人教版高考數學專項練習-導數壓軸

1、絕密啟用前2021高考導數壓軸最新50題一、解答題1（2021甘肅高三一模（文）已知函數.（1）當時，求函數的單調區(qū)間；（2）設函數，若在內有且僅有一個零點，求實數的取值范圍. 【答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）求出函數的導數，分，和三種情況判斷導數正負可得出單調區(qū)間；（2）由題可得在上有且僅有一個實數根，構造函數，利用導數求出函數的單調性，即可求出.【詳解】解：（1）函數的定義域為，所以.（）當時，由，得，則的減區(qū)間為；由，得，或，則的增區(qū)間為和.（）當時，則的增區(qū)間為.（）當時，由，得，則的減區(qū)間為；由，得，或，則的增區(qū)間為和.（2），在內有且僅有一個零點，即關于方程在上有且

2、僅有一個實數根.令，則，令，.則，故在上單調遞減.所以，即當時，所以在上單調遞減.又，則，所以的取值范圍是.【點睛】方法點睛：已知函數有零點(方程有根)求參數值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解.2（2021山西高三一模（理）已知函數（1）當時，求的最大值；（2）當時，（i）判斷函數的零點個數；（ii）求證：有兩個極值點，且【答案】（1）-1；（2）兩個；證明

3、見解析.【分析】求導，當時，利用導函數分析原函數的單調性；（1）當時，利用單調性求最值即可；（2）（i）利用單調性以及零點存在性定理可判斷函數的零點個數；（ii），由（i）知有兩個零點，設為，且，通過的單調性，分析的單調性，可得為的兩個極值點，代入函數可得，用分析法證明，整理令，記，求導，得到即可.【詳解】解：定義域為 當時，令，得，令，得，故在上單調遞增，在上單調遞減 （1）當時，在上單調遞增，在上單調遞減，所以 （2）（i）在上單調遞增，在上單調遞減，至多有兩個零點在上有一個零點由（1）可證，從而，又，在上有一個零點綜上，函數有兩個零點 （ii）的定義域為由（i）知有兩個零點，設為，且，且

4、又在上單調遞增，在上單調遞減當，或時，；當時，在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，故為的兩個極值點 ，同理欲證，即證 ，令，即證，即證 記，在上單調遞增，故，命題得證【點睛】方法點睛：利用導數研究函數的單調性和極值的步驟：寫定義域，對函數求導；在定義域內，解不等式和；寫出單調區(qū)間，并判斷極值點.3（2021聊城市山東聊城一中高三一模）已知函數，其中e是自然對數的底數（1）設直線是曲線的一條切線，求的值；（2）若，使得對恒成立，求實數的取值范圍【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設切點坐標為，根據題意只需滿足，然后求解方程組得出的值及的值；（2）記，求導討論函數的單調性，確定最值，使成立

5、，得到關于參數的不等式，然后利用參數分離法求解參數的取值范圍.【詳解】解：（1）設切點為，其中，有，且得，所以，易解得：，則；（2）記，有，當，恒成立，則函數在上遞增，無最小值，不符合題意；當時，當時，當時，所以函數在上遞減，在上遞增，所以在處取得最小值，則有，記，有，易知在單調遞增，在單調遞減，則，所以，得.【點睛】本題考查導數的幾何意義，考查根據不等式恒成立問題求參數的取值范圍，求解的一般方法如下：（1）直接構造函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數的取值范圍；（2）采用參數分離法，然后構造函數，直接將問題轉化為函數最值的求解即可.4（2021全國

6、高三月考（理）已知函數.（）討論函數的單調性；（）若有兩個極值點，且恒成立，求的取值范圍.【答案】（）在和上單調遞增，在上單調遞減；（）.【分析】（）函數的定義域為，求導得，再分和兩種情況討論求解即可；（）由（1）得是方程的兩個不等正實根，故，進而得，故問題轉化為恒成立，再令，研究的最值即可得答案.【詳解】（）由題可知函數的定義域為，當且，即時，則函數在上單調遞增；當且，即時，令，即，解得或，且均為正數，令得，令得，所以函數在和上單調遞增，在上單調遞減.（）若有兩個極值點，則是方程的兩個不等正實根，所以結合（）可知，.又因為，所以.由恒成立，可得恒成立，而令，則.令，則，則函數在上單調遞減，所

7、以，故，則函數在上單調遞減，可得，所以的取值范圍是.【點睛】本題考查了運用導數求函數的單調區(qū)間及恒成立問題，在含有參量求單調區(qū)間時注意分類討論，解答恒成立問題時遇到多元的方法是消元，本題借助根與系數之間的關系將零點轉化為的最值為題，是難題5（2021商丘市第一高級中學）已知函數（1）若函數在是單調減函數，求實數a的取值范圍；（2）在（1）的條件下，當時，證明：【答案】（1）；（2）證明見解析【分析】（1）由題可得在區(qū)間上恒成立，即可求出；（2）由（1）可得，可得，分別取相加即可證明.【詳解】解：（1）函數在是單調減函數，在區(qū)間上恒成立，可得，即實數a的取值范圍為；（2）由（1）得當時，在上單調

8、遞減，可得，令，可得，分別取，得，即，可得，對任意的成立【點睛】關鍵點睛：本題考查利用導數證明數列不等式，解題的關鍵是根據，得出.6（2021浙江寧波市高三月考）已知函數，其中是自然對數的底數（1）若曲線與直線有交點，求a的最小值；（2）設，問是否存在最大整數k，使得對任意正數x都成立？若存在，求出k的值，若不存在，請說明理由；若曲線與直線有兩個不同的交點，求證：.【答案】（1）；（2）存在，；證明見解析.【分析】（1）求出函數的導函數，得出其單調區(qū)間，求出的最小值，得到答案.（2）當時,，原不等式恒成立當時,設，即，再設，求出導數分析其單調性，得到其最值，然后再分析的符號，討論得出的單調性和

