顧客服務(wù)的時(shí)間(以分計(jì))是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，均值為1.5，方差為1.(1) 求對100位顧客的總服務(wù)時(shí)間不多于2小時(shí)的概率；(2) 要求總的服務(wù)時(shí)間不超過1小時(shí)的概率大于0.95,問至多能對幾位顧客服務(wù)。解：(1)X

11、i表示第i位顧客的服務(wù)時(shí)間,i=1,2,100第25頁，共39頁。2022/8/426例6.在一零售商店中，其結(jié)賬柜臺替各顧客服務(wù)的時(shí)間(以分計(jì))是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，均值為1.5，方差為1. (2) 要求總的服務(wù)時(shí)間不超過1小時(shí)的概率大于0.95,問至多能對幾位顧客服務(wù)。解：(2)設(shè)能對N位顧客服務(wù)，按題意需要確定最大的N，使第26頁，共39頁。2022/8/427定理2.棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理 若隨機(jī)變量 n 服從參數(shù)為n, p的二項(xiàng)分布，則則對于任何實(shí)數(shù)x，有定理表明，當(dāng)n充分大時(shí)，二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量n 的標(biāo)準(zhǔn)化變量近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即而 n近似服從N (np, np(1-p)

12、.第27頁，共39頁。2022/8/428例7.某種難度很大的心臟手術(shù)成功率為0.9，對100名患者進(jìn)行這種手術(shù)，以X記手術(shù)成功的人數(shù).(1)求P(84X 95);(2)求P(X90).解: (1)由題意知XB(100,9), E (X)=n p=1000.9=90，D (X)=n p(1-p)=1000.90.1=9，第28頁，共39頁。2022/8/429二、掌握非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布向標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的轉(zhuǎn)化，內(nèi)容小結(jié)一、掌握正態(tài)分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)及其圖像及性質(zhì)； 三、掌握正態(tài)分布的數(shù)字特征；會利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，求正態(tài)分布的概率；第29頁，共39頁。2022/8/4303(線性組合性).設(shè)且X

13、、Y相互獨(dú)立, 則四、熟悉正態(tài)分布的性質(zhì)則1 (線性性). 若2 (可加性). 設(shè)相互獨(dú)立，且則五、了解中心極限定理, 并會用相關(guān)定理近似計(jì)算有關(guān)隨機(jī)事件的概率 第30頁，共39頁。2022/8/431作業(yè)習(xí)題四(P114): 1、2、4、10、11 15、16、18 第31頁，共39頁。2022/8/432則X的數(shù)學(xué)期望為_; X的方差為_.備用題1. 已知連續(xù)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為分析：經(jīng)過整理得故E(X)=1, D(X)=1/2.第32頁，共39頁。2022/8/4332. 已知則Z服從（ ）分布.因?yàn)閄, Y相互獨(dú)立，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)分析：故選C.第33頁，共39頁。2022/8/4343. 設(shè)隨機(jī)變量X與Y均服從正態(tài)分布：第34頁，共39頁。2022/8/435分析：故選B.第35頁，共39頁。2022/8/4364.解：得(2+2)第36頁，共39頁。2022/8/437由獨(dú)立同分布的中心極限定理，第37頁，共39頁。2022/8/4385. 某保險(xiǎn)公司多年的統(tǒng)計(jì)資料表明:在索賠戶中被盜索賠用戶