初中數(shù)學(xué)專題四邊形計算

1、 第 頁初中數(shù)學(xué)專項突破 專題六 四邊形計算（*浙江寧波第24題）在一次課題學(xué)習(xí)中，老師讓同學(xué)們合作編題，某學(xué)習(xí)小組受趙爽弦圖的啟發(fā)，編寫了下面這道題，請你來解一解：如圖，將矩形的四邊、分別延長至、，使得，連接，.求證：四邊形為平行四邊形；若矩形是邊長為1的正方形，且，求的長.【答案】（1）證明見解析；（2）2【解析】試題分析：（1）易證AH=CF，結(jié)合已知條件由勾股定理可得EH=FG，同理可得EF=GH，從而得證.（2）設(shè)AE=x，則BE=x+1，由可得DH=x+1，AH=x+2,由可求出結(jié)果.試題分析：（1）在矩形ABCD中，AD=BC，BAD=BCD=90又BF=DHAD+DH=BC+B

2、F即AH=CF在RtAEH中，EH=在RtCFG中，F(xiàn)G=AE=CGEH=FG同理得：EF=HG四邊形EFGH為平行四邊形（2）在正方形ABCD中，AB=AD=1設(shè)AE=x,則BE=x+1在RtBEF中，BE=BFBF=DHDH=BE=x+1AH=AD+DH=x+2AH=2AE2+x=2xx=2即AE=2考點：1.矩形的性質(zhì)；2.平行四邊形的判定；3.正方形的性質(zhì)；4.解直角三角形.4.（*甘肅慶陽第26題）如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，過對角線BD中點O的直線分別交AB，CD邊于點E，F(xiàn)（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；（2）當(dāng)四邊形BEDF是菱形時，求EF的長【答案】(1

3、)證明見解析.（2）【解析】試題分析：（1）根據(jù)平行四邊形ABCD的性質(zhì)，判定BOEDOF（ASA），得出四邊形BEDF的對角線互相平分，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）在RtADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的長（2）當(dāng)四邊形BEDF是菱形時，BEEF，設(shè)BE=x，則 DE=x，AE=6x，在RtADE中，DE2=AD2+AE2，x2=42+（6x）2，解得：x=，BD=，OB=BD=，BDEF，EO=，EF=2EO=考點：矩形的性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)5.（*廣西吳江第26題）已知，在中，是邊上的一個動點，將沿

4、所在直線折疊，使點落在點處. （1）如圖1，若點是中點，連接 . 寫出的長；求證：四邊形是平行四邊形.（2）如圖2，若，過點作交的延長線于點，求的長.【答案】（1）BD=，BP= 2證明見解析；（2）【解析】試題分析：（1）分別在RtABC，RtBDC中，求出AB、BD即可解決問題；想辦法證明DPBC，DP=BC即可；（2）如圖2中，作DNAB于N，PEAC于E，延長BD交PA于M設(shè)BD=AD=x，則CD=4x，在RtBDC中，可得x2=（4x）2+22，推出x=，推出DN=，由BDNBAM，可得，由此求出AM，由ADMAPE，可得，由此求出AE=，可得EC=ACAE=4=由此即可解決問題試題

5、解析：（1）在RtABC中，BC=2，AC=4，AB=，AD=CD=2，BD=，由翻折可知，BP=BA=2如圖1中，BCD是等腰直角三角形，BDC=45，ADB=BDP=135，PDC=13545=90，BCD=PDC=90，DPBC，PD=AD=BC=2，四邊形BCPD是平行四邊形（2）如圖2中，作DNAB于N，PEAC于E，延長BD交PA于M設(shè)BD=AD=x，則CD=4x，在RtBDC中，BD2=CD2+BC2，x2=（4x）2+22，x=，DB=DA，DNAB，BN=AN=，在RtBDN中，DN=，由BDNBAM，可得，AM=2，AP=2AM=4，由ADMAPE，可得，AE=，EC=AC

