線性代數(shù)解題指導：第五章 特征值問題

1、5.3 基本內(nèi)容5.3.1 特征值與特征向量的定義設A是一個n階的方陣，若對數(shù)，存在非零n維向量x，使Ax=x成立，則稱是A的特征值，x是A的屬于的特征向量。注1 特征值問題是對于方陣而言的。注2 特征向量必須是非零向量。5.3.2 特征值與特征向量的求法若A=為具體矩陣(即具體給出)求解步驟為：第一步：求出方程的所有根，即為A的全部特征值。第二步：對每個不同的，解其次方程組(Ax=0，求出一個基礎解系： 即為A的屬于的線形無關特征向量，而(其中任意常數(shù)不全為零)則為A的屬于的全部特征向量。注1 稱為A的特征多項式，其為的n次多項式。稱為A的特征方程，其在復數(shù)域內(nèi)必有n個根（包括重根），所以n

2、階方陣總共有n個特征值，特征值的重數(shù)稱為的代數(shù)重數(shù)，記做。注2 方程組的解空間稱為A的屬于的特征子空間，而把dim成為的幾何重數(shù)，記作。(2) 若A為抽象矩陣（即沒有給出A的具體元素），只有A滿足的某些條件，則可由定義來分析求解。5.3.3 特征值與特征向量的性質屬于同一特征值的特征向量的任意非零組合仍是屬于特征向量。(2) 若是A的分別屬于特征值的特征向量，則不是A的征向量。(3) 屬于不同特征值的特征向量必線形無關。(4) 設n階方陣A的n特征值為，則 (5.1) (5.2)注 由(5.2)式可知，A可逆A沒有零特征值。(5) 特征值的幾何重數(shù)與代數(shù)重數(shù)滿足 (5.3)(6) 設為方陣A的

3、特征值，x是對應的特征向量，k常數(shù)，m為正整數(shù)，則及分別為矩陣kA，及的特征值，而x為對應的特征向量。注 若分別是A，B的特征值，則未必是A+B的特征值，也未必是AB的特征值。A與有相同的特征值，但特征向量未必相同。 (8) 正交陣A的特征值只能是。5.3.4 相似矩陣的概念定義：設A、B都是n階方陣，若存在n可逆P，使，則稱A相似與B?；拘再|：自反性：A與A相似；對稱性：A相似與B，則B也相似與A；傳遞性：A相似與B，B 相似與C，則A相似與C。注 若A與對角陣相似，則稱A可對角化。5.3.5 相似矩陣的性質若，即A相似與B，則(1) 。(2) 與，kA與kB，與也相似(其中k為常數(shù)，m為

4、正整數(shù))。(3) 當A可逆時，與，與也相似。(4) ，從而A與B有相同的特征值。 (5) 。(6) 。5.3.6 n階矩陣A可對角化的條件A可對角化的充要條件是A有n個線形無關的特征向量若A有n個互不相等的特征值，則A可對角化。注 這是充分而非必要條件。A可對角化的條件是對A的任一特征值，有 5.3.7 將A對角化的方法(1) 求出A的所有的特征值，其中互不相等的特征值為(r). (2) 若A可對角化，則k重特征值必對應k個線形無關的特征向量，求出每一個齊次方程組(k=1,2,r)的基礎解系，合并后必可得到A的n個線形無關的特征向量。 (3) 令P=，則P可逆，且有 或 (5.4)注 P的每一

5、列的排列序應與中對應的的排序相同。5.4 典型例題分析 1）特征值于特征向量的計算 例1 求A=的全部特征值和對應的特征向量。 解 所以A的全部特征值為。 當 所以就可寫成令的基礎解系，就是矩陣A對應于的特征向量，全部特征向量為。 當時所以，可寫成 取，得， 取，得。 均為A的二重特征值的特征向量，全部特征向量為，其中不全為零。 例2 設0是矩陣A=的特征值，求 (1) a；(2) A的另一特征值。 解 解法一 (1) 由于為所有特征值之積，故由已知可得=0。又，所以a=1， (2) 所以另一特征值為2。 解法二 (1) A的特征多項式 (*)因為是A的特征值，所以將代入(*)有 2a-2=0

6、，即a=1。 (2) 將a=1代入(*)，得特征方程為從而為A的另一特征值。例3 設A滿足，試求的特征值。解 因為A為抽象矩陣，所以由定義求解，設為A的特征值，對應的特征向量則，從而由 可得。又的特征值為所以的特征值為5或4。例4 設A為n階實矩陣，試求的一個特征值。解 由于，故可先算的特征值，而這又只需算出A的特征值及。因為所以，既，又，所以。而 ，故即，是A的一個特征值。于是可得的一個特征值，即為1。所以即的一個特征值為1。例5 設向量，滿足，且，記n階方陣A=，求：(1) ；(2) 矩陣A的特征值與特征向量。解 (1) 由A=及，有 (2) 設是A的任一特征值，對應的特征向量為x，即，于

