新編6、向量代數(shù)與空間解析幾何課件

1、第6章 向量代數(shù)與空間解析幾何 一、內(nèi)容提要 （一）主要定義 1.=ax i+ ay j+ az k 的模為 2. a=ax i+ ay j+ az k , b= bx i+ by j+ bz k 數(shù)量積(點(diǎn)積)為：a b=a b cos(a b)向量積(叉積)為：a b, 其模為a b =a b sin(a b) 其方向服從右手法則3.混合積：abc= (a b) c方向余弦為（二）主要結(jié)論 1.設(shè) a = (ax,ay,az), b = (bx,by,bz), c = (cx,cy,cz), 則a b= axbx+ayby+azbz2.平面方程(1) 一般式 Ax + By + Cz +

2、D = 0.(2) 點(diǎn)法式 A(x - x0) +B (y - y0) +C (z - z0) = 0.(3) 截距式(4) 三點(diǎn)式過M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), (5) 法式方程 cos x+ cos y+ cos z + p = 0式中cos , cos, cos為平面上點(diǎn) (x, y, z) 處法向量的方向余弦, p 為原點(diǎn)到平面的距離. M3(x3, y3, z3), 的平面方程為3.直線方程一般式 (2) 對(duì)稱式(3) 參數(shù)式(4) 向量式 r=r0+st . 式中 (5) 兩點(diǎn)式4.點(diǎn)到平面的距離5.重要的二次曲面(1) 球面 (x x0)2+ (

3、y y0)2+ (z z0)2 =R2(2) 橢球面(3) 錐面(4) 橢圓拋物面(5) 雙曲拋物面( p, q異號(hào)).(6) 柱面 F ( x, y )=0(7) 單葉雙曲面(8) 雙葉雙曲面6.夾角(1) 兩平面的夾角設(shè) 1: A1x+B1y+C1z+D1=0, 2 : A2x +B2y +C2z+D2=0,(2) 兩直線的夾角(3) 直線與平面的夾角設(shè)1: A1x+B1y+C1z+D1=0,（三）結(jié)論補(bǔ)充 1.非零向量a, b互相垂直的充要條件是a b=0, 互相平行的充要條件是a b=0. 2.非零向量a, b, c共面的充要條件是(a b) c=0. 3.過兩平面A1x+B1y+C1

4、z+D1=0與A2x+B2y+C2z+D2=0交線的平面束方程為: 5.Prj(a+b)=Prja+Prjb, (A1x+B1y+C1z+D1)+ (A2x+B2y+C2z+D2) = 0. 4.設(shè)M0是直線L外一點(diǎn), M是直線L上任一點(diǎn), 且直線的方向向量為s, 則M0到直線L的距離 8. 空間異面直線L1, L2的方向向量為s1, s2, A, B分別為L(zhǎng)1, L2上的兩點(diǎn), 則L1與L2之間的距離為:6. 向量積的運(yùn)算 (1) a (b c) = (a c) b - (a b) c(2) (a b) c = (a c) b - (c b) a(3) a (b c) + b (c a) +

5、c (a b) = 0 7. 不共線的空間三點(diǎn)A, B, C所決定的平面面積為:二、歸類解析 （一）向量代數(shù)例6-1 設(shè)2a+5b與a-b垂直, 2a+3b與a-5b垂直, 求(a b).例6-2 設(shè)A=2a+b, B=ka+b, 其中a =1, b =2, 且a b, 例6-3 從點(diǎn)A(2, -1, 7)沿向量=8i+9j-12k的方向取線段長(zhǎng)AB =34, 求點(diǎn)B的坐標(biāo).試問: (1) k為何值時(shí), A B;(2) k為何值時(shí), 以A, B為鄰邊的平行四邊形 的面積為6. 例6-4 已知 p, q 和 r 兩兩垂直, 且p =1, q =2, r =3, 求 s=p+q+r的長(zhǎng)度. 例6-

6、5 已知p =2, q =3, (pq)=/3, 求以A=3p-4q和B=p+2q為兩鄰邊的平行四邊形的周長(zhǎng).例6-6 證明恒等式(a+b) (b+c) (c+a)=2 (a b) c. 例6-7 用向量代數(shù)的方法證明三角形的三條高交于一點(diǎn).（二）空間平面與直線 1.空間平面例6-8 求通過直線的平面方程., 且平行于直線 例6-9 經(jīng)過兩平面4x-y+3z-1=0和x+5y-z+2=0的交線作一平面, 使之與平面2x-y+5z=0垂直. 例6-10 在由平面2x+y-3z+2=0和平面5x+5y-4z+3=0所決定的平面束內(nèi), 求兩個(gè)相互垂直的平面, 其中的一個(gè)經(jīng)過點(diǎn)(4, -3, 1).例

