IIR數(shù)字低通濾波器的設(shè)計

1、數(shù)字信號處理課程設(shè)計報告題 目： IIR數(shù)字低通濾波器的設(shè)計 學(xué) 院： 專 業(yè)： 班 級： 姓 名： 指導(dǎo)教師： 2012年 6月24日目 錄 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc295597235 1.課程設(shè)計的目的及要求 PAGEREF _Toc295597235 h 1 HYPERLINK l _Toc295597236 課程設(shè)計的目的 PAGEREF _Toc295597236 h 1 HYPERLINK l _Toc295597237 課程設(shè)計的要求 PAGEREF _Toc295597237 h 1 HYPERLINK l _Toc295597238 2

2、.設(shè)計的理論基礎(chǔ) PAGEREF _Toc295597238 h 1 HYPERLINK l _Toc295597239 數(shù)字濾波器的工作原理 PAGEREF _Toc295597239 h 1 HYPERLINK l _Toc295597240 2.2 數(shù)字濾波器的基本特性 PAGEREF _Toc295597240 h 2 HYPERLINK l _Toc295597241 2.3 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu) PAGEREF _Toc295597241 h 4 HYPERLINK l _Toc295597242 2.4 IIR和FIR濾波器的區(qū)別 PAGEREF _Toc295597242 h

3、4 HYPERLINK l _Toc295597243 概述 PAGEREF _Toc295597243 h 5 HYPERLINK l _Toc295597244 數(shù)字低通濾波器的設(shè)計 PAGEREF _Toc295597244 h 6 HYPERLINK l _Toc295597245 4.1 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法 PAGEREF _Toc295597245 h 6 HYPERLINK l _Toc295597246 4.2 IIR濾波器經(jīng)典設(shè)計 PAGEREF _Toc295597246 h 7 HYPERLINK l _Toc295597247 4.3 MATLAB仿真步驟 PA

4、GEREF _Toc295597247 h 11 HYPERLINK l _Toc295597248 4.4 程序清單 PAGEREF _Toc295597248 h 12 HYPERLINK l _Toc295597249 5.總結(jié) PAGEREF _Toc295597249 h 13 HYPERLINK l _Toc295597250 參考文獻： PAGEREF _Toc295597250 h 141.課程設(shè)計的目的及要求（1）學(xué)會MATLAB的使用，掌握MATLAB的程序設(shè)計方法；（2）掌握數(shù)字信號處理的基本概念、基本理論和基本方法；（3）掌握MATLAB設(shè)計IIR濾波器；（4）學(xué)會用M

5、ATLAB對信號進行分析處理。課程設(shè)計的要求濾波器的主要技術(shù)指標(biāo)取決于具體的應(yīng)用或相互間的相互關(guān)系。具體的有最大通帶增益（即通帶允許起伏）；最大阻帶增益；通帶截止頻率；阻帶截止頻率。本設(shè)計中要求的技術(shù)指標(biāo)是：通帶截止頻率=2，阻帶截止頻率，通帶衰減小于3dB，阻帶衰減大于15dB,采樣頻率。2.設(shè)計的理論基礎(chǔ)在數(shù)字濾波中，我們主要討論離散時間序列。如圖2.1所示。設(shè)輸入序列為，離散或數(shù)字濾波器對單位抽樣序列的響應(yīng)為。因在時域離散信號和系統(tǒng)中所起的作用相當(dāng)于單位沖激函數(shù)在時域連續(xù)信號和系統(tǒng)中所起的作用。圖2.1 數(shù)字濾波器原理數(shù)字濾波器的序列將是這兩個序列的離散卷積，即 同樣，兩個序列卷積的z變

