南航材料力學(xué)課件313-14章lhw22ch13nlf

1、4公式的普遍形式2EI材 料 力 學(xué) l 相當長度； 長度系數(shù)。Fcr ( l )2第九章壓桿的長度系數(shù) 表14.1當 F Fcr時，當 F Fcr時，壓桿的直線平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。直線平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定的，受干擾后成為微彎平衡狀態(tài)。壓桿穩(wěn)定（1）臨界壓力 Fcr使直線平衡狀態(tài)是穩(wěn)定平衡狀態(tài)的最大壓力，也是在微彎平衡狀態(tài)下的最小壓力。Lecture 271239. 5 壓桿的穩(wěn)定校核臨界應(yīng)力計算的小結(jié)6 拋物線經(jīng)驗公式拋物線經(jīng)驗公式為 a b2Fcr F對 的大柔度壓n nstcr111桿，臨界應(yīng)力公式為工作安全因數(shù)式中，a1 , b1 是與材料性質(zhì)有關(guān)的常數(shù)。說明2 E穩(wěn)定安全因數(shù)穩(wěn)定校核大

2、柔度桿cr2n Fcr 若壓桿的局部有截面被削弱的情況，則： 2 1的中柔度壓桿，臨界應(yīng)力公式為 n滿足穩(wěn)定性要求時，應(yīng)有:Fst a b進行穩(wěn)定性計算時，可忽略壓桿的局部削弱，仍用原來截面的面積和慣性矩計算臨界應(yīng)力；進行強度計算時，應(yīng)按削弱后的面積計算。cr穩(wěn)定安全因數(shù)與強度安全因數(shù)的取值 2 的小柔度壓桿，臨界應(yīng)力公式為 強度安全因數(shù)取值 1.2 2.5，有時可達 3.5；穩(wěn)定安全因數(shù)取值 2 5，有時可達 8 10。 F Acr4561中柔度桿小柔度桿壓桿的約束條件長度系數(shù)兩端鉸支一端固支一端兩端固支一端固支一端鉸支 = 1 = 2 = 1/2 0.7FcrFcr壓桿穩(wěn)定問題的解題步驟1

3、 穩(wěn)定校核問題例 1 (書例 9.4 )已知: 空氣壓縮機的活塞桿由45鋼制成，s 0= 35 MPa , p MPa, 280 =E=210GPa。長度l = 703 mm, 直徑d mm = 45。最大壓力 Fmax.6kN=41。 穩(wěn)定安全因數(shù)為 nst 10= 8。求： 試校核其穩(wěn)定性。2 求 活塞桿可簡化為兩端鉸支桿 1計算 1 ， 2， ；確定屬于哪一種桿(，大柔度桿，中柔度桿小柔度桿) ；1)2)慣性半徑 d 464IAd 216d4i 對圓軸1 d 2根據(jù)桿的類型求出 3)4)5)和 F ;crcr4F計算桿所受到的實際壓力 F；解：p l1 703校核 n = F /F n

4、是否成立。 62.5柔度 crst1 求 i45/ 42210 9 1012E2 確定載荷1 866 10280前3步同穩(wěn)定校核；問題因為 1 ，所以不是大柔度桿。p4) F Fcr / nst 。7893 求 2采用直線經(jīng)驗公式。 cr A4783 截面設(shè)計問題計算實際壓力 F ；FcrkN5 求臨界壓力2EIFcr 由表9.2 查得(45鋼屬優(yōu)質(zhì)碳鋼)：( l )2F4785 n6 穩(wěn)定校核n cr F11646a12MPab, 568.MPa22) 求出 F ： F = n F；st41.crcrst3) 先假設(shè)為大柔度桿，由 a s46135403公式求出 I,.2b2 .568滿足穩(wěn)

5、定要求。進一步求出直徑 d (若為圓截面桿); 4) 計算 和 1 ；5) 檢驗 1 是否成立。若成立，則結(jié)束; 2 4 求臨界應(yīng)力 cr a461b 1所以，是中柔度桿。采用直線經(jīng)驗公式。6) 若 不成立，則設(shè)為中柔度桿，按經(jīng)1驗公式求出直徑 d (若為圓截面桿); 2 .568301 62. 5MPa1011122 l例 2(書例 9.5 )Fcr a A 1活塞桿可簡化為兩端鉸支桿 a bb idFcr已知: 活塞直徑D mm= 65，p=1.2MPa, lmm, 45=1250鋼，p 220MPa,=E, = 210GPa nst = 6。求： 活塞桿直徑d 。解： 這是截面設(shè)計問題。