9、最值，從而得到答案.設，由（1）可知,所以，,由可得，從而可證.【詳解】解：（1）由己知得， 由于，所以可得 可得得當x變化時，與的變化情況如下表所示： x10極小值當時，所以當時，有最小值因此，當曲線與直線有交點時， （2）由（1）知，在上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，又，則，原不等式恒成立 當時，令，則設，得，故當x變化時，與的變化情況如下表所示：x0極小值這樣，當時，此時當x變化時，與的變化情況如下表所示：x10極小值得，即原不等式恒成立 當時，得，則在內有唯一零點此時x變化時，與的變化情況如下表所示：x100極大值極小值得，即原不等式不恒成立綜上所述，存在最大整數，使得原不等式恒成

10、立 證明：設，由（1）可知所以，由可得即 所以都滿足不等式，即，故區(qū)間為不等式解集的子集，得【點睛】關鍵點睛：本題考查函數圖像有交點求參數的范圍和根據恒成立求參數范圍，解答本題的關鍵是由在定義域內恒成立，即分析其單調性，由其導數為，設，根據的單調性，分析得出的符號，得出單調性，屬于難題.7（2021全國高三專題練習（理）已知函數（1）證明：當時，；（2）若，求a【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】(1)由題意分類討論當，幾種情況即可證得題中的結論.(2)觀察(1)中的結論，首先討論時的取值，然后驗證當時不等式成立即可求得實數的值.【詳解】(1)分類討論：.當，；.當時，則函數在上單調增，則

11、，則函數在上單調減，則；.當時，由函數的解析式可知，當時，令，則，故函數在區(qū)間上單調遞增，從而：，即，從而函數，令，則：，當時，故在單調遞增，故函數的最小值為，從而：.從而函數；綜上可得，題中的結論成立.(2) 當時，令則， ，故單調遞增，當時，使得，當時，單調遞減，不符合題意;當時，若在上，總有（不恒為零），則在上為增函數，但，故當時，不合題意故在上，有解，故，使得， 且當時，單調遞增，故當時，不符合題意;故不符合題意，當a=2時，由于單調遞增，故：時，單調遞減;時，單調遞增，此時當時，綜上可得，.【點睛】對于利用導數研究不等式問題的求解策略：1、通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性，

12、求出最值，從而求出參數的取值范圍；2、利用可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題；3、根據恒成求解參數的取值時，一般涉及分離參數法，但壓軸試題中很少碰到分離參數后構造的新函數能直接求岀最值點的情況，通常要設出導數的零點，難度較大.8（2021全國高三專題練習（理）已知函數（1）若，求曲線的斜率等于3的切線方程；（2）若在區(qū)間上恰有兩個零點，求a的取值范圍【答案】（1）；（2）【分析】（1）求函數導數得，進而得切點，得斜率，由點斜式求切線方程即可；（2）討論得當時，不成立，當時，由函數導數判斷只有一個極值點，進而根據單調性列不等式求解即可.【詳解】由已知函數定義域是，（1），由解

13、得（舍去），又，所以切線方程為，即；（2）當時，函數單調遞增，則不存在兩個零點，舍當時，易知只有一個極值點，要使得有兩個零點，則，即，此時在上，遞減，在上，遞增，在時取得極小值，所以解得綜上的范圍是【點睛】關鍵點點睛：研究函數的零點的關鍵是得到函數的單調性，比較極值點端點值和x軸的關系.9（2021河南高三月考（理）已知函數（1）若在上是減函數，求實數m的取值范圍；（2）當時，若對任意的，恒成立，求實數n的取值范圍【答案】（1）；（2）【分析】（1）由題意可得對于恒成立，分離轉化為最值即可求解；（2）由題意可得恒成立，即，構造函數，利用導數判斷其單調性可得與的關系，分離即可求解.【詳解】（1）

14、因為，所以，由題意可得對于恒成立，即，可得，所以所以實數的取值范圍是（2）對任意的，恒成立，即恒成立，即恒成立因為，所以，易知在上單調遞增，且在上，所以，即對任意的恒成立令，則，當時，；當時，則在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以，顯然，故實數n的取值范圍是【點睛】方法點睛：求不等式恒成立問題的方法（1）分離參數法若不等式（是實參數）恒成立，將轉化為或恒成立，進而轉化為或，求的最值即可.（2）數形結合法結合函數圖象將問題轉化為函數圖象的對稱軸、區(qū)間端點的函數值或函數圖象的位置關系（相對于軸）求解.此外，若涉及的不等式轉化為一元二次不等式，可結合相應一元二次方程根的分布解決問題.（3）主參換位

15、法把變元與參數變換位置，構造以參數為變量的函數，根據原變量的取值范圍列式求解，一般情況下條件給出誰的范圍，就看成關于誰的函數，利用函數的單調性求解.10（2021湖北高三月考）已知函數，其中為自然對數的底數（1）求的單調區(qū)間；（2）若對恒成立，記，證明：【答案】（1）函數的增區(qū)間為、；（2）證明見解析【分析】（1）求得，證明出對任意的恒成立，由此可得出結果；（2）由題意可知不等式對任意的恒成立，令，將所證不等式等價轉化為，利用導數證明即可.【詳解】（1）函數的定義域為，且.令，則.當時，此時函數單調遞減；當時，此時函數單調遞增.所以，當時，則.綜上所述，函數的增區(qū)間為、；（2）由題意得不等式對