6、換等于個自z變換的乘積，即 用代入上式，其中T為抽樣周期，則得到 式中和 分別為數(shù)字濾波器輸入序列和輸出序列的頻譜，而為單位抽樣序列響應(yīng)的頻譜。由此可見，輸入序列的頻譜經(jīng)過濾波后，變?yōu)?，按照的特點和我們處理信號的目的，選取適當(dāng)?shù)氖沟臑V波后的符合我們的要求。2.2 數(shù)字濾波器的基本特性 TC 1.2.1 模擬濾波器與數(shù)字濾波器的基本特性 f C l 3 如果利用離散時間系統(tǒng)對數(shù)字信號（時間離散、幅度量化的信號）進行濾波則構(gòu)成數(shù)字濾波器。數(shù)字濾波器的差分方程表示為： 系統(tǒng)函數(shù)表示: 數(shù)字濾波器的特性通常用其頻率響應(yīng)函數(shù)來描述，包括幅度特性和相位特性。按信號通過系統(tǒng)時的特性（主要是幅頻特性）來分類

7、：可以有低通、高通、帶通和帶阻四種基本類型。（1）低通數(shù)字濾波器：圖所示 |H(ej)|c-c-22-fs/2-fsfs/2fs-fcfcf圖 低通數(shù)字濾波器的頻譜（2）高通數(shù)字濾波器：圖2.3所示|H(ej)|c-c-22圖2.3 高通數(shù)字濾波器的頻譜（3）帶通數(shù)字濾波器：圖2.4所示|H(ej)|2-2-221-1圖2.4 帶通數(shù)字濾波器的頻譜（4）帶阻數(shù)字濾波器：圖2.5所示1|H(ej)|2-2-22-1圖2.5 帶阻數(shù)字濾波器的頻譜2.3 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu) （1）直接型 （2）直接型 優(yōu)點：延遲器減少一半，變?yōu)镹個，可以節(jié)省存儲器或存儲單元。 缺點：其他缺點同直接型 （3）IIR

8、濾波器的級聯(lián)型結(jié)構(gòu) 優(yōu)點：系統(tǒng)實現(xiàn)簡單，只需一個二階系統(tǒng)通過改變輸入系數(shù)即可完成，極點位置可以單獨調(diào)整，運算速度快，各二階網(wǎng)絡(luò)的誤差互不影響，總的誤差小，對字長要求低。 缺點：不能直接調(diào)整零點，因多個二階的零點并不是整個系統(tǒng)函數(shù)的零點，當(dāng)需要準(zhǔn)確的傳輸零點時，級聯(lián)型最合適。 （4）IIR濾波器的并聯(lián)型結(jié)構(gòu) 優(yōu)點：簡單實現(xiàn)，用一個二階的，通過變換系數(shù)就可實現(xiàn)整個系統(tǒng)。零極點可單獨控制，調(diào)整。各二階零極點的搭配可互換位置，優(yōu)化組合以減小運算誤差，可流水線操作。 缺點：二階電平難控制，電平大，容易導(dǎo)致溢出，電平小則是信噪比減小。2.4 IIR和FIR濾波器的區(qū)別 TC 1.2.2 IIR和有限沖擊響

9、應(yīng)FIR濾波器 f C l 3 按系統(tǒng)沖擊響應(yīng)（或差分方程）可以分成無限沖擊響應(yīng) IIR和有限沖擊響應(yīng)FIR濾波器兩類。這兩種濾波器都可以現(xiàn)實各種頻率特性要求，但它們在計算流程、具體特性逼近等方面是有差別的。(1) FIR濾波器(非遞歸型):(2) IIR濾波器（遞歸型）3.MATLAB概述MATLAB是由美國mathworks公司發(fā)布的主要面對科學(xué)計算、可視化以及交互式程序設(shè)計的高科技計算環(huán)境。它將數(shù)值分析、矩陣計算、科學(xué)數(shù)據(jù)可視化以及非線性動態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等諸多強大功能集成在一個易于使用的視窗環(huán)境中，為科學(xué)研究、工程設(shè)計以及必須進行有效數(shù)值計算的眾多科學(xué)領(lǐng)域提供了一種全面的解決方案，并

