導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一-函數(shù)的單調(diào)性

1、 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一-函數(shù)的單調(diào)性【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1. 理解函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。2. 掌握通過函數(shù)導(dǎo)數(shù)的符號來判斷函數(shù)的單調(diào)性。3. 會利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間?！疽c(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系我們知道，如果函數(shù)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說在這一區(qū)間具有單調(diào)性，先看下面的例子：函數(shù)的圖象如圖所示?？紤]到曲線的切線的斜率就是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從圖象可以看到：在區(qū)間（2，+）內(nèi)，切線的斜率為正，即時，為增函數(shù)；在區(qū)間（，2）內(nèi)，切線的斜率為負(fù)，即時，為減函數(shù)。導(dǎo)數(shù)的符號與函數(shù)的單調(diào)性：一般地，設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，則在這個區(qū)間上，若，則在這個區(qū)間上為增函數(shù)；若，則在這個區(qū)間上為減

2、函數(shù)；若恒有，則在這一區(qū)間上為常函數(shù).反之，若在某區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；若在某區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）要點(diǎn)詮釋：1.因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線切線的斜率，故當(dāng)在某區(qū)間上，即切線斜率為正時，函數(shù)在這個區(qū)間上為增函數(shù)；當(dāng)在某區(qū)間上，即切線斜率為負(fù)時，函數(shù)在這個區(qū)間上為減函數(shù)；即導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)決定了原函數(shù)的增減。2.若在某區(qū)間上有有限個點(diǎn)使，在其余點(diǎn)恒有，則仍為增函數(shù)（減函數(shù)的情形完全類似）。即在某區(qū)間上，在這個區(qū)間上為增函數(shù)；在這個區(qū)間上為減函數(shù)，但反之不成立。3. 在某區(qū)間上為增函數(shù)在該區(qū)間；在某區(qū)間上為減函數(shù)在該區(qū)間。在區(qū)間(a,b)內(nèi)，

3、（或）是在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增（或減）的充分不必要條件！例如：而f(x)在R上遞增.4.只有在某區(qū)間內(nèi)恒有，這個函數(shù)在這個區(qū)間上才為常數(shù)函數(shù).5.注意導(dǎo)函數(shù)圖象與原函數(shù)圖象間關(guān)系. 要點(diǎn)二、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法設(shè)函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，（1）如果恒有，則函數(shù)在（a，b）內(nèi)為增函數(shù)；（2）如果恒有，則函數(shù)在（a，b）內(nèi)為減函數(shù)；（3）如果恒有，則函數(shù)在（a，b）內(nèi)為常數(shù)函數(shù)。要點(diǎn)詮釋：（1）若函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)單調(diào)遞增，則，若函數(shù)在（a，b）內(nèi)單調(diào)遞減，則。（2）或恒成立，求參數(shù)值的范圍的方法分離參數(shù)法：或。要點(diǎn)三、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基本步驟

4、（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)；（3）在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式或；（4）確定的單調(diào)區(qū)間。或者：令，求出它在定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)根。把這些實(shí)數(shù)根和函數(shù)的間斷點(diǎn)（即的無定義點(diǎn)）的橫坐標(biāo)按從小到大的順序排列起來，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間，判斷在各個小區(qū)間內(nèi)的符號。要點(diǎn)詮釋： 1.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時，要注意單調(diào)區(qū)間一定是函數(shù)定義域的子集。2.求單調(diào)區(qū)間常常通過列表的方法進(jìn)行求解，使解題思路步驟更加清晰、明確?！镜湫屠}】類型一：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【高清課堂：變化率與導(dǎo)數(shù) 370874 例1】例1、確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【解析】。令，得x0或x2，當(dāng)x0或x2時函數(shù)是增函數(shù)。因此，函數(shù)

5、的單調(diào)增區(qū)間為（，0）和（2，+）。令，得0 x2。函數(shù)在（0，2）上是減函數(shù)，其單調(diào)遞減區(qū)間為（0，2）?！究偨Y(jié)升華】（1）解決此類題目，關(guān)鍵是解不等式或。（2）注意寫單調(diào)區(qū)間時，不是連續(xù)的區(qū)間一般不能用并集符號“U”。舉一反三：【變式1】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1） （2）；（3）；【答案】（1）。令3x24x+10，解得x1或。因此，y=x32x2+x的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+）和。再令3x24x+x0，解得。因此，y=x32x2+x的單調(diào)遞減區(qū)間為。（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+），。 令，即， 結(jié)合x0，可解得； 令，即， 結(jié)合x0，可解得。的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為。（3）。0

6、x2，使的，則區(qū)間0，2被分成三個子區(qū)間。如表所示：x0+000+所以函數(shù)（0 x）的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為。例2. 求函數(shù) （aR）的單調(diào)區(qū)間?！窘馕觥?當(dāng)a0時，y0，函數(shù)在（，+）上為增函數(shù)。 當(dāng)a0時，令3x2+a=0得，y0的解集為。y0的解集為。函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是和，減區(qū)間是。綜上可知：當(dāng)a0時，函數(shù)在（，+）上單調(diào)遞增。當(dāng)a0時，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。【總結(jié)升華】（1）解決此類題目，關(guān)鍵是解不等式或，若中含有參數(shù)，往往要分類討論。（2）特別應(yīng)注意，在求解過程中應(yīng)先寫出函數(shù)的定義域，再在定義域的范圍內(nèi)寫出單調(diào)區(qū)間，即定義域優(yōu)先考慮的原則。舉一反三：【變式】已知

