整式的乘除講義-整章

1、一 整式的乘除一、同底數(shù)冪的乘法1 同底數(shù)冪的乘法法則m n mn同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。即： a a a（ m， n 都是正整數(shù)） 。這個(gè)公式的特點(diǎn)是：左邊是兩個(gè)或兩個(gè)以上的同底數(shù)冪相乘，右邊是一個(gè)冪，指數(shù)相加。注意： （ 1 ）同底數(shù)冪的乘法中，首先要找出相同的底數(shù)，運(yùn)算時(shí)，底數(shù)不變，直接把指數(shù)相加， TOC o 1-5 h z 所得的和作為積的指數(shù).在進(jìn)行同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算時(shí)，如果底數(shù)不同，先設(shè)法將其轉(zhuǎn)化為相同的底數(shù)，再按法則進(jìn)行計(jì)算.公式拓展：mnp HYPERLINK l bookmark4 o Current Document a a a=?！镜湫屠}】例 1：計(jì)算： （

2、1） 108 102 ；（2） （-x）2（ x）3 ；（3） x2 （ x）32323例 2：計(jì)算： （1） （a b） （b a） （a b）（2） （x2y）（2y-x）52(x y) (y x) (x y)n2 n1 na a a a總結(jié)n an（n為偶數(shù)）,n （b a）n（n為偶數(shù)）（ a）（a b）an（n為奇數(shù)），（b a）n（n為奇數(shù)）6324( a ) ( a) ( a ) ( a)n12 n n1 3例 3、計(jì)算：x x 2( x) x 3x x例 4：已知 2xxm,用含m的代數(shù)式表示2 o變式練習(xí) 】-x2y-x3)(2)a (- a )2 -b 2-(-b)2(-b

3、)3(4)x (- x 2) (-X )2 (- X 3) (- X ) 3(5)nn1x ?x x(6)x4 m x4+m(-x) x 6 (-x) 5-(-x) 8 (-x) 3(8)-a 3 (- a )4 (- a ) 52 逆用同底數(shù)冪的法則mn m n逆用法則為： a a ? a( m、 n 都是正整數(shù))【 典型例題 】1.(1)已知 xm=3, xn=5,求 xm+no(2):已知 xm=3, xn=5,求 x2m+n;3 ) ：已知xm=3， x2m+n=36 ，求xn。【 變式練習(xí) 】aa 4b1 、已知 34 ， 3324 ，試求 b 的值。2 b2a, 2,2abab2

4、、已知25,27 ，則， 23、若m，n為正整數(shù)，且2m 2n 32,求m，n的值。二冪的乘方(重點(diǎn) )535冪的乘方是指幾個(gè)相同的冪相乘，如 ( a ) 是三個(gè) a 相乘，讀作a 的五次冪的三次方。m n mn冪的乘方法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。即 ( a ) a( m， n 都是正整數(shù)) ?！镜湫屠}】 TOC o 1-5 h z 32242253例 1、填空： ( x ), ( x y) , (x ) (x )2n 1 2n 1 2 n 35 22 22 43 2例 2、計(jì)算：a (a ) a2( a ) (a )( a ) (a )5 m 311例 3、已知a (a ) a ,

5、 則 m .例 4、 25 84 162 例 5、 10m2,10n 3 ，則10m n ， 102m ， 103m 2n 5025例 6、將5 和 24 化成指數(shù)相同的冪的形式，并比較它們的大小。554433若a 3，b 4，c 5，試?yán)蒙鲜龇椒ū容^a，3c大小2m 1 m例 7、已知2448 ，試求 m 的值。例8、已知2x 5y 3 0,求4x 32y的值。【變式練習(xí)】z 3 x2/ 2.31、填空：(a ), ( x ), (x y)23 c 32 c ()/3、2782,162(),( x ) x 2682、若 a 3 ,則 a ，a mnm n3、已知 : a 2,a 3,則 a

