物理熱學(xué)第21章

1、21.4.2. 麥克斯韋分子速率分布律如果不考慮分子速度的方向，只考慮速度大小,在T的平衡態(tài)下，理想氣體分子速率在 v-v+dv 范圍 內(nèi)的概率ovyvzvxv對上式積分*速率分布函數(shù)定義- 概率密度麥克斯韋速率分布率滿足歸-化條件:麥克斯韋速率分布率 平衡態(tài)下氣體分子速率在 v v+dv 區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)為 平衡態(tài)下氣體分子速率在 v v+dv 區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比為 平衡態(tài)下氣體分子速率在 v 附近單位速率間隔的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比，即分子速率分布概率密度，為vv2vp vv+dv f (vp)o f (v)v1討論:f (v)曲線下面積的物理意義 寛度為dv的窄條面積:曲線下

2、總面積: 3. 三種速率vp 為 f(v) -v 曲線中 f(v) 為極大值所對應(yīng)的速率，（1） 最概然速率（最可幾速率）vp 的物理意義： vp 附近概率密度最大（同樣速率間隔dv, 速率在 vp - vp+ d v 的分子數(shù)最多)由及 （2）平均速率（3） 方均根速率vpvo f (v)可以看出前面討論：(3) 一般討論速率分布時(shí)用(1) 三種速率大小排列為：碰撞問題時(shí)用計(jì)算分子能量時(shí)用vpvo f (v)（2） 三種速率皆與 成正比， 與 成反比；例1：T1= 73 KO2vf(v)T2= 273 Kvf(v)273KO2H21. 對同一種氣體， 三種速率均與 成正比； 溫度越高，分子各

3、種速率均增加，曲線右移。2. 同一溫度下，不同物質(zhì)三種速率均與 成反比。 分子質(zhì)量越小，速率越大，分布曲線右移。0vf(v)麥克斯韋速率分布實(shí)驗(yàn)：施特恩實(shí)驗(yàn)：銀相對厚度實(shí)驗(yàn)裝置金屬蒸汽顯示屏狹縫接抽氣泵例2 已知 是速率分布函數(shù)，說明以下各式的物理意義或回答 等式是否成立。表示分子速率在v值附近單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比，也可表示任何一個(gè)分子速率在v值附近單位速率區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的概率。表示分子速率在 vv+dv 區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比或出現(xiàn)的概率表示單位體積內(nèi)，分子速率在 vv+dv 區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)表示N個(gè)分子中，分子速率 vv+dv 區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)表示N個(gè)分子中，分子速率

4、 v1 v2 區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)不表示速率 在v1 v2 區(qū)間內(nèi)所有分子的平均速率如果用 表示速率 在v1 v2 區(qū)間內(nèi)的總分子數(shù)，該平均速率應(yīng)表示為表示速率在 0 vp 區(qū)間內(nèi)或分子速率不大于 vp的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比，也表示某分子速率不大于 vp的概率不表示分子速率 大于vp的分子的方均速率該方均速率應(yīng)表示為(3)求粒子的平均速率。例2. N個(gè)粒子,其速率分布函數(shù)為(1)作速率分布曲線并求常數(shù)a； (2)分別求速率大于v0 和小于 v0的粒子數(shù)；v02v0 a0vf(v)(1) 速率分布曲線如右圖所示：解：由歸一化條件：另法：由圖可有面積 S(2) 大于 v0 的粒子數(shù)：v02v0b0v

5、f(v)(3) 平均速率：小于 v0 的粒子數(shù):21.4.3 重力場中粒子按高度的分布一. 麥克斯韋速度分布律分子速度在區(qū)間的分子數(shù)為 理想氣體在溫度 T 的平衡態(tài)下，在沒有勢場情況下，式中分子動(dòng)能二.玻爾茲曼分布律 玻爾茲曼將上述規(guī)律推廣到有勢場情況，得到理想氣體在速度區(qū)間 dvxdvydvz 及位置區(qū)間 dxdydz 的分子數(shù)為二. 玻爾茲曼分布律的應(yīng)用 重力場中粒子按高度的分布上式對所有速度積分,算出體積元 dxdydz 內(nèi)的總分子數(shù)為玻爾茲曼因子確定能量大的分子數(shù)較少。方括號(hào)內(nèi)定積分值與 C 合并成為一常數(shù) C , 有得體積元dxdydz內(nèi)的分子數(shù)密度 : 以 n0 表示在 Ep =0

6、 處的分子數(shù)密度，則上式給出 n0 =C ,代入得重力場中分子或粒子按高度分布的規(guī)律為因此上式可寫成- 恒溫氣壓公式根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程，可得大氣壓強(qiáng)隨高度的變化關(guān)系：上式給出每升高 10m ， 大氣壓強(qiáng)約降低 133 Pa 。例4：拉薩海拔約為 3600 m ，氣溫為 273 K ,忽略氣溫隨高度的變化。 當(dāng)海平面上的氣壓為 1.013 105 Pa 時(shí)，試求：（1）拉薩的大氣壓強(qiáng)；（2）若某人在海平面上每分鐘呼吸 17 次，他在拉薩應(yīng)呼吸多少次才能吸入同樣質(zhì)量的空氣？（已知空氣的摩爾質(zhì)量為 M =29 10-3 kg / m o l )解：（1）（2）設(shè)某人每次呼吸吸入的空氣容積為V0 ,