10、在很大程度上擺脫了傳統(tǒng)非交互式程序設(shè)計語言（如C、Fortran）的編輯模式，代表了當(dāng)今國際科學(xué)計算軟件的先進水平。MATLAB 產(chǎn)品族可以用來進行以下各種工作：數(shù)值分析，數(shù)值和符號計算，工程與科學(xué)繪圖，控制系統(tǒng)的設(shè)計與仿真，通訊系統(tǒng)設(shè)計與仿真，財務(wù)與金融工程，（1）友好的工作平臺和編程環(huán)境MATLAB由一系列工具組成。這些工具方便用戶使用MATLAB的函數(shù)和文件，其中許多工具采用的是圖形用戶界面。包括MATLAB桌面和命令窗口、歷史命令窗口、編輯器和調(diào)試器、路徑搜索和用于用戶瀏覽幫助、工作空間、文件的瀏覽器。隨著MATLAB的商業(yè)化以及軟件本身的不斷升級，MATLAB的用戶界面也越來越精致，

11、更加接近Windows的標(biāo)準(zhǔn)界面，人機交互性更強，操作更簡單。（2）簡單易用的程序語言Matlab一個高級的矩陣/陣列語言，它包含控制語句、函數(shù)、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、輸入和輸出和面向?qū)ο缶幊烫攸c。用戶可以在命令窗口中將輸入語句與執(zhí)行命令同步，也可以先編寫好一個較大的復(fù)雜的應(yīng)用程序（M文件）后再一起運行。（3）強大的科學(xué)計算機數(shù)據(jù)處理能力MATLAB是一個包含大量計算算法的集合。其擁有600多個工程中要用到的數(shù)學(xué)運算函數(shù)，可以方便的實現(xiàn)用戶所需的各種計算功能。函數(shù)中所使用的算法都是科研和工程計算中的最新研究成果，而前經(jīng)過了各種優(yōu)化和容錯處理。在通常情況下，可以用它來代替底層編程語言，如C和C+ 。在計算要

12、求相同的情況下，使用MATLAB的編程工作量會大大減少。（4）出色的圖形處理功能MATLAB自產(chǎn)生之日起就具有方便的數(shù)據(jù)可視化功能，以將向量和矩陣用圖形表現(xiàn)出來，并且可以對圖形進行標(biāo)注和打印。高層次的作圖包括二維和三維的可視化、圖象處理、動畫和表達式作圖?？捎糜诳茖W(xué)計算和工程繪圖。（5）應(yīng)用廣泛的模塊集合工具箱MATLAB對許多專門的領(lǐng)域都開發(fā)了功能強大的模塊集和工具箱。一般來說，它們都是由特定領(lǐng)域的專家開發(fā)的，用戶可以直接使用工具箱學(xué)習(xí)、應(yīng)用和評估不同的方法而不需要自己編寫代碼。（6）實用的程序接口和發(fā)布平臺新版本的MATLAB可以利用MATLAB編譯器和C/C+數(shù)學(xué)庫和圖形庫，將自己的MA

13、TLAB程序自動轉(zhuǎn)換為獨立于MATLAB運行的C和C+代碼。允許用戶編寫可以和MATLAB進行交互的C或C+語言程序。（7）應(yīng)用軟件開發(fā)（包括用戶界面） 在開發(fā)環(huán)境中，使用戶更方便地控制多個文件和圖形窗口；在編程方面支持了函數(shù)嵌套，有條件中斷等；在圖形化方面，有了更強大的圖形標(biāo)注和處理功能，包括對性對起連接注釋等。4.IIR數(shù)字低通濾波器的設(shè)計4.1 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法 TC 3.1 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法 f C l 2 IIR濾波器是一種數(shù)字濾波器，濾波器的系統(tǒng)函數(shù)如式 由于它的脈沖響應(yīng)序列是無限長的，故稱無限沖激響應(yīng)濾波器。IIR濾波器的設(shè)計就是根據(jù)濾波器某些性能指標(biāo)要求，設(shè)