16、任意的恒成立，令，要證，即證.令，其中，則，所以在上單調遞增，又，故，使得，即.所以，當時，有，函數單調遞減；當時，函數單調遞增.所以且，所以存在，使得，即，且滿足，函數單調遞減；，單調遞增；所以.令，則，即函數在上單調遞減.又，則，則只需證明，即，即，即，可先證明，則，所以，可得，而，所以，證畢.【點睛】方法點睛：利用導數證明不等式問題，方法如下：（1）直接構造函數法：證明不等式（或）轉化為證明（或），進而構造輔助函數；（2）適當放縮構造法：一是根據已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；（3）構造“形似”函數，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據相似結構構造輔助函數.11（2021山東

17、日照市高三一模）已知函數，.（1）當時，求的值域；（2）令，當時，恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求函數的導數，利用導數求出單調性，利用單調性求最值即可；（2）時，恒成立轉化為恒成立，分離參數后利用導數求解即可.【詳解】（1），由得，在區(qū)間上單調遞減、在區(qū)間上單調遞增.函數的最小值為：；函數的值域是；（2）當時，（）令，則令，則，在上單調遞增.于是在上單調遞增，且，（）又由（1）知當，時.的值域是，即：，所以：恒成立.所以；.即：，所以：的取值范圍是.【點睛】關鍵點點睛：不等式的恒成立問題一般都需要轉換，本題可轉化為，分離參數得，構造函數，利用導數研究單調性，屬于難

18、題.12（2021黑龍江大慶市高三一模（理）已知函數（1）求證：；（2）若，時，恒成立，求實數的取值范圍【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）令，利用導數求得的最小值，從而可證得不等式成立；（2）原不等式變形為，即. ，由的單調性得，利用（1）的結論得右邊的最大值，從而可得的范圍【詳解】解：（1）證明：令， 則.當時，當時，所以在上為減函數，在上為增函數， 所以當時，函數有最小值，.所以，即. （2）因為，所以.所以. 令，則恒成立.因為恒成立，所以在R上單調遞增，所以恒成立，即，即恒成立. 由（1）知，所以，解得，所以實數的取值范圍為.【點睛】關鍵點點睛：本題考查有導數證明不等式，

19、用導數研究不等式恒成立，用導數證明不等式一般是不等式變形后引入新函數，證明新函數的最小值大于或等于0即證本題解決不等式恒成立的關鍵是不等式變形化，利用新函數的單調性化簡不等式，并利用(1)中結論得出參數范圍13（2021江西高三其他模擬（理）已知函數，（1）討論函數的單調性；（2）令，若存在，且時，證明：.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【分析】(1)求函數的定義域和導數，分和兩種情況，結合導數可求出函數的單調性.(2)根據題意可得，通過構造函數，求函數單調性及參變分離可得，令，通過導數得的單調性，即可證明，從而可證明.【詳解】解：（1）的定義域為，當時，當時，由得，由得，當時，在

20、上單調遞增當時，在上單調遞減，在單調遞增.（2），由題意知，令，則，在上單調遞增，不妨設，令，只需證，只需證，設，則，在遞增，即成立，即.【點睛】思路點睛:利用導數求含參函數的單調性時，一般先求函數的定義域，求出導數后，令導數為零，解方程，討論方程的根的個數以及根與定義域的位置關系，確定導數的符號，從而求出函數的單調性.14（2021全國高三月考（文）已知函數（其中，），.（1）若存在實數使得恒成立，求的取值范圍；（2）當時，討論函數的零點個數.【答案】（1）；（2）答案見解析.【分析】（1）由在上恒成立，得到，利用導數求得函數的單調性和最值，列出不等式，即可求解；（2） （）當時，結合和的取

21、值，得出函數只有1個零點.（）當時，令，求得，令，求得，分和兩種情況，結合函數的單調性和最值，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數，（其中），要使在上恒成立，可得，又由，令，解得，即函數在單調遞增，令，解得，即函數在單調遞減，所以，要使得，可得，解得，即實數的取值范圍.（2）由函數和.（）當時，當時，可得，所以恒大于零，函數沒有零點；當時，可得，可得恒小于零，沒有零點；當時，令，可得，所以函數由一個零點，綜上可得，當時，在只有1個零點.（）當時，令，則，可得，令，可得，因為，所以恒成立，在單調遞增，由，即時，可得在上恒小于零，在上恒大于零，即在上單調遞減，在上單調遞增，所以，在只有個零點當時，

22、由于在單調遞增，所以在上恒小于零，在上單調遞減，因為，所以在上有唯一零點.又因為，所以存在，使得，由于在單調遞增，所以在在單調遞減，在單調遞增，所以，又因為，所以，由，知在上有唯一零點，結合在單調遞增，在上有唯一零點，又，時，在上有個零點綜上所述，當或時，在只有個零點；當時，在上有個零點.【點睛】函數由零點求參數的取值范圍的常用方法與策略：1、分類參數法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數零點個數的參數范圍，通常解法為從中分離參數，然后利用求導的方法求出由參數構造的新函數的最值，根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數的取值范圍；2、分類討論法：一般命題情境為沒有固定的區(qū)間，求

23、滿足函數零點個數的參數范圍，通常解法為結合函數的單調性，先確定參數分類標準，在每個小范圍內研究零點的個數是否符合題意，將滿足題意的參數的各個小范圍并在一起，即可為所求參數的范圍.15（2021河南平頂山市高三二模（文）已知函數，（為常數，）.（1）若恒成立，求實數的取值范圍；（2）判斷方程是否存在實數解；如果存在，求出解的個數；如果不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）不存在，理由見解析.【分析】（1）利用參變量分離法得出，構造函數，其中，利用導數求出函數的最小值，由此可得出實數的取值范圍；（2）由（1）得出，當且僅當時，等號成立，設，利用放縮法得出，即可得出結論.【詳解】（1）因為，由，