6、m 2n,a2m 3n, a4574 48 24、計(jì)算：7x x ( x) 5(x ) (x )5、-10075試比較2 與3的大小。三.積的乘方(重點(diǎn))1.積的乘方的意義：指底數(shù)是乘積形式的乘方。如：3ab ab ab ab積的乘方法則：積的乘方，等于把積得每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的哥相乘。如：n n n(ab) =a b注：法則中的字母可以表示數(shù)，也可以表示單項(xiàng)式或多項(xiàng)式；運(yùn)用該法則時(shí)，注意系數(shù)為 -1時(shí)的“-”號的確定；三個(gè)或三個(gè)以上因式的乘方，也具有這一性質(zhì)；該法則可逆用，即，逆向運(yùn)用可將算式靈活性變形或簡化計(jì)算。法則的推導(dǎo)nn個(gè) abn個(gè) an個(gè) bn n(ab)n .anbn(

7、ab).(ab).(ab) (a.a.a) (b.b.b)【典型例題】/、42, 3、3(xy) , ( 2a b )例1、填空：(2x2)3 (3xy2)2例2、計(jì)算：4,(13-xy)42、32m (2m ) ( 3m)2.逆用公式和推廣nnn mn m、n(1)公式可以逆用，ab (ab) , a (a ) (m, n是正整數(shù))，1535555 1133311I xjex w xJxJe v/ x I I/ x I I例如：3(3 )，3(3 ) ,5(5 )(2)底數(shù)為三個(gè)或三個(gè)以上的因數(shù)時(shí)，也可以運(yùn)用此法則，即(abc)nn n na b c (n是正整數(shù))(3)當(dāng)運(yùn)用積的乘方法則計(jì)

8、算時(shí)，若底數(shù)互為倒數(shù)，則可適當(dāng)變形?！镜湫屠}】例3、已知2a 3,3a5,求12a的值20124 20130.75()15 /0153例 4、計(jì)算：3( 0.125)(2 )o.1c rmi 2011 .2012a 2b 0,則 ab 例5、已知2例6、計(jì)算:3、2 32 733(3a ) a ( 4a) a (3a ),2、20112012/ 八2013(-)1.5(1)【變式練習(xí)】1：計(jì)算3 22 34X ； Xy5,10b 6,求 102a 3b的值。(3)_ 2 3 33a b2:已知a1020112010991003：計(jì)算(1)100990.1251515 3215四.單項(xiàng)式與單項(xiàng)

9、式相乘（重點(diǎn)）法則：單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對于只在一個(gè)單項(xiàng)式例含有 的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。注息：.單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘時(shí)，要先把各個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)相乘，作為積的系數(shù)，要注意系數(shù)的符號.相同字母相乘時(shí)，實(shí)際上就是按照同底數(shù)塞的乘法法則進(jìn)行，即底數(shù)不變，指數(shù)相加.對于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，一定要把它連同指數(shù)寫在積中，作為積的因式，切記不要將它漏掉.單項(xiàng)式乘法法則對于三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用.單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的結(jié)果仍然是單項(xiàng)式【典型例題】例1 :計(jì)算3ab2-a2b 2abc2xn 1yn3xy x2z(1)3;(2)26m2n x3 12y 一

10、mn3【變式練習(xí)】1.計(jì)算：4 2-x y36g 3x y4y ( 2xy2);-. (2n2n) 2+( mr) ( 3 nnn).(-3/2ab) (-2a) (-2/3a 2b2)(5).(2 X105)2 .(4 X103).(-4xy)(-x 2y2) (1/2y 3).(-1/2ab 2c)2 (-1/3ab 3c2)3 (12a3b).(-2x n+1yn) (-3xy) (-1/2x 2z)x2y ( 3xy2z) ( 2xy2)(-x3) 2 ( 3xy) (2y2) 3五.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘（重點(diǎn)）法則：單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。

11、用式子生二期m a b c ma mb mc /. 劃曰刖下否一、表本為（m, a, b, c都是單項(xiàng)式）。注意：1.法則中的每一項(xiàng)的含義是不重不漏的.在運(yùn)算過程中，要注意各項(xiàng)的符號，尤其是負(fù)號的情形.非零單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的結(jié)果仍是一個(gè)多項(xiàng)式，積的項(xiàng)數(shù)與因式中多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同【典型例題】123122222/3、2( -x2y)3 (- x2y)2 ( x2y)例1.計(jì)算（1）(3)(5xy)3x2y 12x3( 7y2)x y ( xy )2432232例 2.化簡 5a b ( 3b)( 6ab) ( ab) ab ( 4a)例 4 .計(jì)算：(3x 3-2-5x)(6-7x+2x2)x 4