7、6-12 在過直線L: 的所有平面中, 求一平面, 使原點(diǎn)到的距離最長(zhǎng). 例6-11 一平面通過兩直線L1:s=(1, 0, 1),求此平面方程.的公垂線L, 且平行于向量2. 空間直線例6-13 推導(dǎo)兩異面直線間的距離公式, 并用此公式求兩直線之間的距離.例6-14 設(shè)有直線求平行于L1而分別與L2, L3都相交的直線方程.例6-15 在平面x+y+z+1=0內(nèi), 作直線通過已知直線, 與平面的交點(diǎn)且垂直于已知直線.例6-16 坐標(biāo)面在平面3x-y+4z-12=0上截得一個(gè)ABC, 從z軸上的一個(gè)頂點(diǎn)C作對(duì)邊AB的垂線, 求它的方程.例6-17 已知入射光線路徑為,求該光線經(jīng)平面x+2y+5

8、z+17=0反射后的反射線方程.3. 點(diǎn)、線、面的其他問題例6-18 求點(diǎn)(1, 2, 3)到直線的距離.例6-19 試證曲線是兩條相交直線, 并求其對(duì)稱式方程.例6-20 一直線過點(diǎn)(2, -1, 3)且與直線相交, 又平行于平面3x-2y+z+5=0, 求此直線., 且垂直于平面例6-21 求過直線x+4y-3z+7=0的平面.例6-22 已知直線求其在平面2x+z+4=0上的投影直線方程.（三）二次曲面與其他問題 例6-23 一條直線通過坐標(biāo)原點(diǎn), 且和連接原點(diǎn)與點(diǎn)(1, 1, 1)的直線成45角. 求此直線上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式. 例6-24 求曲線平行于z軸的投影柱面. 例6-25

9、若橢圓拋物面的頂點(diǎn)在原點(diǎn), z軸是它的軸,且點(diǎn)A(-1, -2, 2)和B(1, 1, 1)在該曲面上, 求此曲面方程.例6-26 求通過直線且切于球面x2+y2+z2=4的平面方程.例6-27 求以A(0,0,1)為頂點(diǎn), 以橢圓為準(zhǔn)線的錐面方程.例6-28 試證在單葉雙曲面上可以配置無數(shù)條直線.(一)、填空題（3分4=12分）1. 已知a=(2, 1, -1), a/b, a b=3, 則b=2. 已知A(1, 0, 1), B(2, 3, -1), C(-1, 2, 0), 則ABC的面積S=3. 通過曲面, 作一柱面, 使其母線垂直于xoy平面, 則的方程為 4. 點(diǎn)A(-1, 2,

10、0)在平面x+2y-z+3=0的投影為三、同步測(cè)試測(cè)試6-1(二)、選擇題（4分3=12分）1. 非零向量a, b 的數(shù)量積a b為 .(A) a Prjba;(D) b Prjab;(B) a Prjba;(C) a Prjab;答案：(C)2. 設(shè)有直線則L1與L2的夾角為 .(A) /3; (B) /2; (C) /6; (D) /4.答案：(A)答案：(B)3. 旋轉(zhuǎn)曲面x2-y2-z2=1是 旋轉(zhuǎn)所得.(A) xOy平面上雙曲線x2-y2=1繞y軸;(B) xOy平面上雙曲線x2-y2=1繞x軸;(C) xOz平面上雙曲線x2-z2=1繞z軸;(D) xOz平面上雙曲線x2-z2=1

11、繞x軸.(三)、計(jì)算題（7分6=42分）1. 求與向量a=2i-j+2k共線且滿足方程a x=-18的向量x.2. 在空間直角坐標(biāo)系中, l1, l2, l3分別為坐標(biāo)面xOy, yOz, zOx上各坐標(biāo)軸之間夾角的平分線, 求他們之間的夾角. 3. 一平面經(jīng)過點(diǎn)M0(2,-1,1), 且垂直兩平面3x-y-z+1=0與x-y+2z+1=0的交線, 求此平面方程. 4. 求直線在xOy面的投影直線方程.5. 求通過直線且平行于直線L2:x=y=z的平面方程. 6. 求與直線都垂直相交的直線方程.1: x= 2i+2j-4k2: = /33: 3x+7y+2z=15: 3x-y-2z-4=0(四

