倒立擺的LQR控制器算法的設(shè)計與仿真

1、LQR控制器算法的設(shè)計與仿真線性二次最優(yōu)控制的概述應(yīng)用經(jīng)典控制理論設(shè)計控制系統(tǒng)，能夠解決很多簡單、確定系統(tǒng)的實際設(shè)計 問題。但是對于諸多新型而復(fù)雜的控制系統(tǒng)，例如多輸入多輸出系統(tǒng)與階次較高 的系統(tǒng)，往往得不到滿意的結(jié)果。這時就需要有在狀態(tài)空間模型下建立的最優(yōu)控 制策略。最優(yōu)控制是現(xiàn)代控制理論的核心。 所謂最優(yōu)控制，就是在一定條件下，在完 成所要求的控制任務(wù)時，使系統(tǒng)的某種性能指標(biāo)具有最優(yōu)值。根據(jù)系統(tǒng)不同的用 途，可提出各種不用的性能指標(biāo)。最優(yōu)控制的設(shè)計，就是選擇最優(yōu)控制，以使某 一種性能指標(biāo)為最小。最優(yōu)控制就是在滿足一定的約束條件下， 尋求最優(yōu)控制策略，使系統(tǒng)的某種 性能指標(biāo)具有最優(yōu)值的一種控

2、制方法。對于一個線性系統(tǒng)，如果其性能泛函是狀 態(tài)變量或控制變量的二次型函數(shù)的積分，則這樣的最優(yōu)控制問題就稱為線性二次 型最優(yōu)控制問題，而利用線性二次型性能指標(biāo)設(shè)計的控制器就被稱作線性二次型 最優(yōu)(Linear Quadratic Regulator)空制器，縮寫為 LQR 控制器15。利用線性二次型最優(yōu)控制算法不僅易于分析、處理和計算，得到的系統(tǒng)控制 方法還具有較好的魯棒性與動態(tài)特性以及能夠獲得線性反饋結(jié)構(gòu)等優(yōu)點，而且特別可貴的是，線性二次型最優(yōu)控制得到狀態(tài)線性反饋的最優(yōu)控制規(guī)律，易于構(gòu)成閉環(huán)最優(yōu)控制。而且，MATLAB的應(yīng)用為線性二次型最優(yōu)控制的理論仿真提供 了很好的條件，更為實現(xiàn)穩(wěn)、準(zhǔn)、快

3、的控制目標(biāo)提供了方便。因而線性二次型控 制器已經(jīng)成為自動控制系統(tǒng)中反饋控制設(shè)計的一種重要的控制方法，在實際的控制系統(tǒng)設(shè)計中得到了廣泛的應(yīng)用。線性二次最優(yōu)控制的原理線性二次最優(yōu)控制的控制原理框圖如圖：圖4.1 LQR控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig 4.1 Conventional LQR control system structure(4-1)對于狀態(tài)方程式所表示的連續(xù)時間的線性被控對象有:x(t) Ax Bu(t),x(0)X0上式中，x(t)為n維狀態(tài)向量；u(t)為m維控制向量；A, B分別為nxn及nxm 階的常數(shù)矩陣。在進行線性二次最優(yōu)控制系統(tǒng)設(shè)計時，比較令人感興趣的是如何選擇控制向量u(t)

4、,使得給定的性能指標(biāo)達到最小，線性二次最優(yōu)調(diào)節(jié)器(LQR)是針對系統(tǒng)狀態(tài)方程，尋找最優(yōu)控制，使得控制性能指標(biāo)J達到最小，其中Q、 R分別表示了對狀態(tài)變量和輸入變量的加權(quán)值。二次型性能指標(biāo)函數(shù)：(4-2)(4-3)(4-4)(4-5)(4-6)J (XTQX UTRU)dt則有如下狀態(tài)反饋控制律：U(t) Kx(t)式中，K為最優(yōu)反饋矩陣：K R1BTP在式(4-4)中,P為Riccati方程非負定對稱解。而 Riccati方程為:_T _1_T_PA A P PBR B P Q 0如此，可得到狀態(tài)反饋增益向量 K:K R1BTP由此可見最優(yōu)控制器的設(shè)計的關(guān)鍵是選擇合適的加權(quán)矩陣Q和R,并根據(jù)式