6、d 4p2E7) 計算 和 ；2 EI642檢驗 2 是否成立。 若成立，則結(jié)束。若 2 不成立，則按強度。要求設(shè)計截面穩(wěn)定性計算的折減系數(shù)法FF24d . 6mm( l )2mmcr( l )2d25取 l d 4 l 200根據(jù)求出的d計算柔度i 97 N f1按靜強度設(shè)計的方法設(shè)計受壓桿 D 23p980FFNA2E活塞桿所受壓力 4計算11這里， 及稱為穩(wěn)定因數(shù)，與材料、截面形狀柔度有關(guān)；f 為強度設(shè)計值，與材料有關(guān)。crn stF23900N臨界壓力的最小值為先假設(shè)為大柔度桿p 1 ，是大柔度桿。以上計算正確。因為用公式計算臨界壓力131415兩縱稱平面內(nèi)的約束情況不相同時所以，應(yīng)選

7、擇合理的截面形狀，使得:在截面積相等的情況下，使 I 或 i 較大;9. 6 提高壓桿穩(wěn)定性的措施應(yīng)使在兩個形心主慣性平面內(nèi)的柔度接近相等。 l i2 EI2E2 , cr ,Fcr ( l )21 選擇合理的截面形狀截面的慣性矩 I 越大，或慣性半徑 i 越大,就越不容易失穩(wěn)，即穩(wěn)定性越好。各縱向平面內(nèi)的約束情況相同時,應(yīng)使對各形心軸的 I 或 i 接近相等。16171832 改變壓桿的約束條件約束越強，越不容易失穩(wěn)3 合理選擇材料對大柔度桿 選用E大的材料，可提高臨界壓力值。鋼壓桿比銅、鑄鐵或鋁壓桿 的臨界壓力大。s材 料 力 學(xué)E第十三章能量方法（1）但優(yōu)質(zhì)鋼與普通鋼的E差別不大。對中柔

8、度桿選用s高的材料可提高臨界壓力值。Lecture 2219202113. 1 概述能量原理與功和能有關(guān)的定理，統(tǒng)稱為能量原理。 運用能量原理求解問題的方法稱為能量法。本章內(nèi)容:概述桿件變形能的計算變形能的普遍表達式互等定理功能原理準靜態(tài)加載條件下，外力的功等于變形能:U W15678卡氏定理虛功原理載荷法W F l2積分線彈性范圍內(nèi)計算積分的圖乘法通過計算構(gòu)件或結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能，可以確定構(gòu)件或結(jié)構(gòu)在加力點處沿加力方向的位移。22234變力功作用在彈性桿件上的力，其加力點的位移，隨著桿件受力和變形的增加而增加，力所作的功為變力功。FP0FPFPW 1 F2 PO小變形、線彈性范圍內(nèi),力所作的變力功

9、為W 1 F2 P24 13. 2桿件應(yīng)變能的計算1 軸向拉伸或壓縮2 純剪切 21v 2G應(yīng)變能密度2F 22EAF 21llV WFl N 3 扭轉(zhuǎn)2軸力FN是x數(shù)時的函2EAM e l Tl221( 2Fx) dxFV W 2 Me2GI2GIdV N2EApp2F (N x) dx扭矩T是x的函數(shù)時V2EAl( 2Tx) d xlV 212GIv 2 p應(yīng)變能密度2E26274 彎曲純彎曲時d M e 橫力彎曲時對細長梁，剪力引起的應(yīng)變能與彎矩引起的應(yīng)變能相比很小，通常可忽略不計。橫力彎曲時，彎矩是x的函數(shù)。5 用廣義力和廣義位移表示應(yīng)變能 1 112M,VMF ,VlV 可將ee22

10、轉(zhuǎn)角d xEI W 1 F寫為 Vd M e2dxEI6 非線性彈性材料的應(yīng)變能純彎曲時各截面的彎矩相等，Me為常數(shù)。M( 2)xdxdV M e d xl M e l0 W1Fd ,V2EI()x d x0 EIEI22M1Ml1Vv dV W M e 2EI應(yīng)變能2EIle022829305ll彈性體在平衡力系的作用下，在一定的變形狀態(tài)保持平衡，這時，如果某種外界 使這一變形狀態(tài)發(fā)生改變，作用在彈性體上的力，由于加力點的位移，也作功，但不是變力功，而是 。FP FPW PF 25FF 13. 3應(yīng)變能的普遍表達式1 應(yīng)變能的普遍表達式線彈性體，小變形比例加載比例系數(shù)力的總功為:0 11W(