24、即，可得，設，則.當時，函數遞減；當時，函數遞增.所以，所以.因此，實數的取值范圍是；（2）方程不存在實數解.由（1）可知，當時，即，當且僅當時等號成立.設，則（當且僅當時等號成立），又，當且僅當時等號成立.所以對任意，恒成立，所以函數無零點，即方程不存在實數解.【點睛】方法點睛：利用導數解決函數零點問題的方法：（1）直接法：先對函數求導，根據導數的方法求出函數的單調區(qū)間與極值，根據函數的基本性質作出圖象，然后將問題轉化為函數圖象與軸的交點問題，突出導數的工具作用，體現了轉化與化歸思想、數形結合思想和分類討論思想的應用；（2）構造新函數法：將問題轉化為研究兩函數圖象的交點問題；（3）參變量分離

25、法：由分離變量得出，將問題等價轉化為直線與函數的圖象的交點問題.16（2021全國高三其他模擬）已知函數滿足，且曲線在處的切線方程為（1）求，的值；（2）設函數，若在上恒成立，求的最大值【答案】（1），；（2）3.【分析】（1）解方程組即得解；（2）等價于在上恒成立，利用導數求出即得解.【詳解】解：（1）由已知得，且函數的圖象過點，則解得，（2）由（1）得若在上恒成立，則在上恒成立，即在上恒成立，因為，所以，從而可得在上恒成立令，則，令，則恒成立，在上為增函數又，所以存在，使得，得，且當時，單調遞減；當時，單調遞增則又，所以，代入上式，得又，所以因為，且，所以，故的最大值為3【點睛】方法點睛：

26、“隱零點”問題：求解導數壓軸題時，如果題干中未提及零點或零點不明確，依據有關理論（如函數零點的存在性定理）或函數的圖象，能夠判斷出零點確實存在，但是無法直接求出，不妨稱之為隱性零點.我們一般可對零點“設而不求”，通過一種整體的代換和過渡，再結合其他條件，從而最終解決問題我們稱這類問題為“隱零點”問題（零點大小確定的叫“顯零點”）處理此類問題的策略可考慮“函數零點存在定理”、“構造函數”、利用“函數方程思想”轉化等，從操作步驟看，可遵循如下處理方法：第一步：用零點存在性定理判定導函數零點的存在性，列出零點方程，并結合的單調性得到零點的范圍；這里應注意，確定隱性零點范圍的方式是多種多樣的，可以由零

27、點的存在性定理確定，也可以由函數的圖象特征得到，甚至可以由題設直接得到，等等；至于隱性零點范圍精確到多少，由所求解問題決定，因此必要時盡可能縮小其范圍；第二步：以零點為分界點，說明導函數的正負，進而得到的最值表達式；這里應注意，進行代數式的替換過程中，盡可能將目標式變形為整式或分式，那么就需要盡可能將指、對數函數式用有理式替換，這是能否繼續(xù)深入的關鍵；第三步：將零點方程適當變形，整體代入最值式子進行化簡證明；有時候第一步中的零點范圍還可以適當縮小導函數零點雖然隱形，但只要抓住特征(零點方程)，判斷其范圍(用零點存在性定理)，最后整體代入即可（即注意零點的范圍和性質特征）17（2021全國高三其

28、他模擬）已知函數.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若函數有兩個極值點，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）當時，可得解析式，求導得解析式，則可求得，代入直線方程，化簡即可得答案.（2）函數有兩個極值點，等價為有兩個不相等的實數根，.令，分別討論和兩種情況，利用導數求得其單調區(qū)間和極值，可得a的范圍，不妨設，則，.令，利用導數判斷其單調性，結合基本不等式，分析整理，即可得證.【詳解】解：（1）當時，則，所以，又，所以切線方程為，即.（2）由題意得，則.因為函數有兩個極值點，所以有兩個不相等的實數根，.令，則.當時，恒成立，則函數為上的增函數，故在上至多有一個零點，不

29、符合題意.當時，令，得，當時，故函數在上單調遞減，當時，故函數在上單調遞增.因為函數有兩個不相等的實數根，所以，得不妨設，則，.又，所以.令，則，所以函數在上單調遞增.由可得，即.又，是函數的兩個零點，即，所以.因為，所以，又，函數在上單調遞減，所以，即.又，所以，因此.【點睛】解決本題的關鍵主要有三點：一是確定，的范圍，為后續(xù)的靈活轉化做準備；二是能夠想到構造函數，并借助其單調性得到；三是巧妙利用自變量的范圍和函數的單調性構建關于，的不等式.18（2021全國高三其他模擬）已知函數.（1）若，討論的單調性；（2）若，是的極大值點，且存在實數使得，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）

30、.【分析】（1）先求導，再對分兩種情況討論得解；（2）先求出，得到，即得解.【詳解】（1）因為，所以.當時，由得，由得，所以在上單調遞增，在上單調遞減.當時，因為，所以由得，由得或，所以在上單調遞增，在，上單調遞減.綜上，當時，在上單調遞增，在上單調遞減；當時，在上單調遞增，在，上單調遞減.（2）因為，所以，由（1）知，當時，是的極小值點，不滿足題意.所以若是的極大值點，則應滿足解得.，所以.由得，所以，所以的取值范圍是.【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵有兩點：（1）確定出的取值范圍；（2）根據得到關于的表達式.19（2021甘肅蘭州市高三其他模擬（文）已知函數.（1）當時，求函數圖象在點處的