5、(4-6)可以算出P,這樣就能求出反饋增益 K 了。而加權(quán)矩陣Q和R的具體作 用為：Q中某元素相對增加時，其對應(yīng)的狀態(tài)變量的響應(yīng)速度增加，其他狀態(tài)變量的響應(yīng)速度相對減慢；R增加時，控制力減小，角度變化變小，跟隨速度變慢。 改變矩陣Q的值，可以得到不同的響應(yīng)效果，Q主對角線元素的值在一定范圍 之內(nèi)越大，系統(tǒng)調(diào)整時間越短，而且抵抗干擾的能力越強，但是Q不能過大，不然將對實驗結(jié)果有一定的影響16o上述推導(dǎo)過程即為線性二次最優(yōu)控制的控制原理。而當(dāng)今現(xiàn)在，隨著計算機 技術(shù)的飛速發(fā)展，已經(jīng)可以不使用上述公式進行繁瑣的計算，而利用 MATLAB 的lqr命令輕松的得到反饋矩陣K的值：K lqr(A,B,Q,

6、R)二次最優(yōu)控制器的參數(shù)調(diào)整二次最優(yōu)控制器的參數(shù)調(diào)整關(guān)鍵在于選擇好合適的加權(quán)矩陣Q和R,這樣就能得出反饋增益K17。其中，加權(quán)矩陣中的Q和R的具體作用為：Q中某元 素相對增加時，其對應(yīng)的狀態(tài)變量的響應(yīng)速度增加， 其他狀態(tài)變量的響應(yīng)速度相 對減慢；R增加時，控制力減小，角度變化變小，跟隨速度變慢。而在實際應(yīng)用 中，通常將R值進行固定，然后對Q進行調(diào)整以得到較好的控制效果18。所以,在這里，選取R=0.003o在LQR控制器設(shè)計中，選取R=0.003, Q陣為對角陣:Q1,10000Q2,200Q00Q3,30000Q4,4其中，Q1,1代表小車位置的權(quán)重（即x）, Q2,2代表小車速度的權(quán)重(4

7、-7)(即 X)，Q3,3代表擺桿角度的權(quán)重（即），Q4,4代表擺桿角速度的權(quán)重（即）。而在該實驗中，只考慮小車的位移及擺桿的擺動角度問題，所以，可以將 Q2,2和Q4,4都定義為0,這樣，只需要調(diào)整Q1,1和Q3,3o則Q的矩陣可以變換為:Q1,10000000Q00Q3,300000(4-8)接下來，根據(jù)第二章所建立的系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式:x 01x 00.002410000 x1.725470 x0101.00503 u000.00556 26.58199 02.32597(4-9)x1 0 0 0 x0 0 10(4-10)可以得到:0010.0024101.725470001.005

8、03AB0001000.0055626.5819902.3259710 0 0 C0 0 10那么，首先取Q1,1=Q3,3=1的時候，在MATLAB的輸入界面輸入以下程序: %最優(yōu)控制A= 0 1 0 0;0 -0.00241 1.72547 00 0 0 1；0 -0.00556 26.58199 0;B= 0 1.00503 0 2.32597;C= 1 0 0 0;0 0 1 0；D= 0 0 ;%求向量KQ11=1;Q22=0;Q33=1;Q44=0;Q=Q11 0 0 0;0 Q22 0 00 0 Q33 0;0 0 0 Q44;R = 0.003;K = lqr(A,B,Q,R)

9、%計算LQR控制矩陣Ac = (A-B*K);Bc = B;Cc = C;Dc = D;%求階躍響應(yīng)XO=0.01 -0.001 0.001 -0.001; %初始狀態(tài)t=0:0.005:5;U=20*ones(size(t)；Y,X=lsim(Ac,Bcn,Cc,Dc,U,t,XO);yl=Y(:,1);y2=Y(:,2);plot(t,yl,r-,t,y2,b-);legend(小車位置,擺桿角度)；axis(0 5 -30 30);grid可以得到如下的仿真結(jié)果：K =-18.26 -14.5166.3513.42系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線如下圖所示。圖4.2 Q1,1=Q3,3=1時倒立擺系統(tǒng)