14、計濾波器的分子和分母多項式。它和FIR濾波器相比優(yōu)點是在滿足相同性能指標(biāo)要求條件下，IIR濾波器的階數(shù)要明顯低于FIR濾波器。但IIR濾波器的相位是非線性的。IIR濾波器設(shè)計方法可分為三種：模擬濾波器變換（經(jīng)典設(shè)計法）、直接設(shè)計法、參數(shù)模型設(shè)計法、最大平滑濾波器設(shè)計。本設(shè)計選用的是模擬濾波器變化法（經(jīng)典設(shè)計法）。4.2 IIR濾波器經(jīng)典設(shè)計 TC 3.2 IIR濾波器經(jīng)典設(shè)計 f C l 2 基于模擬濾波器變換原理，首先是根據(jù)濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計出相應(yīng)的模擬濾波器，然后再將設(shè)計好的模擬濾波器變換成滿足給定技術(shù)指標(biāo)的數(shù)字濾波器。這就是IIR濾波器設(shè)計的經(jīng)典法。在MATLAB中，經(jīng)典法設(shè)計IIR數(shù)

15、字濾波器采用下面的主要步驟：模擬低通濾波原型頻率變換模擬離散化IIR濾波器圖 IIR經(jīng)典法設(shè)計步驟第二步完成后，一個達到期望性能指標(biāo)的模擬濾波器（低通、高通、帶通和帶阻）已經(jīng)設(shè)計出來。第三步離散化主要任務(wù)就是把模擬濾波器變換成數(shù)字濾波器，即把模擬濾波器的系數(shù)映射成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。實現(xiàn)系統(tǒng)傳遞函數(shù)s域至z域映射有脈沖響應(yīng)不變法和雙線性映射兩種方法。（1）脈沖響應(yīng)不變法。設(shè)計過程是：按照技術(shù)要求設(shè)計一個模擬低通濾波器，得到模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。 將傳輸函數(shù)從s平面?zhèn)鲹Q到z平面的方法有多種，但工程上常用的是脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法。我們先研究脈沖響

16、應(yīng)不變法。設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)為，相應(yīng)的單位沖激響應(yīng)是，=LT，LT.代表拉氏變換，對進行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到，將h(n)= 作為數(shù)字濾波器的單位取樣響應(yīng)，那么數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)便是h(n)的Z變換。因此脈沖響應(yīng)不變法是一種時域上的轉(zhuǎn)換方法，它是h(n)在采樣點上等于。設(shè)模擬濾波器只有單階極點，且分母多項式的階次高于分子多項式的階次，將用部分分式表示： ，式中為的單階極點。將逆拉氏變換得到： ，式中u(t)是單位階躍函數(shù)。對進行等間隔采樣，采樣間隔為T,得到： 對上式進行Z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)： ，的極點映射到z平面，其極點變成，系數(shù)不變化。下面分析從模

17、擬濾波器轉(zhuǎn)換到數(shù)字濾波器，s平面和z平面之間的映射關(guān)系，從而找到這種轉(zhuǎn)換方法的優(yōu)缺點。這里我們以采樣信號作為橋梁，推導(dǎo)其映射關(guān)系。設(shè)的采樣信號用表示， 對進行拉氏變換，得到： 式中是在采樣點t=n T時的幅度值，它與序列h(n)的幅度值相等，它與序列h(n)的幅度值相等，即h(n)= ，因此得到：上式表示采樣信號的拉氏變換與相應(yīng)的序列的Z變換之間的映射關(guān)系可用下式表示： 我們知道模擬信號的傅立葉變換和其采樣信號的傅立葉變換和其采樣信號的傅立葉變換之間的關(guān)系滿足式： 將代入上式，得 由上式得到： 上式表明將模擬信號的拉氏變換在s平面上沿虛軸按照周期延遲后，再按照映射關(guān)系，映射到z平面上，就得到H