31、切線方程；（2）若，當函數有且只有一個極值時，求的最大值.【答案】（1）； （2）.【分析】（1）當時，求得，進而得到，結合點斜式，即可求得切線的方程；（2）當時，求得，令，解得或，根據函數有且只有一個極值和函數的定義域，得到，化簡得出，進而得出，利用換元法，即可求得函數的最大值.【詳解】（1）當時，函數，可得，則，即切線的斜率為，切點，所以函數圖象在點處的切線方程為.（2）當時，函數的定義域為，可得，令，即，解得或，因為函數有且只有一個極值，所以只存在一個值使得，因為函數的定義域為，當時，所以函數的極值點為，此時，解得，當時，所以 ，因為，所以，令，則，又由，可得當時，所以.所以的最大值為.

32、【點睛】解決函數極值、最值綜合問題的策略：1、求極值、最值時，要求步驟規(guī)范，含參數時，要討論參數的大?。?、求函數最值時，不可想當然地認為極值點就是最值點，要通過比較才能下結論；3、函數在給定閉區(qū)間上存在極值，一般要將極值與端點值進行比較才能確定最值.20（2021甘肅蘭州市高三其他模擬（理）已知.（1）判斷函數是否存在極值，并說明理由； （2）求證：當時，在恒成立.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）由題意求得，根據余弦函數的性質可知，得到，得出函數的單調性，即可求解；（2）由題意轉化為成立，令，求導數，令，利用導數結合（1）求得函數的額單調性和最值，即可求解.【詳解】

33、（1）由題意，函數，則，可得，根據余弦函數的性質可知，可得，所以函數為單調遞減函數，所以函數沒有極值.（2）由于，即，即，要證原命題成立，只需證成立，令，則，令，則，由（1）可知，當時，即，當時，因此，當時，所以，所以當時為增函數，所以，即，所以當時為減函數，所以，原命題得證.【點睛】對于利用導數研究不等式的恒成立問題的求解策略：1、通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，從而求出參數的取值范圍；2、利用可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題3、根據恒成求解參數的取值時，一般涉及分類參數法，但壓軸試題中很少碰到分離參數后構造的新函數能直接求出最值點的情況，通常要設

34、出導數的零點，難度較大.21（2021廣西玉林市高三其他模擬（理）設，,其中，且.（1）試討論的單調性；（2）當時，恒成立，求實數的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）分別在和兩種情況下，結合定義域，根據導函數的正負可確定原函數的單調性；（2）將不等式化為，利用導數和復合函數單調性可確定，進而轉化為，利用導數可求得的最小值，由可得結果.【詳解】（1），當時，由得：，即定義域為；當時，；當時，；在上單調遞減，在上單調遞增；當時，由得：，即定義域為；當時，；當時，；在上單調遞減，在上單調遞增；綜上所述：當時，在上單調遞減，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.（2）

35、由得：，即，設，則，當時，；當時，；在上單調遞增，在上單調遞減；又在上單調遞減，在上單調遞減，在上單調遞增，；在上恒成立，；設，則，當時，；當時，；在上單調遞減，在上單調遞增，即實數的取值范圍為.【點睛】關鍵點點睛：本題考查恒成立問題的求解，解題關鍵是能夠通過分離變量的方式，將問題轉化為函數最值的求解問題，進而利用導數求解函數最值得到結果.22（2021全國高三月考（文）已知函數.（1）判斷的單調性；（2）若方程有唯一實根，求證：.【答案】（1）在上是減函數，在上是增函數；（2）證明見解析.【分析】（1）求得，分析的符號變化，由此可得出函數的單調遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）設，利用導數分析函數的

36、單調性，根據已知條件得出，其中為函數的極小值點，可得出，消去可得出，構造函數，分析函數在區(qū)間上的單調性，結合零點存在定理證得，即可得出.【詳解】（1）因為，所以，則，所以，函數在上是增函數，且，所以，當時，；當時，.所以在上是減函數，在上是增函數；（2）設，則，因為是增函數，又，所以存在唯一的，使得.當時，此時，函數單調遞減；當時，此時，函數單調遞增.所以，.方程有唯一實根，則，且，即，消去得，設，則，所以，函數在上是減函數，因為，所以，即.【點睛】方法點睛：利用導數解決函數零點問題的方法：（1）直接法：先對函數求導，根據導數的方法求出函數的單調區(qū)間與極值，根據函數的基本性質作出圖象，然后將問

37、題轉化為函數圖象與軸的交點問題，突出導數的工具作用，體現了轉化與化歸思想、數形結合思想和分類討論思想的應用；（2）構造新函數法：將問題轉化為研究兩函數圖象的交點問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉化為直線與函數的圖象的交點問題.23（2021湖南高三月考（文）已知函數，（1）求在上的最小值；（2）證明：【答案】（1）；（2）證明見解析【分析】（1）求導函數，由確定單調性，得極小值也即為最小值（2）不等式化為引入函數，由導數求得的最小值即可證明【詳解】（1），令，得，故在區(qū)間上，的唯一零點是，當時，單調遞減，當時，單調遞增，故在區(qū)間上，的最小值為（2）要證：當時，即證：當時，令

38、，時，時，在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以時，而時，綜上，時，即【點睛】關鍵點點睛：本題考查用導數求函數的最值，證明不等式解題方法是不等式變形后，引入新函數，利用導數求得新函數的最值，從而得證不等式成立24（2021山東德州市高三一模）已知函數，定義新函數（1）當時，討論函數的單調性；（2）若新函數的值域為，求的取值范圍【答案】（1）答案見解析；（2）【分析】（1）計算，然后根據，討論函數單調性.（2）利用等價轉化即在上有解，構造函數，并利用導數研究函數單調性，根據隱零點得到函數，最后計算可得結果.【詳解】（1），當即時，令得，令得，在上單調遞減，上單調遞增，當時，當，即時，令得，令得，