6、AE=4=，易證四邊形PECH是矩形，PH=EC=考點：四邊形綜合題6.（*貴州安順第21題）如圖，DBAC，且DB=AC，E是AC的中點，（1）求證：BC=DE；（2）連接AD、BE，若要使四邊形DBEA是矩形，則給ABC添加什么條件，為什么？【答案】（1）證明見解析；（2）添加AB=BC【解析】試題分析：（1）要證明BC=DE，只要證四邊形BCED是平行四邊形通過給出的已知條件便可（2）矩形的判定方法有多種，可選擇利用“對角線相等的平行四邊形為矩形”來解決試題解析：（1）證明：E是AC中點，EC=ACDB=AC，DBEC 又DBEC，四邊形DBCE是平行四邊形BC=DE （2）添加AB=B

7、C 理由：DBAE，DB=AE四邊形DBEA是平行四邊形 BC=DE，AB=BC，AB=DEADBE是矩形考點：矩形的判定；平行四邊形的判定與性質(zhì)7.8.（*湖南懷化第19題）如圖，四邊形是正方形，是等邊三角形.(1)求證：；(2)求的度數(shù).【答案】(1)證明見解析(2) 150【解析】試題分析：（1）根據(jù)正方形、等邊三角形的性質(zhì)，可以得到AB=BE=CE=CD，ABE=DCE=30，由此即可證明；（2）只要證明EAD=ADE=15，即可解決問題；試題解析：（1）證明：四邊形ABCD是正方形，ABC是等邊三角形，BA=BC=CD=BE=CE，ABC=BCD=90，EBC=ECB=60，ABE=

8、ECD=30，在ABE和DCE中，來源:ABEDCE（SAS）（2）BA=BE，ABE=30，BAE=（18030）=75，BAD=90，EAD=9075=15，同理可得ADE=15，AED=1801515=150考點：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)9.（*江蘇無錫第21題）已知，如圖，平行四邊形ABCD中，E是BC邊的中點，連DE并延長交AB的延長線于點F，求證：AB=BF.【答案】證明見解析.【解析】試題分析：根據(jù)線段中點的定義可得CE=BE，根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等可得ABCD，AB=CD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得DCB=FBE，然后利用“角邊角”證

9、明CED和BEF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CD=BF，從而得證試題解析：E是BC的中點，CE=BE，四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD，AB=CD，DCB=FBE，在CED和BEF中，CEDBEF（ASA），CD=BF，AB=BF考點：1.平行四邊形的性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì)10.（*江蘇鹽城第22題）如圖，矩形ABCD中，ABD、CDB的平分線BE、DF分別交邊AD、BC于點E、F（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；（2）當(dāng)ABE為多少度時，四邊形BEDF是菱形？請說明理由【答案】（1）證明見解析；（2）當(dāng)ABE=30時，四邊形BEDF是菱形，理由見解析.試題解析：（1

10、）四邊形ABCD是矩形，ABDC、ADBC，ABD=CDB，BE平分ABD、DF平分BDC，EBD=ABD，F(xiàn)DB=BDC，EBD=FDB，BEDF，又ADBC，四邊形BEDF是平行四邊形；（2）當(dāng)ABE=30時，四邊形BEDF是菱形，BE平分ABD，ABD=2ABE=60，EBD=ABE=30，四邊形ABCD是矩形，A=90，EDB=90-ABD=30，EDB=EBD=30，EB=ED，又四邊形BEDF是平行四邊形，四邊形BEDF是菱形考點：矩形的性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的判定11.（*甘肅蘭州第26題）如圖，1，將一張矩形紙片沿著對角線向上折疊，頂點落到點處，交于點.(1)求證：