12、)、綜合題（9分2=18分）1. a, b為非零向量, 且a =1, , (a,b)= /4求極限2. 求z軸繞直線旋轉(zhuǎn)所得的錐面方程.(五)、證明題（8分2=16分）1. 試證: 三平面x=cy+bz, y=az+cx, z=bx+ay經(jīng)過同一條直線的充要條件是: a2+b2+c2+2abc=1.2. 利用向量代數(shù)的方法證明余弦定理. 答案: 1測(cè)試6-2(一)、填空題（3分4=12分）1. 已知a =3, b =1, 則a b=2. 已知a=(0, 2, -1), b=(1, 0, 0), 那么a在b上的投影為Prjba=3. 經(jīng)過兩點(diǎn)A(1, 3, 4), B(0, 1, 2)的直線方程

13、是4. 已知平面x+ky-2z=9經(jīng)過點(diǎn)M(5, -4, -6), 則k=答案：2答案： 2答案： 2(二)、選擇題（4分3=12分）1. 設(shè)a/b, 且a與b方向相反, a b 0, 則必有 .(A) a+b = a - b ; (B) a+b = a b ;(C) a+b = a - b ; (D) a - b = a - b .2. 設(shè)空間中有三直線則必有 .(A) L1/ L2; (B) L1 L2; (C) L2 L3; (D) L2/ L3.3. 以曲線為母線, 以z軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程是 .(A) 2y2+(x2+z2)=a2;(B) x2+2(y2+z2)=a2;(C)

14、2(x2+y2)+z2=a2;(D) 2(x2+z2)+y2=a2.答案：(A)答案：(B)答案：(C)(三)、計(jì)算題（7分6=42分）1. 向量a的方向向量平行于向量c=(7, -4, -4)與向量b=(-2, -1, 2)之間的角平分線, 且, 求向量a.2. 設(shè)a =1, b =1, (a,b)= /6, 求以向量a+2b和3a+b為鄰邊的平行四邊形的面積.3. 求過點(diǎn)M(3, -1, 2),且平行于兩直線的平面方程.4. 求過直線和平面x-4y-8z+12=0相交成/4角的平面方程.5.求點(diǎn)M0(1,2,3)到直線的距離. 6. 在平面: x+y+z+1=0內(nèi)作直線通過已知直線與已知平

15、面的交點(diǎn), 且垂直于直線L0, 求該直線的方程.(四)、綜合題（9分2=18分）1. 求直線在平面: x-y+2z-1=0上的投影直線L0的方程, 并求L0饒y軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的曲面方程.2. 試在平面 x+y+z=1與三坐標(biāo)面所圍成的四面體內(nèi)求一點(diǎn), 使它與四面體個(gè)側(cè)面的距離相等, 并寫出內(nèi)切于四面體的球面方程. 4(x2+z2)=17y2-2y+1(五)、證明題（8分2=16分）1. 非零向量a, b, c不共線, 試證: a+b+c=0的充要條件是a b= b c = c a.2. 設(shè)點(diǎn)M為線段AB外一點(diǎn), 試證: 點(diǎn)C在AB所在直線的充要條件是存在, , 使+=1, 且 MC=MA+M

16、B例6-1 設(shè)2a+5b與a-b垂直, 2a+3b與a-5b垂直, 求(ab).解 依題意有(2a+5b) (a-b)=0, (2a+3b) (a-5b)=0.即 2a 2+3a b-5 b 2=0, 2a 2+7a b-15 b 2=0.解出 a b= - b2 , a = 2b .則例6-2 設(shè)A=2a+b, B=ka+b, 其中a =1, b =2, 且a b,試問: (1) k為何值時(shí), A B;(2) k為何值時(shí), 以A, B為鄰邊的平行四邊形 的面積為6.解 (1) AB=(2a+b)(ka+b)= 2k a2+(2+k)ab+ b2=2k+4可知當(dāng)k=-2時(shí), AB=0, 亦即A

17、 B.(2) AB = (2a+b)(ka+b)= 2-k ab =2-k 2sin(/2)= 2k (aa)+2(ab)+k(ba)+bb= 4 -2k 令4 -2k =6, 得k= -1和k=5.例6-3 從點(diǎn)A(2, -1, 7)沿向量=8i+9j-12k的方向取線段長(zhǎng)AB =34, 求點(diǎn)B的坐標(biāo).解 設(shè)B=B(x, y, z), 則AB=(x-2, y+1, z-7), 依題意有令, 求得=2. 從而x=18, y=17, z=-17.故B點(diǎn)的坐標(biāo)為(18, 17,-17). 例6-4 已知p, q和r兩兩垂直, 且p =1, q =2, r =3, 求 s=p+ q+ r的長(zhǎng)度.解法