11、 F F ) d11nn 時廣義力的大小為:01 F 1F F , , F11nn1n221無剛移d 時廣義位移的大小為:11廣義力 F1 , , Fn力作用點沿力的方向的廣義位移 1 , , n應(yīng)變能與加載次序無關(guān)比例加載比例系數(shù), , 由功能原理，應(yīng)變能為:11nd121當 有d 時, 位移的增量為:1 F V WF11nn12d, ,d1則功的增量為:Wdn 應(yīng)變能的普遍表達式0 1 F d F d 注意： 是 F , F , , F 共同作用下的位移。11nni12n3132332 組合變形時的應(yīng)變能取一微段為研究對象由應(yīng)變能的普遍表達式，有：1本章內(nèi)容:概述桿件變形能的計算變形能的普

12、遍表達式互等定理 11) x d T()x dN ) x d(l )M(dV F(2)x225678卡氏定理虛功原理載荷法法計算( 2( 2d Txx)( 2d xFx) d Mx N2EA2EI2GIp積分積分的圖乘34356F1F1F1F1變力功隨作用在彈性桿件上的力，其加力點的位移，為的功所作增加，力變形的增加而著桿件受力和變力功。FP0FPFPW 1 F2 PO小變形、線彈性范圍內(nèi),力所作的變力功為W 1 F2 P36F2 組合變形時的應(yīng)變能取一微段為研究對象由應(yīng)變能的普遍表達式，有：力的總功為:1W( F F ) d11nn0121 1 Fn n F121111d)x d1N ) x

13、 d(l )M() x d T(dV 1F(2)x22由功能原理，應(yīng)變能為:1 F 1F ( 2( 2( 2Fx) dMxdTxx)dxV WN11nn222EA2EI2GIp 應(yīng)變能的普遍表達式注意： i 是 F1 , F2 , , Fn 共同作用下的位移。3839積分桿的總應(yīng)變能( 2( 2Fx) dxM( 2)x d xTx) d x V N2EA2GIpl2EIll注：僅適用于小變形、線彈性范圍內(nèi)；上式中忽略了剪切變形能，適用于細長桿；若為非圓截面桿，則扭轉(zhuǎn)變形能中的Ip應(yīng)改為It ；不同內(nèi)力分量引起的變形能可以“疊加”，同一內(nèi)力分量的變形能不可疊加。407FF1加FPFPFPV1FP

14、2FP1V11V2O O12O 2V V 1 V 242FP1+FP2V2V性線彈,可以疊加移位,能不能疊變但應(yīng)用限制疊加原理的應(yīng)加FPFPFPFP2FP11O O12O 2=1+ 241FP1+FP2以疊可，位移線彈性彈性體在平衡力系的作用下，在一定的變形狀態(tài)保持平衡，這時，如果某種外界 使這一變形狀態(tài)發(fā)生改變，作用在彈性體上的力，由于加力點的位移，也作功，但不是變力功，而是 。FP FPW PF 37822M 2V 2EA2 I2 I dxNlliP不同的內(nèi)力分量引起的應(yīng)變能，在什么條件下才能疊加？48F FVACB 1llV V V 3 1 2MVACB2疊加法最本ll質(zhì)的內(nèi)涵力的獨立作

15、用原理。FV 3AMCBll47FACBllMCV 3 V1 V 2 ?ABllFAB46MCllFP FPABV 1ABV 3 V 1 V 2V 2MFPFPABV 3MM45FPABV 3 V 1 V 2 ?ABMV 3 V 1 V 2FPABM44FPFPFPFP1+FP2 FP2 1FP1O O12O2 1+243非線性彈性，位移也不可以疊加M FR sin ,T FR (1 cos )2 33F R F 2R3例 1 (書例13.1)已知: 圓截面半圓曲桿，F(xiàn) , R, EI,V 4GI4EIp2 應(yīng)變能M1M 2()R dT 2()R dTW F A3 外力的功dV GIp 。求：

16、A點的垂直位移。2MT2GIF2EIp由V=W，得: F R sin d F R (1cos) d2 322 32F2 3F R 3F R 2 31 F 2EI2GIAp24EI4GIp3FR3 F 2R3 sin2 d F 2R3(1 cos)2 d解： 1 求內(nèi)力截面mm, 取左段M FR sin , T FR (1 cos )V 00FR32EI2GI A p2 32 3 F R 3F R 2EI2GIp4EI4GIp495051 2 2彎曲應(yīng)變能v1 2E ,v 2 2G例 2 (書例13.2)已知:應(yīng)變能密度。解：應(yīng)變能密度為V1 V v1 dV* M (x) y ,F (x)S s