11、是等腰三角形；(2)如圖2，過點作，交于點，連結(jié)交于點.判斷四邊形的形狀，并說明理由；若，求的長.【答案】(1)證明見解析;(2) 【解析】試題分析: （1）根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等及折疊特性判斷；（2）根據(jù)已知矩形性質(zhì)及第一問證得鄰邊相等判斷；根據(jù)折疊特性設(shè)未知邊，構(gòu)造勾股定理列方程求解試題解析：（1）證明：如圖1，根據(jù)折疊，DBC=DBE，又ADBC，DBC=ADB，DBE=ADB，DF=BF，BDF是等腰三角形；（2）四邊形ABCD是矩形，ADBC，F(xiàn)DBG，又FDBG，四邊形BFDG是平行四邊形，DF=BF，四邊形BFDG是菱形；AB=6，AD=8，BD=10OB=BD=5假設(shè)DF=B

12、F=x，AF=ADDF=8x在直角ABF中，AB2+A2=BF2，即62+（8x）2=x2，解得x=，即BF=，F(xiàn)O=，F(xiàn)G=2FO=考點：四邊形綜合題12.（*四川自貢第21題）如圖，點E，F(xiàn)分別在菱形ABCD的邊DC，DA上，且CE=AF求證：ABF=CBE考點：菱形的性質(zhì).13.（*江蘇徐州第23題）如圖，在平行四邊形中，點是邊的中點，連接并延長，交延長線于點連接.（1）求證：四邊形是平行四邊形； （2）若，則當(dāng) 時，四邊形是矩形.【答案】（1）證明見解析；（2）100【解析】試題分析：（1）由AAS證明BOECOD，得出OE=OD，即可得出結(jié)論；（2）由平行四邊形的性質(zhì)得出BCD=A=

13、50，由三角形的外角性質(zhì)求出ODC=BCD，得出OC=OD，證出DE=BC，即可得出結(jié)論試題解析:（1）四邊形ABCD為平行四邊形，ABDC，AB=CD，OEB=ODC，又O為BC的中點，BO=CO，在BOE和COD中，BOECOD（AAS）；OE=OD，四邊形BECD是平行四邊形；（2）若A=50，則當(dāng)BOD=100時，四邊形BECD是矩形理由如下：四邊形ABCD是平行四邊形，BCD=A=50，BOD=BCD+ODC，ODC=100-50=50=BCD，OC=OD，BO=CO，OD=OE，DE=BC，四邊形BECD是平行四邊形，四邊形BECD是矩形；考點：1.矩形的判定；2.平行四邊形的判定

14、與性質(zhì)15. (*北京第20題) 數(shù)學(xué)家吳文俊院士非常重視古代數(shù)學(xué)家賈憲提出的“從長方形對角線上任一點作兩條分別平行于兩鄰邊的直線，則所容兩長方形面積相等（如圖所示）”這一推論，他從這一推論出發(fā)，利用“出入相補”原理復(fù)原了海島算經(jīng)九題古證.,（以上材料來源于古證復(fù)原的原理、吳文俊與中國數(shù)學(xué)和古代世界數(shù)學(xué)泰斗劉徽）請根據(jù)上圖完成這個推論的證明過程來源:ZXXK證明：，（_+_）易知，_=_，_=_可得 【答案】 .【解析】試題分析：由矩形的對角線的性質(zhì)，對角線把矩形分成兩個面積相等的三角形計算即可.本題解析：由矩形對角線把矩形分成兩個面積相等的兩部分可得： , , .考點：矩形的性質(zhì)，三角形面積

15、計算.16. (*北京第22題)如圖，在四邊形中，為一條對角線，為的中點，連接.（1）求證：四邊形為菱形；（2）連接，若平分，求的長.【答案】（1）證明見解析.（2）.【解析】試題分析：（1）先證四邊形是平行四邊形，再證其為菱形；（2）利用等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，即可求解.本題解析：(1)證明：E為AD中點，AD=2BC,BC=ED, ADBC, 四邊形ABCD是平行四邊形，AD=2BE, ABD=90,AE=DEBE=ED, 四邊形ABCD是菱形.(2)ADBC,AC平分BAD BAC=DAC=BCA,BA=BC=1, AD=2BC=2，sinADB=,ADB=30, DAC=30,