18、（z）。 （2）雙線性變換法這種變換方法，采用非線性頻率壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到/T之間，再用轉(zhuǎn)換到z平面上。設(shè)Ha（s），s=j，經(jīng)過非線性頻率壓縮后用Ha（s1），=j1表示，這里用正切變換實現(xiàn)頻率壓縮： 式中T仍是采樣間隔，當(dāng)1從-/T經(jīng)過0變化到/T時，則由-經(jīng)過0變化到+，實現(xiàn)了s平面上整個虛軸完全壓縮到平面上虛軸的/T之間的轉(zhuǎn)換。這樣便有 再通過 轉(zhuǎn)換到z平面上，得到： 上式稱為雙線性變換。從s平面映射到平面，再從平面映射到z平面，其映射情況如圖所示。由于從s平面到平面具有非線性頻率壓縮的功能，因此不可能產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象。另外，從平面轉(zhuǎn)換到z平面仍然采用標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)換關(guān)系

19、 ，平面的 /T之間水平帶的左半部分映射z平面單位圓內(nèi)部，虛軸映射單位圓。這樣，Ha（s）因果穩(wěn)定，轉(zhuǎn)換成的H（z）也是因果穩(wěn)定的。下面分析模擬頻率和數(shù)字頻率之間的關(guān)系。令 ，有 圖4.2 雙線性變化法映射上式說明，s平面上與平面上的成非線性正切關(guān)系，如圖4.3所示。在=0附近接近線性關(guān)系；當(dāng)增加是，增加得愈來愈快；當(dāng)趨近時，趨近于。正是因為這種非線性關(guān)系，消除了頻率混疊現(xiàn)象。圖4.3 雙線性變換法的頻率變換與之間的非線性關(guān)系是雙線性變換法的缺點，直接影響數(shù)字濾波器頻響逼真的模仿模擬濾波器的頻響，幅度特性和相位特性失真的情況如圖4.4所示。這種非線性影響的實質(zhì)問題是：如果的刻度是均勻的，則影射

20、到z平面的刻度不是均勻的，而是隨增加愈來愈密。圖4.4 雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射雙線性變換法可由簡單的代數(shù)公式將Ha（s）直接轉(zhuǎn)換成H（z），這是該變換法的優(yōu)點。4.3 MATLAB仿真步驟（1）根據(jù)給定的性能指標(biāo)和方法不同，首先對設(shè)計性能指標(biāo)中的頻率指標(biāo)進行轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換后的頻率指標(biāo)作為模擬濾波器原型設(shè)計性能指標(biāo)。（2）估計模擬低通濾波器最小階數(shù)和邊界頻率，利用MATLAB工具函數(shù)buttord、cheb1ord等。（3）設(shè)計模擬低通濾波器原型，利用MATLAB工具函數(shù)buttap、cheb1ap等。（4）由模擬低通原型經(jīng)頻率變換獲得模擬濾波器（低通、高通、帶通、帶阻），利用MAT

21、LAB工具函數(shù)lp2lp、lp2hp、lp2bp、lp2bs。（5）將模擬濾波器離散化獲得IIR數(shù)字濾波器，利用MATLAB工具函數(shù)bilinear。 程序清單數(shù)字性能指標(biāo)給出通帶截止頻率，阻帶截止頻率，通帶衰減，阻帶衰減等。數(shù)字頻率和的取值范圍為0，單位：弧度，而MATLAB工具函數(shù)常采用標(biāo)準(zhǔn)化頻率，和的取值范圍為01。模擬性能指標(biāo)給出通帶截止頻率，阻帶起始頻率，通帶衰減，阻帶衰減等。模擬頻率和的單位均為弧度/秒。技術(shù)指標(biāo)：通帶截止頻率=2，阻帶截止頻率，通帶衰減小于3dB，阻帶衰減大于15dB,采樣頻率。程序如下：Wp= 2000*2*pi; Ws=3000*2*pi; Rp=3; Rs=15; Fs=10000; Ts=1/Fs; Nn=128;N,Wn=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,s) b,a=butter(N,Wn,s); z,p,k=buttap(N); Bap,Aap=zp2tf(z,p,k); b,a=lp2