12、, y例3.已知：214(xy)15x4 的值.9m例4.已知：327 m【變式練習(xí)】1.(1)(3a b-4a b-6ab ) -(3血(2)(7xy4 ：x2y3 5x3y4)g 3xy2)2 6(3)(3x2myn-3-5x my2n+1) (-4xmV)；2.化簡求值：-ab (a2b5-ab 3-b ),其中 ab2=-2。6;多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式(1)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則是由單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則求出，因此兩個(gè)多項(xiàng)式相乘只要把其中一個(gè)多項(xiàng)式看作單項(xiàng)式即可。例如(a+b)(c+d)可以將(a+b)看成單項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則去計(jì)算。如:(a bile-由=(a+b)c+(a+b)

13、d=ac+bc+ad+bd(2)為避免丟項(xiàng)，也可以用第一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)依次去乘第二個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，在沒有合并同類項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)等于這兩個(gè)多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)之積。如： 飛與，=ac+bc+ad+bd。項(xiàng)數(shù)為2X2=4項(xiàng)。(3)對于型如(x+a)(x+b)的積要注意它的特殊性，即(x+a)(x+b)=x 2+bx+ax+ab=x2+(a+b)x+ab,這就是說，含有一個(gè)相同字母的兩個(gè)一次二項(xiàng)式相乘，得到的積是同一個(gè)字母的二次三項(xiàng)式。注意：1.必須做到不重不漏，計(jì)算時(shí)按一定的順序.應(yīng)確定積中每一項(xiàng)的符號.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)，如有同類項(xiàng)要合并【典型例題】223 例1.計(jì)算：(2 a- 3 b)( 3

14、a+ 4 功J.x2和x3的項(xiàng)，求出(-m) 3n的值。例 2.化簡求值：(x+2)(x-3)-2(x-6)(x+5)-3(x2-5x+17),其中 x=5 2 .例3.當(dāng)(x 2+mx+8)(x 2-3x+n)展開后，如果不含【變式練習(xí)】1.計(jì)算： 2ab?(a2b 2ab2).,1312、小 , 、(-x 二 x y)?( 12xy)63一 2_3(3)( 4a)?(ab2 3a3b 1).(=x3y2)(4y 8xy3) 2a(a b) b(b a).3x(x2 2x 1) 2x2(x 1)2.先化簡，再求值:(22 - 32X中其因抄錯(cuò)符號，算成了加上-3x2,得到的答案是.某同學(xué)在計(jì)

15、算一個(gè)多項(xiàng)式乘以-3x 2時(shí),x2-0.5x+1 ,那么正確的計(jì)算結(jié)果是多少？.已知：A 2ab, B 3ab a b ,C 2ab 3ab，且a、b異號，a是絕對值最小的負(fù)b整數(shù)，112 ,求3A-B- 2 A-C的值.若(x2+mx+8)(x2-3x+n)的展開式中不含 x3和x2項(xiàng)，求m和n的值、乘法公式1 .平方差公式(重點(diǎn))平方差公式：a b a b a2 b2即兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。 這個(gè)公式叫做平方差公式。2x 2y 2z歸納小結(jié)公式的變式，準(zhǔn)確靈活運(yùn)用公式: 位置變化，x y y x x2 y2指數(shù)變化，x2 y2 x2 y2 x4 y4換式變化，

16、 xy z m xy z m xy 2 z m2 x2y2 z m z m x2y2 z2 zm zm m x2y2 z2 2zm mD連用公式變化，x y x y x2 y2 x222244符號變化，x y x y x 2 y2 系數(shù)變化，2ab 2ab 4a2 b2增項(xiàng)變化，x y z x y zx y 2 z22x y x y zx2 xy xy y2 z2x2 2xy y2 z2逆用公式變化,4xy 4xz2. 2、：平方差公式及其逆用一一(ab)(a b) a b【典型例題】1:求解下列各式3x 2y 3x 2y2x2200 1 200 1x y z x y z59.8 60.222

17、0062 2005 2007(9)6(7+1)(7 2 +1)(7 4+1)(7 8+1)+1(8)(2a b c 3d)(2a b c3d)a b a b a2 b2 a4 b4例題219492-1950 2+19512-1952 2+19992-2000 2【變式練習(xí)】1計(jì)算：(1) 3a 5b3a 5b；(2)2st 2s t(3)x 2x2 x2(4)4m7n 4m7n(5)2a 5b2a5b(6)3a22 3a27）x 2y3z x2y3z8）1a1(9)402398；(10) 79.980.1.22. 如果 x2y2 20 ，且x y 5 ，則y=2完全平方公式（重點(diǎn)）2ab（重點(diǎn)