7、21.5 能量均分定理 自由度:氣體分子： 單原子（看作質(zhì)點(diǎn)） 3個(gè)平動(dòng)自由度雙原子 3個(gè)平動(dòng)自由度(質(zhì)心), 2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度(聯(lián)接方式)剛性 5個(gè)自由度（無振動(dòng)）非剛性 6個(gè)自由度(1個(gè)振動(dòng)自由度)確定一個(gè)物體的空間位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)ox yzC(x,y,z)多原子剛性的分子 3個(gè)平動(dòng)自由度, 3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，非剛性的分子 3個(gè)平動(dòng)自由度, 3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，若干個(gè)振動(dòng)自由度.ox yzC(x,y,z)21.5.1 能量按自由度均分定理: 設(shè)分子有 t 個(gè)平動(dòng)自由度, r 個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度, s 個(gè)振動(dòng)自由度, 由于每個(gè)振動(dòng)自由度又占有振動(dòng)動(dòng)能和振動(dòng)勢能 2 份能量, 該分子的平均能量為:理想氣

8、體(剛性分子), S=0, 則單原子雙原子多原子( i= t + r + 2s )常溫下例：粒子的平均平動(dòng)動(dòng)能在溫度為 T 的平衡態(tài)下, 分子每一個(gè)可能的自由度都占有相同的能量 kT/2.理想氣體內(nèi)能:1mol理想氣體分子數(shù)為 NA , 內(nèi)能為:質(zhì)量為 m的理想氣體內(nèi)能為:分子的平均能量為:( i= t + r + 2s )21.5.2 理想氣體的內(nèi)能例5. 2g氫氣與2g氦氣分別裝在兩個(gè)容積相同的封閉容器內(nèi)，溫度也相同。(氫氣視為剛性雙原子分子)。求：(1)氫分子與氦分子的平均平動(dòng)動(dòng)能之比；(2)氫氣與氦氣壓強(qiáng)之比；(3)氫氣與氦氣內(nèi)能之比。 書P193解：(1)(2)(3)例6、一絕熱容器

9、，體積為2V0，由絕熱板將其分隔成相等的兩部分A和B，如圖所示。設(shè)A內(nèi)貯有1mol的單原子分子的氣體，B內(nèi)貯有2mol的雙原子分子的氣體，A、B兩部分的壓強(qiáng)均為p0。如果把兩種氣體都看作理想氣體?，F(xiàn)在抽去絕熱板，求兩種氣體混合后達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí)的溫度和壓強(qiáng)。AB分析：一定量理想氣體的內(nèi)能是溫度的單值函數(shù)。當(dāng)抽去絕熱板后，因?yàn)槿萜魇墙^熱的，所以兩種氣體混合后的內(nèi)能等于混合前兩種氣體的內(nèi)能之和，即內(nèi)能保持不變，由此可以計(jì)算出混合氣體的溫度。再由理想氣體的狀態(tài)方程可以求出壓強(qiáng)。解：混合前，兩種氣體的內(nèi)能為：因此兩種氣體的總內(nèi)能為：設(shè)混合氣體的溫度為T，其內(nèi)能為：因?yàn)榛旌锨昂髢?nèi)能不變，所以所以由理想氣體

10、狀態(tài)方程可以得到壓強(qiáng)為：分子熱運(yùn)動(dòng) 踫撞示意圖21.6 氣體碰撞的統(tǒng)計(jì)規(guī)律21.6.1. 分子平均踫撞頻率dddu分子平均踫撞頻率 由于分子向各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的概率相同,所有兩分子運(yùn)動(dòng)方向的平均夾角將是 0至 180之間的平均值 90因此所以即每秒內(nèi)一個(gè)分子要發(fā)生幾十億次踫撞.分子平均踫撞頻率常溫常壓下, 數(shù)量級為 例：H2常溫常壓2. 平均自由程平均自由程: 分子在連續(xù)兩次踫撞間所通過的自由路程的平均值將 p=nkT 代入上式得分子平均踫撞頻率約為分子直徑10-10米的1000倍解：此計(jì)算值大于熱水瓶膽的兩壁間距，所以氮?dú)夥肿拥钠骄杂沙虨?0.4 cm。例3. 熱水瓶膽的兩壁間距 l = 0.4cm，其間充滿 t = 27 , p = 1 Pa 的 N2，N2 分子的有效直徑 ，問氮?dú)夥肿拥钠骄杂沙淌嵌嗌?？m107.310=d統(tǒng)計(jì)物理學(xué)基本內(nèi)容（一）理想氣體壓強(qiáng) 壓強(qiáng)等于器壁單位面積單位時(shí)間氣體分子施于的平均沖量。（二） 溫度 1. 宏觀：物體冷熱的程度，相互熱平衡的物體具有相同的溫度。2. 微觀： 分子平均平動(dòng)動(dòng)能的量度（三）能量均分定理1.內(nèi)容：在溫度T的平衡態(tài)下，粒子的每一個(gè)可能的自由度 都有相同的平均動(dòng)能kT/2。2.內(nèi)能：（四