18、一s 2= ss=(p+ q+ r)(p+ q+ r)= pp + qp + rp + pq + qq + rq + qr + rr= pp+ pq + rr = p 2+ q 2+ r2.解法二 記 p0, q0, r0分別表示與p, q, r方向一致的單位向量, 則 s=p0+ 2q0+3 r0 . 故 例6-5 已知p =2, q =3, (p q)=/3, 求以A=3p-4q和B=p+2q為兩鄰邊的平行四邊形的周長(zhǎng). 解 A 2=AA=(3p-4q)(3p-4q)=9 p 2-24pq +16 q 2 B 2=BB=(p+2q)(p+2q)故設(shè)周長(zhǎng)為L(zhǎng), 則=922 -2423cos(

19、/3)+1632 =108.= p 2+4pq +4q 2 =22 + 432 +423cos (/3) = 52.例6-6 證明恒等式(a+b) (b+c) (c+a)=2 (a b)c. 證 (a+b) (b+c) (c+a) = (ab + ac + bb + bc) (c+a)= (ab) c + (ab) a + (ac) c + (ac) a + (bc) c + (bc) a= 2(ab) c 例6-7 用向量代數(shù)的方法證明三角形的三條高交于一點(diǎn).AEFBCHD證 作ABC, 如圖所示. ADBC, BEAC, AD與BE交于點(diǎn)H, 連接CH并延長(zhǎng)交AB于F. 只要證明CFAB即

20、可.由于ADBC, 從而AH BC, 有AHBC=0同理, BHAC=0, 于是CH AB=(CA+AH) (AH+HB)故CHAB, 從而CFAB. = CA AH+CA HB+AH AH+AH HB = AH (CA+AH+HB) =AH CB=0例6-8 求通過直線的平面方程., 且平行于直線解 設(shè)所求平面的法向量為n, 則而M0(1,-2,-3)是平面上的一點(diǎn), 故所求平面方程為2(x-1)+0(y+2)-(z-3)=0故 2x-z-5=0. 例6-9 經(jīng)過兩平面4x-y+3z-1=0和x+5y-z+2=0的交線作一平面, 使之與平面2x-y+5z=0垂直.解為交線方程, 分別令z=0

21、和x=0, 得到交線上的兩點(diǎn)兩交點(diǎn)連線的方向向量為平面2x-y+5z=0的法向量為 n1=2i-j+5k.設(shè)所求平面的法向量為n, 則所求平面為, 即7x+14y+5=0. 例6-10 在由平面2x+y-3z+2=0和平面5x+5y-4z+3=0所決定的平面束內(nèi), 求兩個(gè)相互垂直的平面, 其中的一個(gè)經(jīng)過點(diǎn)(4, -3, 1).解 由已知兩平面決定的平面束方程為2x + y - 3z + 2 + (5x + 5y - 4z + 3)=0經(jīng)過點(diǎn)(4, -3, 1)的平面應(yīng)滿足條件24+1(-3) - 31+2+ 54+5(-3)- 41+3=0, 即=1. 故過點(diǎn)(4, -3, 1)的所求平面方程

22、為3x+4y-z+1=0.另一平面也在平面束內(nèi), 故(2+5)x+(1+5)y-(3+4)z+(2+3)=0 應(yīng)滿足條件 (2+5)3+(1+5)4+(-3-4)(-1)=0, . 所求的另一平面方程為x-2y-5z+3=0. 例6-11 一平面通過兩直線L1:求此平面方程.的公垂線L, 且平行于向量s=(1, 0, 1),解 已知兩直線的方向向量為s1=(1, 2, 1), s2=(1, 3, 2),令s3=s1s2, 則s3=(1, -1, 1). 設(shè)所求平面的法向量為n, 則應(yīng)有n=s3s, 計(jì)算可得n=(1, 2, 1). 下面求公垂線L上的一點(diǎn). 設(shè)此公垂線與L1, L2分別交于A(

23、t+1, 2t-2, t+5)和B(, 3-3, 2-1), 則AB/s3, 從而, 解出t=6, =5. 故點(diǎn)A為(7, 10, 11). 所求平面方程為(x-7)+2(y-10)+(z-11)=0, 整理得 x+2y+z+8=0.例6-12 在過直線, 的所有平面中, 求一平面, 使原點(diǎn)到的距離最長(zhǎng). 解 平面2x+y+z=0過原點(diǎn), 也過直線L, 它不是所求的平面. 故可設(shè)過L的平面束方程為(x+y+z+1)+ (2x+y+z)=0.即 (1+2)x+(1+)y-(1+)z+1=0.原點(diǎn)與它的距離的平方距離最長(zhǎng). 所求平面為x-y-z-3=0. 例6-13 推導(dǎo)兩異面直線間的距離公式,