10、階躍響應(yīng)圖Fig.4.2 When Q1,1 =Q3,3 = 1 inverted pendulum system step response figure由這個圖可以看出，小車的位移和角度在 2.5秒的時候就基本能達到穩(wěn)定， 而且就小車位移而言，開始時候產(chǎn)生的超調(diào)還是相對較小的。 但是，擺桿的角度, 在開始時候的超調(diào)量有些偏大。而倒立擺系統(tǒng)對擺桿角度的超調(diào)量的要求比較嚴 格，需要將擺桿角度的超調(diào)量控制在盡量小的范圍內(nèi)。又可根據(jù)Q值變化對系統(tǒng)的影響，增大Q3,3值可以減小超調(diào)量，但是同時也會增加系統(tǒng)的響應(yīng)時間， 反之則超調(diào)量增大，響應(yīng)時間減?。辉龃?Q1,1可以增大系統(tǒng)的超調(diào)量，而減小 系統(tǒng)的

11、響應(yīng)時間，反之則超調(diào)量減小，響應(yīng)時間增大。所以，在這里，為了達到 更好的實驗效果，嘗試增大 Q3,3值以減小系統(tǒng)的超調(diào)量，同時，考慮適當(dāng)?shù)脑?大Q1,1來抵消Q3,3變化產(chǎn)生的響應(yīng)時間增長的影響。經(jīng)過多次嘗試之后，在 Q1,1=5, Q3,3=80 時，得到：K=-47.46 -44.64 230.1234.07系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線如下圖所示：:片F(xiàn)-.r- i卜車位首-攫桿帶度- n ajta t ! rLl/ :_ i-r - - ris _r 1X20to-ZD0 05 i 1 5 2 2 S 3 J 6 4 4 5 6圖4.3 Q1,1=5, Q3,3=80時倒立擺系統(tǒng)階躍響應(yīng)圖Fig.

12、4.3 When Q1,1= 5, Q3,3 = 80 inverted pendulum system step response figure由圖(4.2)與圖(4.3)對比，可以看出：當(dāng)Q1,1和Q3,3增大時，系統(tǒng)擺桿角度的超 調(diào)量在減少，但是系統(tǒng)響應(yīng)時間也會隨之變長。因此，要使超調(diào)量較小，并具有 較短的響應(yīng)時間，同時就要在可能的范圍內(nèi)，將Q1,1和Q3,3都選擇的相對大一 點。因此，在本文中LQR控制器參數(shù)就選取 Q1,1=5, Q3,3= 80, R=0.003止匕時, 系統(tǒng)的的超調(diào)量和穩(wěn)定時間都比較令人滿意。直線一級倒立擺系統(tǒng)的LQR仿真根據(jù)直線一級倒立擺的狀態(tài)空間方程模型，使用

13、MATLAB對倒立擺系統(tǒng)進行建模和仿真實驗19。通過QUARC軟件中的各種模塊，建立了直線一級倒立 擺的最優(yōu)控制仿真圖如下圖所示：圖4.4直線一級倒立擺的LQR控制仿真模型Fig.4.4 LQR control simulation model of the linear inverted pendulum系統(tǒng)輸入為小車的外力，狀態(tài)變量是小車位移，擺桿角度，小車速度以及擺桿角速度這四個變量的實時信號，輸出為小車位置 x,擺桿角度8信號，并將輸出信號反饋給輸入信號形成閉環(huán)。在本設(shè)計中，要求倒立擺系統(tǒng)保持豎直倒置的 擺桿的穩(wěn)定，所以，系統(tǒng)的擺桿的初始角度，小車初始速度以及擺桿初始角速度 均為0。小車的位移輸入是一個在第1秒產(chǎn)生階躍的一個階躍信號，系統(tǒng)通過階 躍信號來使小車的位移發(fā)生變化，使小車左右移動，以此觸發(fā)倒立擺系統(tǒng)的LQR 控制，控制擺桿的穩(wěn)定。將系統(tǒng)的各項參數(shù)輸入到仿真系統(tǒng)中，運行LQR控制器仿真系統(tǒng)。得出以下各結(jié)果：displacement 252015I 10 x 505012345678910time(s)圖4.5小車位移仿真曲線angle1