16、 ADC=60.在RTACD中，AD=2，CD=1，AC= .考點：平行線性質(zhì)，菱形判定，直角三角形斜邊中線定理.17.(*天津第24題)將一個直角三角形紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點，點，點.是邊上的一點（點不與點重合），沿著折疊該紙片，得點的對應(yīng)點.（1）如圖，當(dāng)點在第一象限，且滿足時，求點的坐標(biāo)；（2）如圖，當(dāng)為中點時，求的長；（3）當(dāng)時，求點的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）.【答案】（1）點A的坐標(biāo)為（，1）；（2）1；（3）或 .【解析】試題分析：（1）因點，點，可得OA= ,OB=1，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AOPAOP，由全等三角形的性質(zhì)可得OA=OA=,在RtAOB中，根據(jù)勾股定理求得的長

17、，即可求得點A的坐標(biāo)；（2）在RtAOB中，根據(jù)勾股定理求得AB=2，再證BOP是等邊三角形，從而得OPA =120.在判定四邊形OPAB是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得的長；試題解析：（1）因點，點，OA= ,OB=1.根據(jù)題意，由折疊的性質(zhì)可得AOPAOP.OA=OA=,由，得ABO=90.在RtAOB中，,點A的坐標(biāo)為（，1）.(2) 在RtAOB中，OA= ,OB=1,當(dāng)為中點，AP=BP=1,OP=AB=1.OP=OB=BP,BOP是等邊三角形BOP=BPO=60，OPA=180-BPO=120.由（1）知，AOPAOP，OPA=OPA=120，PA=PA=1，又OB=PA=

18、1，四邊形OPAB是平行四邊形.AB=OP=1.(3)或 .21.（*山東青島第21題）（本小題滿分8分）已知：如圖，在菱形ABCD 中，點E，O，F(xiàn) 分別是邊AB，AC，AD的中點，連接CE、CF、OF（1）求證： BCEDCF；（2）當(dāng)AB與BC滿足什么條件時，四邊形AEOF正方形？請說明理由【答案】（1）證明見解析（2）四邊形AEOF是正方形【解析】試題分析：（1）利用SAS證明 BCEDCF；（2）先證明AEOF為菱形，當(dāng)BCAB，得BAD90，再利用知識點：有一個角是90的菱形是正方形。試題解析：（1）四邊形ABCD為菱形AB=BC=CD=DA，B=D又E、F分別是AB、AD中點，B

19、E=DFABECDF（SAS）考點：1、菱形，2、全等三角形，3、正方形22.(*山東濱州第22題)（本小題滿分10分）如圖，在ABCD中，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交AD于點F；再分別以點B、F為圓心，大于BF的相同長為半徑畫弧，兩弧交于點P；連接AP并延長交BC于點E，連接EF，則所得四邊形ABEF是菱形 （1）根據(jù)以上尺規(guī)作圖的過程，求證四邊形ABEF是菱形；（2）若菱形ABEF的周長為16，AE4，求C的大小【答案】（1）詳見解析；（2）60.【解析】試題分析：（1）由作圖過程可知，ABAF，AE平分BAD，即可得BAEEAF再由四邊形ABCD為平行四邊形，可得BCAD，根據(jù)平行線

20、的性質(zhì)可得AEBEAF，所以BAEAEB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得ABBE，即可得BEAF，所以四邊形ABEF為平行四邊形，根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可判定四邊形ABEF為菱形；（2）連接BF，已知四邊形ABEF為菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得BF與AE互相垂直平分，BAEFAE，OAAE再由菱形ABEF的周長為16，可得AF4所以cosOAF即可得OAF30，所以BAF60再由平行線的性質(zhì)即可得CBAD60試題解析：（1）由作圖過程可知，ABAF，AE平分BADBAEEAF四邊形ABCD為平行四邊形，BCADAEBEAFBAEAEB，ABBEBEAF四邊形ABEF為平行四邊形四邊形ABE