24、并用此公式求兩直線之間的距離.解 設(shè)直線L1的方向向量為s1, 直線L2的方向向量為s2M1是直線L1上的點(diǎn), M2是直線L2上的點(diǎn), 兩直線L1, L2間的距離就是M1M2在s1s2上投影的大小, 即s1=(-4, 1, 1), s2=(2, 2, -3), M1M2 =(-5, -1, 6), 例6-14 設(shè)有直線求平行于L1而分別與L2, L3都相交的直線方程.解 設(shè)過L2的平面方程為 5x-z-6+ (4y-z+3)=0.由所求平面平行于L1, 則必有54+41+2+ (-1-)1=0, 此平面即為15x-76y+16z-75=0. 同理可求過L3而平行于L1的平面方程為4x-23y+

25、7z-43=0. 所求直線即為例6-15 在平面x+y+z+1=0內(nèi), 作直線通過已知直線, 與平面的交點(diǎn)且垂直于已知直線.解 化已知直線為對(duì)稱式, 有在直線上取一點(diǎn)(0, -1, 0), 則對(duì)稱式方程為參數(shù)式為帶入平面x+y+z+1=0, 得t=0. 故直線與平面的交點(diǎn)為(0, -1, 0). 以s=2i+j-k為法向量過點(diǎn)(0, -1, 0)的平面為2x+y-z+1=0.所求直線方程即為注 直線與平面的交點(diǎn)還可利用求解線性方程組得到.例6-16 坐標(biāo)面在平面3x-y+4z-12=0上截得一個(gè)ABC, 從z軸上的一個(gè)頂點(diǎn)C作對(duì)邊AB的垂線, 求它的方程.解 把已知平面寫成截距式, 有從而可知

26、ABC三頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(4, 0, 0), B(0, -12, 0), C(0, 0, 3).設(shè)垂線為CD, 則可令CD=CA+AB, 于是4(1-)(-4) -12 (-12)+(-3)z0=0.從而垂線CD的方程為例6-17 已知入射光線路徑為,求該光線經(jīng)平面x+2y+5z+17=0反射后的反射線方程. 解 將L寫成參數(shù)式, 有x=1+t, y=1+3t, z=2+t, 帶入平面方程, 得t=-2, 從而求得L與的交點(diǎn)Q(-7,-5,0).點(diǎn)P(-7,-5,0)是L上的一點(diǎn), 過P作垂直于平面的直線化l為參數(shù)式, 有x=1+t, y=1+3t, z=2+5t, 帶入中, 得t=-1,從而求

27、得l與的交點(diǎn)R(0,-1,-3).由P(-7,-5,0), R(0,-1,-3), 得P的對(duì)稱點(diǎn)為P(-1,-3,-8).過P, Q的直線為為所求的反射線方程.例6-18 求點(diǎn)(1, 2, 3)到直線的距離.解法一 先求點(diǎn)(1, 2, 3)在該直線上的投影. 為此先以n=i-3j-2k為法向量, 過點(diǎn)(1, 2, 3)做平面, 有(x-1)-3(y-2)-2(z-3)=0, 即x-3y-2z+11=0.已知直線寫成參數(shù)式, 有x=t, y=4-3t, z=3-2t, 代入平面方程得所求距離就是點(diǎn)(1, 2, 3)與點(diǎn)間的距離. 解法二 記M0(1, 2, 3), M(0, 4, 3), s=(

28、1, -3, -2), 則所求距離為例6-19 試證曲線并求其對(duì)稱式方程.是兩條相交直線,證 在原曲線方程中消去z得(x-5)(y+4)=0.于是得兩直線方程分別為容易求其方向向量分別為s1=(0, 2, -1), s2=(5, 0, 2).說明L1與L2共面不平行. 因此, 他們是兩條相交直線, 進(jìn)一步可寫出其對(duì)稱式方程, 為, 且垂直于平面例6-20 求過直線x+4y-3z+7=0的平面. 解 過點(diǎn)(2, -1, 3)做平行于已知平面的平面, 有3(x-2)-2(y+1)+(z-3)=0, 即3x-2y+z+11=0.把已知直線的參數(shù)式x=2t+1, y=-3t, z=t-2代入此平面得從而得交點(diǎn)所求直線為化簡(jiǎn)得, 且垂直于平面例6-21 求過直線x+4y-3z+7=0的平面. 解 現(xiàn)將已知直線化成一般式, 有再寫出過L的平面束方程為2x-5y+9+ (2y-z+7)=0.此平面與已知平面垂直, 故2+4(2-5)+3=0.解出故所求平面為即