17、zy處應(yīng)力M 2 (x) y2 l AIIbd A d x2EI 2M 2 (x) y2F 2 (x)(S *)2v1 v 2 sz 求：橫力彎曲時的彎曲應(yīng)變能和剪切應(yīng)變能公式。, M (x) d x22GI 2b22EI 2y2 d AI與前面導(dǎo)出的彎曲應(yīng)變能公式相同。22EIl A彎曲應(yīng)變能M 2 (x)V1 ld xV v1 dV2EI1V 2 2M 2 (x) y2F 2 (x)(S * )2v1 2E ,v 2 2Gl A解：應(yīng)變能密度為d A d x szv剪切應(yīng)變能密度2EI 2 22GI 2b252549剪切應(yīng)變能密度Fx) ( S*2()2例 3 (書例.3)13已知: 矩形

18、截面簡支梁。求：比較彎曲和剪切 應(yīng)變能的大小。 b2szd Ad xF (2x)( * S 2) 2GI 2lAv s z 2I2b2G2Fx) A ( S*2()2 s d Azd x剪切應(yīng)變能I 2b22GAl A記為 k(2* S 2)Fx)(V szdV 2F s (x)2G22I2b2VV kd x解：由于對稱性，只需計算一半的應(yīng)變能。 22GAlx / 20 x l*2剪力方(程 F)彎矩(方M程)F,(/xF2 )l/F (x)( Sz )l 2 A2sd Ad xsx(A ( S*)2/( 0 2GIb2F2)1, x2)I 2 A b2k z d A其中的系數(shù)23FlFx)

19、A ( S*2(/l)2 22d x彎曲應(yīng)變能V( x)l 2 b2 szd Ad x薄壁1記為 k5596EIk 22EI 20k6k10對矩形截面/5 圓, 截面/9 ,2GAIA圓環(huán)57F 2 l3V 2V1k6 /12EIk1F/l 2V 2d x( x)2兩種應(yīng)變能之比彎曲應(yīng)變能1GAl22EI 296EI05 I,/A /2 hE對矩形截面12kF 28GAlkF/l 2V 22剪切應(yīng)變能(2GA 2)dx 2G 0又：1 2 ()V 12EIk 2 兩種應(yīng)變能之比V 2 12hGAl2V ( 12)()l1V15k6 /A 對矩形截面5 I,/E1 /2 h12取 .3=0當 h

20、/l = 1/5 時:/VV0 .又：1250312G 212 ()/ V0V1 .當 h/l = 1/10 時:V12h 2 2V1 )(2( 1 5)所以，對長梁，剪切應(yīng)變能可忽略不計。l585910例 1 (書例13.1)求：除A點外任意一點的位移利用功能原理 ？功能原理局限性：直接應(yīng)用功能原理求位移，桿件上作用的外力一定是唯一的，而且僅可求出該力方向的相應(yīng)位移。60 13. 4互等定理1 功的互等定理1) 先加第一組，再加第二組加完第一組力時的功為:11P1 P12 mP 設(shè)線彈性體上作用有兩組力。Pm2加完第二組力時，第二組力的功為:第一組為 P , , P ;1m第二組為 Q1 ,

21、 , Qn。1 Q 1Qn2兩種加載方式下的應(yīng)變能加第二組力時，第一組P P 力的功為:1 P 1mPm62632) 先加第二組，再加第一組加完第二組力時的功為:加第二組力時，第一組力的功為:P1 P 1mP Pm總的功為三項之和:1加第一組力時，第二組力的功為:1 Q Q1 總的功為三項之和: Qn1Qn2加完第一組力時，第一組力的功為:P 1P V 12 21Q QnV11 P 12mQ1 Pm2121 P 1 P Qn1 P1P 2 1 P 12m加第一組力時，第二組Pm2 1 P 12mPm P P Q 1 P 1mPmQ 力的功為:1Qn1Qn64656611應(yīng)用更廣泛的能量方法：

22、可以確定構(gòu)件或結(jié)構(gòu)上加力點沿加力方向的位移 可以確定構(gòu)件或結(jié)構(gòu)上任意點沿任意方向的位移 可以確定梁的位移函數(shù)。611 F1作用時，在F2作用點產(chǎn) 生的沿F2作用線方向的位移應(yīng)變能與加載次序無關(guān)，所以: VV2P1 P 1mP Pm Q1這就是功的互等定理，即: QnF212112V 11P P 1 mP PmQ1 Qn記為 ,221F1 12第一組力在第二組力引起的位移上所作的功，等于第二組力在第一組力引起的位移上所作的功。 P1 P 1mP Pm1而F 作用時，在F 作用點產(chǎn)2121生的沿F1作用線方向的位移記為 12 ,1 P1P V QF2 21Qn2 1 P 12mPm22 位移互等定