21、F為菱形（2）連接BF，四邊形ABEF為菱形，BF與AE互相垂直平分，BAEFAEOAAE菱形ABEF的周長為16，AF4cosOAFOAF30，BAF60四邊形ABCD為平行四邊形，CBAD6023. (*山東日照第18題)如圖，已知BA=AE=DC，AD=EC，CEAE，垂足為E（1）求證：DCAEAC；（2）只需添加一個條件，即 ，可使四邊形ABCD為矩形請加以證明【答案】(1)詳見解析；(2)AD=BC（答案不唯一）試題分析：（1）由SSS證明DCAEAC即可；（2）先證明四邊形ABCD是平行四邊形，再由全等三角形的性質(zhì)得出D=90，即可得出結(jié)論試題解析：（1）證明：在DCA和EAC中

22、，DCAEAC（SSS）；（2）添加AD=BC，可使四邊形ABCD為矩形；理由如下：AB=DC，AD=BC，四邊形ABCD是平行四邊形，CEAE，E=90，由（1）得：DCAEAC，D=E=90，四邊形ABCD為矩形；考點：矩形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)24. (*遼寧沈陽第18題)如圖，在菱形中，過點做于點，做于點，連接，求證：（1）;（2）【答案】詳見解析.【解析】試題分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AD=CD，再由，可得，根據(jù)AAS即可判定；（2）已知菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AB=CB，再由，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AE=CF，所以BE=BF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得.試題解析：(1

23、) 菱形，AD=CD，(2) 菱形，AB=CBAE=CFBE=BF考點：全等三角形的判定及性質(zhì)；菱形的性質(zhì).28. (*山東菏澤第17題)如圖，是的邊的中點，連接并延長交的延長線于，若，求的長.【答案】12.【解析】試題分析：試題解析：先證明AEFDEC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AF=，再利用平行四邊形的性質(zhì)證得AB=CD=6，根據(jù)=AF+AB即可求得BF的長.【解】AFDCF=DCF是的邊的中點AE=DEAEF=DECAEFDECAF=來源:ZXXK來源:ZXXKAB=CD=6即=AF+AB=12.25（*四川省南充市）如圖，在正方形ABCD中，點E、G分別是邊AD、BC的中點，AF=AB（

24、1）求證：EFAG；（2）若點F、G分別在射線AB、BC上同時向右、向上運動，點G運動速度是點F運動速度的2倍，EFAG是否成立（只寫結(jié)果，不需說明理由）？（3）正方形ABCD的邊長為4，P是正方形ABCD內(nèi)一點，當(dāng)，求PAB周長的最小值【答案】（1）證明見解析；（2）成立；（3）【解析】（2）證明AEFBAG，得出AEF=BAG，再由角的互余關(guān)系和三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；（3）過O作MNAB，交AD于M，BC于N，則MNAD，MN=AB=4，由三角形面積關(guān)系得出點P在線段MN上，當(dāng)P為MN的中點時，PAB的周長最小，此時PA=PB，PM=MN=2，連接EG，則EGAB，EG=AB=4，

25、證明AOFGOE，得出 =，證出 =，得出AM=AE=，由勾股定理求出PA，即可得出答案試題解析：（1）證明：四邊形ABCD是正方形，AD=AB，EAF=ABG=90，點E、G分別是邊AD、BC的中點，AF=AB， =， =，AEFBAG，AEF=BAG，BAG+EAO=90，AEF+EAO=90，AOE=90，EFAG；（2）解：成立；理由如下：根據(jù)題意得： =， =，=，又EAF=ABG，AEFBAG，AEF=BAG，BAG+EAO=90，AEF+EAO=90，AOE=90，EFAG；（3）解：過O作MNAB，交AD于M，BC于N，如圖所示：則MNAD，MN=AB=4，P是正方形ABCD內(nèi)