7、是 因為，所以，由得，即A的特征值全為零。又 故方程組Ax=0的基礎解系為 于是A的屬于特征值的全部特征向量為 其中是不全為零的常數(shù)。 例6 已知A是n階方陣，是它的n個特征值，是其對應的n個線形無關的特征向量，求的全部特征值和一組線形無關的特征向量。 解 由已知可得，將其變形可得到 從而 即 這就說明。一組線形無關的特征向量為。 例7 設，不解特征方程，求A的特征值和特征向量。 解 解法一 顯然，所以A必有零特征值，求出對應與零特征值的特征向量，解方程組得基礎解系為：， 。由知至少是A的二重特征值，故有。 設是A的另一特征值，由特征值性質知即 所以。由，可解得對應的特征向量為。 解法二 同解

8、法一求出對應的特征向量。 因為A為實對稱矩陣，設A的另一特征值為，必有（由于實對稱矩陣的任一特征值均滿足，故必為二重特征值），因為故起對應的特征向量必與正交。設，則由，即 解得 為基礎解系。考察得特征向量所對應的特征值為。 注 解法二只適用與實對稱矩陣，對于一般矩陣可用解法一。 2) 由特征值或特征向量的概念確定矩陣中某些元素例8 已知向量是矩陣的逆矩陣的特征向量，試求常數(shù)k的值。解 若，則，故x也是A的特征向量。由，可求得A的特征值為。由，解得k=1。所以k=-2或k=1。例9 設矩陣，其行列式，又A的伴隨矩陣有一個特征值，屬于的一個特征值向量為，求a，b，c和的值。解 據(jù)題意可得 ，即 也

9、即 解之得。又由和a=c，有 故a=c=2，所以a=2，b=-3，c=2，=1 例10 設矩陣有3個線形無關的向量，求a與b應滿足的條件。 解 可求得，所以A的特征值為。由于不同的特征值對應的向量線形無關，所以若A有3個線形無關的特征向量，則對應應有兩個線形無關的特征向量，從而，由 知，當a+b=0時，此時A有3個線形無關的特征向量。 3) 有關特征向量與特征向量的證明 例11 設n階方陣A的特征值為，對應的向量分別為，若，則矩陣多項式的特征值為，對應的特征向量為。 證 由可得（i=1，2，n；k=1，2，m），所以 故是的特征值，是對應的特征向量。 例12 設n維實向量，證明是A的特征值。

10、證 若，則A，顯然A有零特征值，此時，故是A的特征值。 若，則，由定義可知是A的特征值，對應的特征向量為。 例13 設A為n階矩陣，和是A的兩個不同的特征值，是A分別屬于和的特征向量，證明不是A的特征向量。 證 （反證）若是A的特征向量，則存在數(shù)，使 又由已知可得 所以有 即 因為，所以與線形無關，故得 且于是，這與矛盾，故不是A的特征向量。例14 試證：n階方陣的最大特征值是，其中。證 A的特征多項式為 于是A的特征值為 由于，故，即為最大特征值。 例15 設n階方陣A不可逆，若，則的特征值為零；若，則有一個n-1重特征值零及一個單特征值是的代數(shù)余子式）。 證 若，則，故，從而的特征值為零。

11、若，則，故中所有高于1階的子式全為零，故由特征多項式的性質知 所以此時有一個n-1重特征值零及一個單特征值。 例16 設A為n階方陣，且。證明-3是A的特征值。 證 因為，所以故。由，得所以，即-3是A的特征值。 例17 設A，B均為n階方陣，證明AB與BA具有相同的特征值。 證 證法一 設為AB的任一特征值，對應的特征向量為x，即 兩邊左乘B，得若，則是BA的特征值，而Bx是對應的特征向量。若，則，由知，即AB有零特征值。故，從而，這表明BA也有零特征值。所以AB與BA有相同的特征值。 證法二 兩邊取行列式得又兩邊取行列式得所以 即AB與BA有相同的特征值。 證法三 若，則，故AB與BA相似

12、，所以AB與BA有相同的特征值。 若，由于只有有限個根，因此存在無數(shù)t，使，由上可知與有相同的特征值，即 令，則可視作關于t的n次多項式，由于有無數(shù)個t使成立，因而它必須為零多項式，從而在t=0時仍成立，即有 亦即AB與BA有相同的特征值。 例18 設A和 B均為n階非零矩陣，且滿足, 證明： （1）必是A,B的特征值。 （2）若分別是A,B對應的特征值的特征向量，則線性無關。 證 （1）因為 .所以有非零解，從而,即是A的特征值。 同理也是B的特征值。 （2）因,故,即可見是B對應的特征向量。 由于是B分別對應于和的特征向量，故它們線性無關。 4）利用特征值證明矩陣的可逆性 （1）A可逆 A