39、或，在和上單調遞減，在上單調遞增當，即時，在上單調遞減當時，令得，令得或所以在和上單調遞減，上單調遞增綜上所述：時，在上單調遞減，上單調遞增時，在和上單調遞減，在上單調遞增，時，在上單調遞減，時，在和上單調遞減，上單調遞增（2）因為，所以有解，即在上有解，令，則，令，則，顯然在上單調遞增，又，使，當時，即，單調遞減，當時，即，單調遞增故，且，由，得，即，令，所以在上單調遞增，又，故，即，所以，即，【點睛】關鍵點點睛：第（1）問利用導數判斷函數單調性，關鍵在于對參數的分類討論；第（2）問使用等價轉化的思想并結合導數判斷原函數單調性，本題關鍵在于利用隱零點.25（2021江蘇省天一中學高三二模）已

40、知，函數.（1）討論函數的單調性；（2）已知函數存在極值點、，求證：.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）求得，分析導數的符號變化，由此可得出函數的單調遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）由題意得出，將所證不等式轉化為證明，即，令，構造函數，證明出對任意的恒成立即可.【詳解】（1）當時，函數的定義域為，且.對于方程，.當時，即時，令，由可得；由可得或.所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增；當時，即時，所以函數在上單調遞增.（2）由（1）可得，且、是的兩根.由韋達定理可得，.設，則在處取到極大值，在處取到極小值，所以.因為，所以命題等價于證明，整理得，即.令，構造函數，則

41、，令，易知在上單調遞增.因為，所以存在，使，當時，單調遞減；當時，單調遞增，所以，所以成立，所以.【點睛】方法點睛：利用導數證明不等式問題，方法如下：（1）直接構造函數法：證明不等式（或）轉化為證明（或），進而構造輔助函數；（2）適當放縮構造法：一是根據已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；（3）構造“形似”函數，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據相似結構構造輔助函數.26（2021湖南高三月考（理）已知函數，（1）求在上的最小值；（2）證明：【答案】（1）；（2）證明見解析【分析】（1）先對函數求導，求出函數的單調區(qū)間，從而可求出函數的最小值；（2）要證，只要證，構造函數，對函數求導

42、得，此時導數等于零，方程無法求解，所以再構造函數，利用導數求此函數的單調區(qū)間和最值，可得時，從而有，所以得到是上的增函數，進而可得【詳解】（1），令，得，故在區(qū)間上，的唯一零點是，當時，單調遞減，當時，單調遞增，故在區(qū)間上，的最小值為（2）要證：當時，即證：當時，令，時，時，在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以時，而時，綜上，時，即，即是上的增函數，【點睛】關鍵點點睛：此題考查導數的應用，利用導數求函數的最值，利用導數證明不等式，解題的關鍵是把轉化為，構造函數，對函數求導得，此時導數等于零，方程無法求解，所以再構造函數，利用導數求此函數的單調區(qū)間和最值，進而可判斷，所以得到是上的增函數，進而

43、可得，考查數學轉化思想和計算能力，屬于較難題27（2021河南高三月考（理）已知函數（1）證明：時；（2）證明：時，【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【分析】（1）利用導數分析函數在區(qū)間上的單調性，可得出，即可證得結論成立；（2）由（1）得出，可得利用放縮法得出當時，可證得，代入不等式計算即可證得結論成立.【詳解】（1）因為，則，設，則，故在上為減函數，可得，即，故在上為減函數，故；（2）由（1）知：時，可得：，當時，故，所以，因此，【點睛】方法點睛：利用導數證明不等式問題，方法如下：（1）直接構造函數法：證明不等式（或）轉化為證明（或），進而構造輔助函數；（2）適當放縮構造法：一是根

44、據已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；（3）構造“形似”函數，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據相似結構構造輔助函數.28（2021全國高三專題練習）已知函數f(x)=2ex+aln(x+1)-2.（1）當a=-2時，討論f(x)的單調性；（2）當x0，時，f(x)sinx恒成立，求a的取值范圍.【答案】（1）函數在(-1，0)單調遞減，在單調遞增；（2）.【分析】（1）將代入，求出導函數，利用導數與函數單調性之間的關系即可求解.（2）令，等價于恒成立，求出，討論或，判斷函數的單調性，其中時，可得，討論或，證明函數的單調性即可證明.【詳解】（1）當時.在單調遞增，且當時，；當時.所以

45、函數在(-1，0)單調遞減，在單調遞增.（2）令當時，恒成立等價于恒成立.由于，所以（i）當時，函數在單調遞增，所以，在區(qū)間恒成立，符合題意.（ii）當時，在單調遞增，.當即時，函數在單調遞增，所以在恒成立，符合題意.當即時，若，即時在恒小于則在單調遞減，不符合題意.若即時，存在使得所以當時，則在單調遞減，不符合題意.綜上所述，的取值范圍是【點睛】關鍵點點睛：本題考查了利用導數研究函數的單調性，利用導數研究不等式恒成立，解題的關鍵是構造函數，不等式等價轉化為恒成立，考查了分析能力、計算能力以及分類討論的思想.29（2021全國高三專題練習（文）已知函數.（1）求函數在內的單調遞增區(qū)間；（2）當