26、一點，當(dāng)SPAB=SOAB，點P在線段MN上，當(dāng)P為MN的中點時，PAB的周長最小，此時PA=PB，PM=MN=2，連接EG、PA、PB，則EGAB，EG=AB=4，AOFGOE，=，MNAB， =，AM=AE=2=，由勾股定理得：PA= =，PAB周長的最小值=2PA+AB=考點：1四邊形綜合題；2探究型；3動點型；4最值問題26（*四川省廣安市）如圖，四邊形ABCD是正方形，E、F分別是了AB、AD上的一點，且BFCE，垂足為G，求證：AF=BE【答案】證明見解析考點：1正方形的性質(zhì)；2全等三角形的判定與性質(zhì)27（*四川省眉山市）如圖，點E是正方形ABCD的邊BC延長線上一點，連結(jié)DE，過

27、頂點B作BFDE，垂足為F，BF分別交AC于H，交BC于G（1）求證：BG=DE；（2）若點G為CD的中點，求的值【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】試題分析：（1）由于BFDE，所以GFD=90，從而可知CBG=CDE，根據(jù)全等三角形的判定即可證明BCGDCE，從而可知BG=DE；（2）設(shè)CG=1，從而知CG=CE=1，由勾股定理可知：DE=BG=，由易證ABHCGH，所以=2，從而可求出HG的長度，進(jìn)而求出的值試題解析：（1）BFDE，GFD=90，BCG=90，BGC=DGF，CBG=CDE，在BCG與DCE中，CBG=CDE，BC=CD，BCG=DCE，BCGDCE（ASA），BG

28、=DE；（2）設(shè)CG=1，G為CD的中點，GD=CG=1，由（1）可知：BCGDCE（ASA），CG=CE=1，由勾股定理可知：DE=BG=，sinCDE=，GF=，ABCG，ABHCGH，BH=，GH=， =考點：1相似三角形的判定與性質(zhì)；2全等三角形的判定與性質(zhì)；3正方形的性質(zhì)29（*四川省達(dá)州市）如圖，在ABC中，點O是邊AC上一個動點，過點O作直線EFBC分別交ACB、外角ACD的平分線于點E、F（1）若CE=8，CF=6，求OC的長；（2）連接AE、AF問：當(dāng)點O在邊AC上運動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？并說明理由【答案】（1）5；（2）當(dāng)點O在邊AC上運動到AC中點時，四邊

29、形AECF是矩形【解析】試題分析：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得出OEC=OCE，OFC=OCF，證出OE=OC=OF，ECF=90，由勾股定理求出EF，即可得出答案；（2）解：當(dāng)點O在邊AC上運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形理由如下：連接AE、AF，如圖所示：當(dāng)O為AC的中點時，AO=CO，EO=FO，四邊形AECF是平行四邊形，ECF=90，平行四邊形AECF是矩形考點：1矩形的判定；2平行線的性質(zhì)；3等腰三角形的判定與性質(zhì)；4探究型；5動點型32（*廣東省）如圖所示，已知四邊形ABCD，ADEF都是菱形，BAD=FAD，BAD為銳角（1）求證：ADBF；（2）若BF=B

30、C，求ADC的度數(shù)【答案】（1）證明見解析；（2）150【解析】試題分析：（1）連結(jié)DB、DF根據(jù)菱形四邊相等得出AB=AD=FA，再利用SAS證明BADFAD，得出DB=DF，那么D在線段BF的垂直平分線上，又AB=AF，即A在線段BF的垂直平分線上，進(jìn)而證明ADBF；（2）如圖，設(shè)ADBF于H，作DGBC于G，則四邊形BGDH是矩形，DG=BH=BFBF=BC，BC=CD，DG=CD在直角CDG中，CGD=90，DG=CD，C=30，BCAD，ADC=180C=150考點：菱形的性質(zhì)33（*廣西四市）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)在BD上，BE=DF（1）求證：A