7、函數(shù)f(x)exax1，求f(x)的單調(diào)增區(qū)間?！敬鸢浮縡(x)exa，若a0，則f(x)exa0，若a0，exa0，exa，xln a.當(dāng)a0時，即f(x)遞增區(qū)間是R；當(dāng)a0時，f(x)的遞增區(qū)間是ln a，)類型二：判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性例3當(dāng)時，求證：函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù).【解析】 ，故函數(shù)在上是單調(diào)遞減函數(shù).【總結(jié)升華】 判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟：1、求導(dǎo)；2、變形（分解或配方）；3、判斷導(dǎo)數(shù)式的符號,下結(jié)論。舉一反三：【變式1】當(dāng)時，求證：函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù).【答案】，故函數(shù)在上是單調(diào)遞減函數(shù).【高清課堂：變化率與導(dǎo)數(shù) 370874 例3】【變式2】 yxOyxOyxOyxOAB

8、CD設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，將和的圖象畫在同一個直角坐標(biāo)系中，不可能正確的是（ ）【答案】D【變式3】(2015 陜西)設(shè)，則（ ）A.既是奇函數(shù)又是減函數(shù) B.既是奇函數(shù)又是增函數(shù) C.是有零點(diǎn)的減函數(shù) D.是沒有零點(diǎn)的奇函數(shù)【答案】B【解析】由于的定義域?yàn)镽，且滿足，可得為奇函數(shù)。再根據(jù)，可得為增函數(shù)，故選B。例4已知函數(shù), 討論函數(shù)的單調(diào)性.【解析】由題設(shè)知令（i）當(dāng)a0時，若，則，所以在區(qū)間上是增函數(shù)；若，則，所以在區(qū)間上是減函數(shù)；若，則，所以在區(qū)間上是增函數(shù)；（ii）當(dāng)a0時，若，則，所以在區(qū)間上是減函數(shù)；若，則，所以在區(qū)間上是增函數(shù)；若，則，所以在區(qū)間上是減函數(shù)【總結(jié)升華】 （1）在判斷

9、函數(shù)的單調(diào)性時，只需判斷函數(shù)的導(dǎo)數(shù)恒大于0或恒小于0。（2）在判斷含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時，不僅要考慮到參數(shù)的取值范圍，而且要結(jié)合函數(shù)的定義域來確定的符號，否則會產(chǎn)生錯誤判斷。分類討論必須給予足夠的重視，真正發(fā)揮數(shù)學(xué)解題思想在聯(lián)系知識與能力中的作用，從而提高簡化計(jì)算的能力。（3）分類討論是重要的數(shù)學(xué)解題方法。它把數(shù)學(xué)問題劃分成若干個局部問題，在每一個局部問題中，原先的“不確定因素”不再影響問題的解決，當(dāng)這些局部問題都解決完時，整個問題也就解決了。舉一反三：【變式】已知函數(shù)，, a0 ，w討論的單調(diào)性. 【答案】由于令 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 當(dāng),即時, 恒成立.在(,0)及(0,)

10、上都是增函數(shù). 當(dāng),即時w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由得或 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 或或又由得綜上 當(dāng)時, 在上都是增函數(shù). 當(dāng)時, 在上是減函數(shù), w.w.在上都是增函數(shù).類型三：已知函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍例5（2015 南昌三模）已知在1,+)上是單調(diào)增函數(shù)，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【思路點(diǎn)撥】由在上是單調(diào)增函數(shù)，得在1,+)上恒成立，分離參數(shù)后求出函數(shù)在上的最小值得答案?！窘馕觥吭?,+)上是單調(diào)增函數(shù)，在1,+)上恒成立。即在1,+)上恒成立。在1,+)上為增函數(shù)， ，故選D?！究偨Y(jié)升華】（1）在某區(qū)間上為增函數(shù)在該區(qū)間；

11、在某區(qū)間上為減函數(shù)在該區(qū)間。（2）恒成立，則；恒成立，只需，這是求變量a的范圍的常用方法。舉一反三： 【變式1】已知函數(shù) 在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】，因?yàn)樵趨^(qū)間上是增函數(shù)，所以對恒成立，即對恒成立，解之得：所以實(shí)數(shù)的取值范圍為【變式2】已知向量a=（，x+1），b=（1x，t），若函數(shù)在區(qū)間（1，1）上是增函數(shù)，求t的取值范圍?！敬鸢浮?解法一：依定義，則 。若在（1，1）上是增函數(shù)，則在區(qū)間（1，1）上有。在區(qū)間（1，1）上恒成立?？紤]函數(shù)，由于在圖象的對稱軸為，且在開口向上的拋物線，故要使tx22x在區(qū)間（1，1）上恒成立，即t5。解法二：依定義，。若在（1，1）上是增函數(shù)，則在區(qū)間