46、時，求證：.【答案】（1），；（2）證明見解析.【分析】（1）求出導函數，由確定增區(qū)間；（2）利用（1）的結論，設，在上，利用導數證明恒成立，在時，由（1）得，不等式恒成立，從而得證【詳解】（1）解析：由題意知，所以當時，解得，即在的單調遞增區(qū)間是，（2）令，只需證即可令，則，當時，遞減，即在單調遞減，即， 所以，從而在上單調遞減，即恒成立；當時，由（1）知，的極大值點滿足，這些極大值點使得的分子值不變，但分母隨的增大而增大（當然），當時，恒成立綜上，得證.【點睛】關鍵點點睛：本題考查用導數研究函數的單調性，證明不等式解題方法通常是引入新函數，利用導數求得函數的最大值，而最大值小于0即證，本題

47、證明時，注意到函數的極大值點有無數個，因此在求最大值時，根據（1）的結論只在（1）中第一個單調區(qū)間上討論的最大值，而在上直接利用的性質確定與皆大小關系這種解法具有特殊性，注意區(qū)別30（2021全國高三專題練習（理）已知函數（1）若曲線在點處的切線經過坐標原點，求實數；（2）當時，判斷函數在上的零點個數，并說明理由【答案】（1）；（2）答案不唯一，具體見解析【分析】（1）求出函數的導數，根據導數幾何意義求斜率，由切線方程求a；（2）原問題轉化為的零點問題，求導，利用導數可得單調性，結合零點存在性即可求解.【詳解】（1），所以在點處的切線方程為，所以，即；（2）因為，所以，所以可轉化為，設，則當時

48、，所以在區(qū)間上單調遞增當時，設，此時，所以在時單調遞增，又，所以存在使得且時單調遞減，時單調遞增綜上，對于連續(xù)函數，在時，單調遞減，在時，單調遞增又因為，所以當，即時，函數有唯一零點在區(qū)間上，當，即時，函數在區(qū)間上無零點，綜上可知，當時，函數在上有個零點；當時，函數在上沒有零點【點睛】關鍵點點睛：由題意可轉化為在區(qū)間上的零點個數問題，求導，利用導數可得函數單調性，在時，單調遞減，在時，單調遞增，分類討論的正負即可31（2021四川高三月考（理）已知函數（1）當時，比較與的大?。唬?）若有兩個不同的極值點，證明：【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）令，再利用導數法判斷與0的關系.（2

49、）根據有兩個不同的極值點，轉化為，為方程的兩個不同實根有，則，進而將問題轉化為，即證明，再由（1）得到，即，然后作出函數，及的圖象，利用數形結合法求解.【詳解】（1）當時，令，則令，則，可知為上的增函數，則，則為上的增函數，所以，即，所以為上的增函數，所以，所以不等式在上成立，所以（2），因為有兩個不同的極值點，所以，為方程兩不等根，即，為方程的兩個不同實根，令，令，得；令，得，則在上遞增，在上遞減，所以當時，取得最小值為，所以，不妨設，且，則，則，故只需證明，即證明由（1）知，所以，令，則可得在上遞減，上遞增，函數，及的圖象如圖所示，令為方程兩不等根，即的兩個實根，則由圖可知，即，所以，所以

50、，故原不等式得證【點睛】方法點睛：利用導數證明不等式常構造函數(x)，將不等式轉化為(x)0(或0)的形式，然后研究(x)的單調性、最值，判定(x)與0的關系，從而證明不等式.32（2021山東高三專題練習）已知函數.（1）若，求實數a的取值范圍；（2）若函數有兩個零點，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）利用導數研究的單調性，求得的最小值，由此列不等式，解不等式求得的取值范圍.（2）利用構造函數法證得，結合的單調性證得.【詳解】（1）函數的定義域為.設，所以，所以函數在上單調遞增.又，列表如下：x1-0+極小值所以當時，函數取得最小值為.因為，即，所以.所以a的取值范圍是

51、.（2）不妨設.由（1）可得，函數在上單調遞減，在上單調遞增.所以，.因為，所以.設函數，則，函數在上單調遞增.所以，所以，即.又函數在上單調遞減.所以，所以.【點睛】如果求一次導數無法確定函數單調性，可考慮再一次求導來確定函數的單調性.33（2021全國高三專題練習）已知函數，對于任意的，都有.（1）求的取值范圍（2）若，證明：()（3）在（2）的條件下，證明：【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【分析】（1）根據函數的表達式，再結合，得，解不等式，又，得到，又取任意正整數，所以；（2）先用導數進行研究，可到函數在區(qū)間上是增函數，再利用數學歸納的方法，可以證明()；（3）由，

52、解得，變形得，又，所以，則在上遞增，再通過放縮得，再依此為依據，進行累加即可得到原式是成立的.【詳解】（1）由題得，恒成立，故：（2）當時，函數在(1，)上是單調遞增函數.下面用數學歸納法證明：當時，由得成立.假設當時，結論成立.即：那么當時這表明當時不等式也成立，綜合可知：當，時成立（3）且令，則在上遞增由（2）知：又左邊【點睛】關鍵點點睛：數列是特殊的函數，與數列單調性有關的問題轉化為函數的單調性問題是常用的方法.本題考查了運算求解能力和邏輯推理能力，屬于難題.34（2021山東菏澤市高三一模）已知函數.（1）若有唯一零點，求的取值范圍;（2）若恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）或；（2