18、）22a2 2ab b22完全平方公式a b即兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加（或減）它們的積得（乘法的）完全平方公式22a2 2ab b2等于它們的平方和，加（或減）它們的積得2 倍。這兩個(gè)公式叫做1 ：完全平方公式其逆用【典型例題】例題1:求解下列各式/22、(1)位置變化：(x y )(y x)2符號變化：( 3a 2b)2(3)數(shù)字變化：197(4)方向變化：(3 2a)25)項(xiàng)數(shù)變化：(x y 1)222(6)公式變化(2x 3y)(4x 6y)(2x 3y) (2x 3y)2完全平方公式的運(yùn)用2 .2例題4:已知：x y 4，xy 2,求：x y ;442x y .他y)

19、1911已知x 3x 1 0,求x ;x 例題5xx212,“x 例題6已知x 4x 1=0, 求 x的值;4 x 求14x的值.1 91(x )9 (x )例題7若 x ，則 x2、若 x 2(m 3) 16是關(guān)于 x則 m 2、若 x 2(m 3) 16是關(guān)于 x則 m 【變式練習(xí)】1 已知 a2 b2 12,ab 2.求a(a b)2;(a b)2的值.2已知 a b 4,ab 2.求a2 b2;(a b)2的值.2223 已知 a b 4,a b12.求ab;(a b)的值.2224已知 a b 4,ab 2.求ab ;(a b)的值.5已知 a b 4,a2 b2 12.求ab;(a

20、 b)2的值.56已知 a b 4,a b 2.求a2 b2;ab的值.3逆用一 2 一 ，一 一什 m 2 n 8n 160 mlmn1、若，則 m ，n .2k=3、多項(xiàng)式x2+kx+25是另一個(gè)多項(xiàng)式的平方，則2、4、已知 x(x 1) (x y)xy的值.5、已知x yxy122yi2的值4配方法例題 1:已知：x2+y2+4x-2y+5=0 ,求 x+y 的值.【變式練習(xí)】1 1.已知 x2+y2-6x-2y+10=0，求 x y 的值.已知 x2+y2+6x+8y+25=0,求 x2-y 2的值.已知：x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0 ,求：x+y+z 的值.5xy4.

21、已知：x2+y2+ 4 =2x+y,求：x y 的值.2_25 解方程(1 3x)(2x 1)13(x 1)(x 1)6 如果 (2a+2b+1)(2a+2b-1)=63 ，求 a+b 的值 .c2 ab bc ca 的值7 已知： a b 3,b c 4 ，求： a2 b2考點(diǎn)連接 題型一：乘法公式在解方程和不等式組中的應(yīng)用解方程：2x 1 2x 13 x 2 x 27x 1 x 1題型二：應(yīng)用完全平方公式求值、八 ，ctm2 n2和m n 古設(shè) m+n=1Q mn=24,求的值。1 28 12) 99 101 10001題型三：巧用乘法公式簡算3 22 1 24計(jì)算： ( 1 ) 3 21

22、 2題型四：利用乘法公式證明對任意整數(shù)n,整式3n 1 3n 13 n 3 n是不是10的倍數(shù)？為什么?題型五：乘法公式在幾何中的應(yīng)用.一 一 2, 22已知 ABC的三邊長a, b, c滿足a b c ab bc ac 0 ,試判斷 abc的形狀。整式的除法.同底數(shù)哥的除法法則：同底數(shù)哥相除，底數(shù)，指數(shù).即 產(chǎn)一？二amtl(aw0,m,n都是正整數(shù)，并且m n)零指數(shù)嘉：任何不等于0的數(shù)的0次嘉都等于 .即a0 1,其中要求a不能為?！窘?jīng)典例題】.3 0.100.y0 (y 0)30.x2 1 0 若 3x1 1，則*=.628885. x x(3). m m(4). ( b) ( b)53/3、3/23.2(5). (ab) ( ab)(6)( a )( a )?( a )2.若3m 5, 3n4 ,求 32m n2單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，把系數(shù)、同底數(shù)哥分別相除，作為商式的因式，對于只在被除式