三節(jié)二重積分的應(yīng)用_第1頁(yè)
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第三節(jié) 二重積分的應(yīng)用1 由二重積分的幾何解釋可以知道：以曲面z=f(x,y)為頂，以D為底的直曲頂柱體的體積為：特別當(dāng)f(x,y)=1時(shí)，平面D的面積為： 由二重積分的物理解釋可以知道，密度為f(x,y)的平面薄板D的質(zhì)量為：2 例1 求由拋物線x=y2和直線xy=2所圍成圖形的面積.解 所給曲線圍成的平面圖形如圖，記其面積為S，則先對(duì)x積分后對(duì)y積分作平行于x軸的直線與y軸相交，沿x軸正方向看，入口曲線為x=y2，出口曲線為x=2+y.因此3區(qū)域D在y軸上的投影區(qū)間為1,2.故4例2 設(shè)平面x=1，x= 1，y=1和y= 1圍成的柱體被坐標(biāo)平面z=0和平面x+y+z=3所截，求截下部分立體的體積.解 由于所截得的形體是一個(gè)曲頂直柱體，其曲頂為z=3xy，而其底因此，由二重積分的幾何應(yīng)用得到5例3 設(shè)平面薄片D是由x+y=2，y=x和x軸所圍成的區(qū)域，它的密度 ，求該薄片的質(zhì)量.解 平面薄片D如圖先解方程組得兩曲線的交點(diǎn)為(1,1)，D可用不等式表示為6例4 設(shè)平面薄片所占Oxy平面上的區(qū)域D為 ，面密度為 ,求該薄片的質(zhì)量m.解 由二重積分的物理意義可知7例5 設(shè)平面薄片D為介于圓 之外，而在圓 內(nèi)的區(qū)域，且D內(nèi)點(diǎn)(x,y)處的密度 ,求該平面薄片質(zhì)量.解 平面薄片D如圖所示.極點(diǎn)在區(qū)域D的

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