23、理 Q1 Qn1212 F21F則由功的互等定理，有:當僅有兩個力F 和F 作用時2112F1 P P Q 當F1 = F2 時，則有211 P 1mPm1Qn676869F2 當 F= F 時，則有例 4 (書例13.4)取第一組力: F, FFRB121221RBB即: 當 F1 = F2 時，F(xiàn)1作用點沿F1方向由于F2的作用而引起的位移，等于F2作用點沿F2方向由于F1的作用而引起已知: 超靜定梁，F(xiàn),a, l 。假想作用第二組力F112為:F 121設(shè)第一組力在F作用點B引起的位移為 B 。由變形協(xié)調(diào)條件：求：用功的互等定理求 B處反力。FRBB 位移互等定理的位移。解： 取靜定基說

24、明：1) 位移應(yīng)理解為廣義位移；2) 功的互等定理和位移互等定理只對線彈 B 0相當系統(tǒng)如圖性材料和結(jié)立。70737412FRBB 13. 5卡氏定理 Castiglianos Theore()m1 卡氏第一定理設(shè)i有一增量i ,第一組力在第二組力引起的位移上的功為:設(shè)第二組力 FFa2F3l在 FF, 作用點引F 1 RFB 2l3 a) RB ( 6EIRB起的位移為1, 2由上冊書.188p 表6.1中的2，:3EI第二組力在第一組力引起的位移上的功為:F B 0由功的互等定理，二者應(yīng)相等:其它各 不變，j則 Fi作的功為Fi i ，其它各Fj不作功，則:Va2 ( 3a),Fa2F3l

25、FF V1 ( l3 6EIa ) RB 06EIl33EIiii3EIiVFi 卡氏第一定理兩邊取極限，得:2aFi2F a( l3)RB2l37576772 卡氏第二定理設(shè)Fi有一增量Fi,為應(yīng)用功的互等定理，將力區(qū)分為兩組力V將F1, F2, , Fn看作第一組力,Fi 看作第二組力。第一組力在第二組F 卡氏第一定理i其它各F 不變，j則Fi的增量Fi所作的功為Fi i /2，而各Fj的功為所作Fj j 。i注：卡氏第一定理適用于非線性材料及結(jié)構(gòu)，是一個普遍定理，有較重要的理論價值。但由于i 。一般是未知的，使用不方便1 i V i F i F1 1 F2 2 Fi力F 作用點引起的位移

26、為 ，2ii忽略高階微量Fi i /2，有:第二組力在第一組力作用點引起的位移為1，2 , , n。V F F F 1122ii78798013V3 幾種常見情況橫力彎曲橫力彎曲的應(yīng)變能代入卡氏第二定理桁架、拉、壓桿設(shè)有n根桿，則應(yīng)變能為:代入卡氏第二定理由功的互等定理, 有F 2 ln Nj j VF1 1 F2 2 Fi i Fi i2EA2M (x)d xj 1jlV V2EIi V F F l FVni iF Nj j Nj iM 2(x) d x i FEAFVFilj 1ji i卡氏第二定理兩邊取極限，得:Fi 2EIi扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能為:T 2 (x) d xV l交換求導(dǎo)和積分的

27、次序，有2GI注：推導(dǎo)卡氏第二定理時，用了功的互等定理，所以它只適用于線彈性材料及結(jié)構(gòu)。pM (x) M (x)i d x代入卡氏第二定理EIFl T (x) T (x) d x ViiFl GIFipi818283例 2 (書例13.5)已知: EI, Me, F, a, l 。T 2 (x) d x用卡氏定理解題的一般步驟扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能為:lV 2GIp代入卡氏第二定理求約束反力；分段列出內(nèi)力方程（彎矩方程）；求偏導(dǎo)數(shù)；將內(nèi)力方程和偏導(dǎo)數(shù)代入卡氏定理，積分。求：w , 。CAFRAFRBT (x) T (x) d x Vl GIF解： 求反力iFpiiMaF(l a) M組合變形FRA e F, elFRBll分段列彎矩方程若Fi力同時引起軸力、扭矩和彎矩，則T (x) T (x) d x V FNl FN llMeaM (x ) F x M ( F)x MAB段iGIpFiFiEA Fi1 1RA 1e1ellM (x) M (x) d xM (x ) FxBC段EIF2 22i84858614 ViFi求 AV由卡氏定理AB段 M1(x1)M (