53、）.【分析】（1）轉化為有唯一實根，構造函數，利用導數研究函數的性質，得到函數的圖象，根據圖象可得結果；（2）轉化為恒成立，構造函數 ，利用導數求出其最大值，利用最大值可得解.【詳解】（1）由有唯一零點，可得方程，即有唯一實根，令，則由，得由 ，得在上單調遞增，在 上單調遞減.，又所以當時， ;又當時，由得圖象可知， 或.（2）恒成立，且 ，恒成立，令，則 ，令，則 ，在單調遞減，又，由零點存在性定理知，存在唯一零點，使 即，兩邊取對數可得即 由函數為單調增函數，可得，所以當時， ，當時， ，所以在上單調遞增，在 上單調遞減，所以即的取值范圍為.【點睛】結論點睛：本題考查不等式的恒成立與有解問

54、題，可按如下規(guī)則轉化：若在上恒成立，則 ；若在上恒成立，則 ；若在上有解，則 ；若在上有解，則 .35（2021甘肅高三一模（理）已知函數（1）求函數的單調區(qū)間；（2）設函數，若在上有兩個零點，求實數的取值范圍【答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）求導后，對a分類討論即可求解；（2）根據函數在上有兩個零點可轉化為在上有兩個不相等的實數根，令，利用導數研究函數大致變化趨勢求出a的范圍.【詳解】（1）函數的定義域為，所以當時，由，得則的減區(qū)間為；由，得則的增區(qū)間為當時，由，得則的減區(qū)間為；由，得，或則的增區(qū)間為和當時，則的增區(qū)間為當時，由，得則的減區(qū)間為；由，得，或則的增區(qū)間為和（2）在

55、上有兩個零點，即關于方程在上有兩個不相等的實數根令，則令，則，顯然在上恒成立，故在上單調遞增因為，所以當時，有，即，所以單調遞減；當時，有，即，所以單調遞增因為，所以的取值范圍是【點睛】關鍵點點睛：問題轉化為方程關于方程在上有兩個不相等的實數根后，需要對的極值，單調性進行分析，繼續(xù)利用導數研究是解題的關鍵.36（2021全國高三月考（文）已知函數，.（1）求的單調區(qū)間；（2）若，存在非零實數，滿足，證明：.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）利用導數的基本運算可得，討論、或，利用導數與函數單調性之間的關系即可得出結果.（2）根據題意可得，分別為的零點，由（1）知在上單調遞

56、增，在上單調遞減，不妨設，利用零點存在性定理可得，即證【詳解】解：（1）由題意得，令，當時，即當時，；當時，故的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為；當時，令，則，故的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，；當時，令，則，滿足，故在上單調遞增；當時，令，則，故的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，.綜上，當時，的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為；當時，的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，；當時，的單調遞增區(qū)間為；當時，的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，.（2）證明：當時，依題意得，分別為的零點，由（1）知在上單調遞增，在上單調遞減.設，由，由零點存在性定理得，由零點存在性定理得，利用不等式的性質得，則，同理當時也

57、成立.綜上，.【點睛】關鍵點點睛：本題考查了利用導數研究函數的單調性，利用導數證明不等式、零點存在性定理，解題的關鍵是討論的取值，利用零點存在性定理得出，考查了分類討論的思想.37（2021廣東廣州市高三一模）已知函數.（1）證明：曲線在點處的切線恒過定點；（2）若有兩個零點，且，證明：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【分析】（1）求出函數在處的導數，求出，即可求出切線方程，得出定點；（2）由題可得，可得，令，則，構造函數，二次求導得出單調遞增，即可求出，再利用基本不等式即可證明.【詳解】（1），則，即切線斜率為，又，則切線的方程為，即，可得當時，故切線恒過定點；（2）是的零點，且

58、，則，即，即，令，則，則，令，則。令，則，則單調遞增，即，則單調遞增，即，即，則（由于，故不取等號），得證.【點睛】關鍵點睛：本題考查利用導數解決雙變量問題，解題的關鍵是將其轉化為，利用導數求出單調性，得出.38（2021廣東湛江市高三一模）已知函數f(x)=ex，g(x)=2ax+1.（1）若f(x)g(x)恒成立，求a的取值集合；（2）若a0，且方程f(x)-g(x)=0有兩個不同的根x1，x2，證明：ln 2a.【答案】（1）；（2）見解析【分析】（1）構造函數，求導，分類討論得函數最值即可求解；（2）由題意得，等價證明，令，構造函數求導證明即可【詳解】（1）令， 當 恒成立，在R上單調

59、遞增，當 不合題意，故舍去當 則，故當 ，單調遞減；當 ；單調遞增，故 令，故在 遞增，在遞減，故即即，故即 故a的取值集合為 （2）方程f(x)-g(x)=0有兩個不同的根x1，x2不妨令x1x2, ,若證ln 2a.即證 令，即證，令因為，故，故單調遞增，得證【點睛】本題關鍵是利用，等價證明，構造函數證明39（2021全國高三專題練習）已知實數，設函數，對任意均有 求的取值范圍注：e=271828為自然對數的底數【答案】【分析】把轉化為，令，設，分 和兩種情況討論，結合函數的單調性與最值，即可求解.【詳解】由，即，解得，當時，等價于，令，則，設，則，（i）當 時，則記，則，可得與的關系，如

60、下表所示：10+單調遞減極小值單調遞增所以因此，（ii）當時，令 ，則，故在上單調遞增，所以由（i）得，所以，因此由（i）（ii）知對任意，即對任意，均有，綜上所述，所求a的取值范圍是【點睛】導數是研究函數的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數是高中數學中重要的知識點，對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行：（1）考查導數的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系（2）利用導數求函數的單調區(qū)間，判斷單調性；已知單調性，求參數（3）利用導數求函數的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題（4）考查數形結合思想的應用40（2021河南新鄉(xiāng)市高三一模（理）已知函數.（1）求函數的最大值；（2）若關于的