31、E=CF；（2）若AB=6，COD=60，求矩形ABCD的面積【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】試題分析：（1）由矩形的性質(zhì)得出OA=OC，OB=OD，AC=BD，ABC=90，證出OE=OF，由SAS證明AOECOF，即可得出AE=CF；（2）證出AOB是等邊三角形，得出OA=AB=6，AC=2OA=12，在RtABC中，由勾股定理求出BC的長，即可得出矩形ABCD的面積試題解析：（1）證明：四邊形ABCD是矩形，OA=OC，OB=OD，AC=BD，ABC=90，BE=DF，OE=OF，在AOE和COF中，OA=OC，AOE=COF，OE=OF，AOECOF（SAS），AE=CF；（2

32、）解：OA=OC，OB=OD，AC=BD，OA=OB，AOB=COD=60，AOB是等邊三角形，OA=AB=6，AC=2OA=12，在RtABC中，BC=，矩形ABCD的面積=ABBC=6=考點：1矩形的性質(zhì)；2全等三角形的判定與性質(zhì)34（*江蘇省鹽城市）如圖，矩形ABCD中，ABD、CDB的平分線BE、DF分別交邊AD、BC于點E、F（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；（2）當(dāng)ABE為多少度時，四邊形BEDF是菱形？請說明理由【答案】（1）證明見解析；（2）ABE=30【解析】試題分析：（1）由矩形可得ABD=CDB，結(jié)合BE平分ABD、DF平分BDC得EBD=FDB，即可知BEDF，根

33、據(jù)ADBC即可得證；（2）當(dāng)ABE=30時，四邊形BEDF是菱形，BE平分ABD，ABD=2ABE=60，EBD=ABE=30，四邊形ABCD是矩形，A=90，EDB=90ABD=30，EDB=EBD=30，EB=ED，又四邊形BEDF是平行四邊形，四邊形BEDF是菱形考點：1矩形的性質(zhì)；2平行四邊形的判定與性質(zhì)；3菱形的判定；4探究型38（*浙江省紹興市）定義：有一組鄰邊相等，并且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直角四邊形（1）如圖1，等腰直角四邊形ABCD，AB=BC，ABC=90若AB=CD=1，ABCD，求對角線BD的長若ACBD，求證：AD=CD；（2）如圖2，在矩形ABCD中，A

34、B=5，BC=9，點P是對角線BD上一點，且BP=2PD，過點P作直線分別交邊AD，BC于點E，F(xiàn)，使四邊形ABFE是等腰直角四邊形，求AE的長【答案】（1）；證明見解析；（2）5或6.5【解析】試題分析：（1）只要證明四邊形ABCD是正方形即可解決問題；只要證明ABDCBD，即可解決問題；（2）如圖1中，連接AC、BDAB=BC，ACBD，ABD=CBD，BD=BD，ABDCBD，AD=CD（2）若EFBC，則AEEF，BFEF，四邊形ABFE表示等腰直角四邊形，不符合條件若EF與BC不垂直，當(dāng)AE=AB時，如圖2中，此時四邊形ABFE是等腰直角四邊形，AE=AB=5當(dāng)BF=AB時，如圖3中

35、，此時四邊形ABFE是等腰直角四邊形，BF=AB=5，DEBF，BF=PB=1：2，DE=2.5，AE=92.5=6.5，綜上所述，滿足條件的AE的長為5或6.5考點：1四邊形綜合題；2分類討論；3新定義；4壓軸題40（*湖北省襄陽市）如圖，AEBF，AC平分BAE，且交BF于點C，BD平分ABF，且交AE于點D，連接CD（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若ADB=30，BD=6，求AD的長【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】試題分析：（1）由平行線的性質(zhì)和角平分線定義得出ABD=ADB，證出AB=AD，同理：AB=BC，得出AD=BC，證出四邊形ABCD是平行四邊形，即可得出結(jié)論；