13、無零特征值。 （2）討論形如的矩陣的可逆性時，有時利用矩陣的特征值來討論。 可逆k不是A的特征值。 不可逆是A的特征值。例19 設A為n階方陣，且，m為正整數(shù)，證明A可逆。 證 設為A的任意特征值，為對應的特征向量，則 從而 因為，且，所以有，得。故A得 任一特征值都為1，因此 即可知A可逆。 例20 已知n階方陣A和B，B得特征多項試為，求證可逆得充要條件是B得任一特征值都不是A得特征值。 證 設B得特征值為，則 于是 因此可逆 不是A得特征值，結論得證。 例21 設n階可逆矩陣A得每行上n歌 元素之和均為c。 試證 （1）; (2) 不可逆； （3）重每行上n歌元素之和為。 證 證法一 （

14、1）設，由已知，即 所以，有 由于，故c是A的一個特征值，由A的可逆性知。 （2）由(1)知c是A的特征值，故有，即不可逆。 （3）由及A的可逆性可得 這就說明的每行上的n歌元素之和為。 證法二 （利用行列式） （1）將的各行列元素加到第j列上提出公因子c，有 因為，所以。 （）由，將的各列加到第一列，得 （3）由（1）知，對，均可得到 而 故中第j行得n各元素之和為 5）矩陣相似與矩陣對角化條件 例22 已知矩陣 相似，求a和b得值。 解 解法一 相似矩陣由相同得特征多項式 因為 。由，令，得，再令得解得a0，b2。 解法二 相似矩陣有相同的特征值由于B得特征值為，它們也是A的特征值，應滿足

15、，將代入得，所以a0。再由，即，b2。 例23（1）若A與B相似，故有則與相似。 （2）若A與，且，求行列式得值。 解（1）因A與B相似，故可有逆陣P使，從而有 證得與相似。 (2) 由A與相似，可得與相似，從而它們得行列式相等。 所以 例24 判斷下列兩個矩陣A，B是否相似。，解 對A，因為，故特征值為，又A為實對稱陣，故必可與對角陣相似，即存在可逆矩陣，使 對B可求得，故B與A有相同特征值，由于，所以的基礎解系含個線性無關的向量，也即對B的特征值，有。故B也可相似于對角陣，即存在可逆陣，使所以即故A與B相似。例25 證明以下結論：（1）設A為二階實矩陣，則A與對角陣相似。（2）設，,則A與

16、對角陣相似。證 （1）令設A的兩個特征值為，則由可知異號，故A可對角化。 （2）因為，所以，故有兩個不同實根，所以A可對角化。例26 設A為n階方陣，且（m為整數(shù)，m1），證明：A不與對角陣相似，即A不可對角化。證：（用反證法）若A與對角陣相似，則存在可逆陣P，使其中是A的特征值。于是即由題設因此與矛盾，命題得證。例27 設且，證明A可對角化。 證 ， 設為A的任一特征值，則由，有。所以A的特征值為或。因為，所以為A的一重特征值，為A的重特征值。對，由于而又由已知，所以，即的基礎解系含個向量，即A的屬于的線性無關的特征向量有個，故A可對角化。6）實對稱矩陣的正交對角化與用正交變換化二次型為標準

17、型問題（1）對實對稱矩陣A，求正交矩陣Q，使（為對角陣）。（2）對二次型，求正交矩陣Q，使（為對角陣），則當時，有為標準型。方法：關鍵是求正交矩陣Q，步驟為：（1）求出A的所有特征值；（2）對重特征值，將的基礎解系正交化；（3）將n個正交的特征向量標準化得；則即為所求，例28 設的一個特征值為3，求y的值。求一個滿秩矩陣P，使得為對角陣。 解 （1）因為3為A的一個特征值，所以有，即 故y2。 （2）因為所以 因此要使為對角陣，只要求出正交陣P，使得為對角陣，即有為對角陣，而這即為實對稱陣A的正交對角化問題。 由, 得A得特征值為。對，解,即 得基礎解系為 由于已正交，故只需單位化，得 對，解，即 可得基礎解系為 單位化得 對解 即 得基礎解系為 ，單位化得 ，令 則，這時有 例29 設數(shù)列滿足：且，求的通項及。解 設，則問題轉化為求。由，得A的特征值為。對，解，即,得對，解，即,得令，則有。所以，從而，所以，故。例30 設3階實對稱矩陣A的三個特征值為，對應于的特征向量為。求A；(