36、（2）解：四邊形ABCD是菱形，BD=6，ACBD，OD=OB=BD=3，ADB=30，cosADB=，AD=考點：菱形的判定與性質(zhì)1. （*貴州遵義第26題）邊長為2的正方形ABCD中，P是對角線AC上的一個動點（點P與A、C不重合），連接BP，將BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90到BQ，連接QP，QP與BC交于點E，QP延長線與AD（或AD延長線）交于點F（1）連接CQ，證明：CQ=AP；（2）設(shè)AP=x，CE=y，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)x為何值時，CE=BC；（3）猜想PF與EQ的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論【答案】（1）證明見解析；（2）當(dāng)x=3或1時，CE=BC； （3）. 結(jié)論：PF

37、=EQ，理由見解析.（2）解：如圖1，四邊形ABCD是正方形，BAC=BAD=45，BCA=BCD=45，APB+ABP=18045=135，DC=AD=2，由勾股定理得：AC=，AP=x，PC=4x，PBQ是等腰直角三角形，BPQ=45，來源:Z#xx#k.ComAPB+CPQ=18045=135，CPQ=ABP，BAC=ACB=45，APBCEP， ，考點：四邊形綜合題2. （*湖南株洲第22題）如圖示，正方形ABCD的頂點A在等腰直角三角形DEF的斜邊EF上，EF與BC相交于點G，連接CF求證：DAEDCF； 求證：ABGCFG【答案】.證明見解析；證明見解析.MAD=BCD=90，EA

38、M=BCF，EAM=BAG，BAG=BCF，AGB=CGF，ABGCFG考點：相似三角形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；正方形的性質(zhì)4. （*湖北咸寧第18題） 如圖，點在一條直線上，. = 1 * GB2 求證：； = 2 * GB2 連接，求證：四邊形是平行四邊形.【答案】詳見解析.考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定5. （*廣西百色第22題）矩形中，分別是的中點， 分別交于兩點.求證：（1）四邊形是平行四邊形； （2）【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.考點：1.矩形的性質(zhì)；2.平行四邊形的判定與性質(zhì)8. （*黑龍江綏化第28題）如圖，在矩形中，為邊上

39、一點，平分，為的中點，連接，過點作分別交于，兩點 （1）求證：；（2）求證：；（3）當(dāng)時，請直接寫出的長【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）4 . 理由如下：AFBF，BAF+ABF=90，EHBC，ABC=90，BEH=90，F(xiàn)EH+CEB=90，ABF=CEB，BAF=FEH，EFG=AFE，EFGAFE， ，即EF2=AFGF，AFGF=28，EF=2 ，CE=2EF=4考點：1.相似三角形的判定與性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì)；3.矩形的性質(zhì)9. （*湖北孝感第20題）如圖，已知矩形 .（1）請用直尺和圓規(guī)按下列步驟作圖，保留作圖痕跡：以點為圓心，以的長為半徑畫弧交邊于點，連接；作的平分線交 于點；連接;（2）在（1）作出的圖形中，若，則的值為 .【答案】（1）畫圖見解析；（2） .考點：1.作圖基本作圖；2.全等三角形的判定與性質(zhì)；3.解直角三角形.10. （*內(nèi)蒙古呼和浩特第18題）如圖，等腰三角形中，分別是兩腰上的中線（1）求證：；（2）設(shè)與相交于點，點，分別為線段和的中點當(dāng)?shù)闹匦牡巾旤c的距離與底邊長相等時，判斷四邊形的形狀，無需說明理由【答案（1）證明見解析；（2）四