高考總復(fù)習(xí)理科數(shù)學(xué)配北師版(老高考舊教材)-課后習(xí)題及答案-第6章　數(shù)列課時(shí)規(guī)范練31　等比數(shù)列

1、課時(shí)規(guī)范練31等比數(shù)列基礎(chǔ)鞏固組1.(2021陜西西安二模)在等比數(shù)列an中,a3a7=9,則a5=()A.3B.3C.3D.3答案:A解析:由等比數(shù)列的性質(zhì),可得a52=a3a7=9,則a5=3.2.(2021四川成都三診)已知數(shù)列an為等比數(shù)列,則“a6a50”是“數(shù)列an為遞增數(shù)列”的()A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分又不必要條件答案:B解析:設(shè)數(shù)列an的公比為q.充分性:當(dāng)a6a50時(shí),q=a6a51,且a1=a5q40,則數(shù)列an為遞增數(shù)列;必要性:當(dāng)數(shù)列an為遞增數(shù)列時(shí),若a10,0qa6a5.故為充分不必要條件.3.(2021山西臨汾二模)已知等比數(shù)

2、列an的前n項(xiàng)和為Sn,若S3=21,a4-a1=21,則a3=()A.9B.10C.11D.12答案:D解析:設(shè)等比數(shù)列an的公比為q, 顯然q1,則a1(1-q3)1-q=21,a1q3-a1=21,解得q=2,a1=3,則a3=322=12.4.(2021湖北鄂東南示范高中聯(lián)考)在等比數(shù)列an中,a1+a2=10,a3+a4=20,則a7+a8=()A.80B.100C.120D.140答案:A解析:設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,則q2=a3+a4a1+a2=2,a7+a8=(a1+a2)q6=1023=80.5.(2021安徽江南十校一模)將數(shù)列3n+1與9n-1的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)

3、列an,則a10=()A.319B.320C.321D.322答案:B解析:由題意知,數(shù)列an是首項(xiàng)為9,公比為9的等比數(shù)列,所以an=9n,則a10=910=320.6.(2021吉林長春四模)在等比數(shù)列an中,a1+a2=94,a4+a5=18,則其前5項(xiàng)的積為()A.64B.81C.192D.243答案:D解析:設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,由題意a4+a5a1+a2=q3=8,解得q=2,所以a1+a2=a1+2a1=94,所以a1=34,所以a1a2a3a4a5=a15q10=345210=243.7.(2021河南新鄉(xiāng)、商丘高三聯(lián)考)設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和,且8a2-a5=0,

4、Sm=5S2,則m的值是.答案:4解析:設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,由8a2-a5=0,得8a1q=a1q4,解得q=2.又因?yàn)镾m=5S2,所以a1(1-2m)1-2=5a1(1-22)1-2,解得m=4.8.(2021北京西城一模)在等比數(shù)列an中,a1+a3=10,a2+a4=-5,則公比q=;滿足an1的n的最大值為.答案:-123解析:因?yàn)閍1+a3=10,a2+a4=-5,所以q=a2+a4a1+a3=-510=-12.所以a1+a3=a1+q2a1=10,即a1=8,所以an=a1qn-1=8-12n-1,所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),an0.要使an1,則4-n0且n為奇數(shù),即n0.因?yàn)閍6

5、=2,a4+a5=12,所以a4+a5=a6q2+a6q=2q2+2q=12,即6q2-q-1=(2q-1)(3q+1)=0,所以q=12或q=-13(舍),所以an=a6qn-6=212n-6=12n-7.(2)(方法1)bn=a1a3a5a2n-1=12-612-412-2122n-8=12-6-4-2+2n-8=12n2-7n.因?yàn)楹瘮?shù)y=12x是減函數(shù),且當(dāng)n=3或n=4時(shí),n2-7n取得最小值-12,所以數(shù)列bn的最大項(xiàng)為b3=b4=12-12=4 096.(方法2)因?yàn)閍n=12n-7,所以a2n-1=122n-8.又因?yàn)閍n是遞減數(shù)列,a1=261,所以令a2n-1=122n-8

6、=1,得n=4,所以b4=1.所以數(shù)列bn的最大項(xiàng)為b3=b4=4 096.10.(2021河北邯鄲二模)已知數(shù)列an滿足an0,an+1=3an+4.(1)證明:數(shù)列an+2為等比數(shù)列;(2)若a3=25,求數(shù)列an-n的前n項(xiàng)和Sn.(1)證明:由an+1=3an+4,得an+1+2=3(an+2),因?yàn)閍n0,所以an+20,所以數(shù)列an+2為等比數(shù)列.(2)解:若a3=25,則an+2=(a3+2)3n-3,即an+2=(25+2)3n-3,所以an=3n-2,an-n=3n-n-2,數(shù)列an-n的前n項(xiàng)和Sn=(3+32+3n)-(1+n)n2-2n=3(1-3n)1-3(1+n)n

7、2-2n=3n+12n225n232.綜合提升組11.(2021廣東梅州二模)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足an+Sn=1,則S1a1+S2a2+S8a8=.答案:502解析:因?yàn)閍n+Sn=1,所以當(dāng)n2時(shí),an-1+Sn-1=1,兩式相減,可得an-an-1+(Sn-Sn-1)=2an-an-1=0,即an=12an-1(n2);當(dāng)n=1時(shí),可得a1+S1=2a1=1,解得a1=12.所以數(shù)列an表示首項(xiàng)為12,公比為12的等比數(shù)列,所以an=12n,Sn=121-(12)n1-12=1-12n,所以Snan=1-(12)n(12)n=2n-1,所以S1a1+S2a2+S3a3+S8

8、a8=(2+22+28)-(1+1+1)=2(1-28)1-2-8=29-10=502.12.(2021山東淄博高三)在等比數(shù)列an中,a1=2,公比q1,a2,a3是函數(shù)f(x)=13x3-6x2+32x的兩個(gè)極值點(diǎn),則數(shù)列an的前9項(xiàng)和是.答案:1 022解析:由f(x)=13x3-6x2+32x得f(x)=x2-12x+32,又因?yàn)閍2,a3是函數(shù)f(x)=13x3-6x2+32x的兩個(gè)極值點(diǎn),所以a2,a3是函數(shù)f(x)=x2-12x+32=(x-4)(x-8)的兩個(gè)零點(diǎn),即4或8,又因?yàn)閍1=2,an是等比數(shù)列,所以a2=4,a3=8,故q=2.則前9項(xiàng)和為2(1-29)1-2=21

9、0-2=1 022.13.(2021河南湘豫名校聯(lián)盟3月聯(lián)考)已知等比數(shù)列an滿足a1-a3=-827,a2-a4=-89,則使得a1a2an取得最小值的n為.答案:3或4解析:設(shè)公比為q,則q=a2-a4a1-a3=3,a1-a3=a1-a1q2=-8a1=-827,a1=127,a2=19,a3=13,a4=1,n=3或n=4時(shí),a1a2an取得最小值.14.(2021湖南長沙模擬預(yù)測)在等比數(shù)列an中,a2=2,a5=14,則滿足a1a2+a2a3+anan+1212成立的n的最大值為.答案:3解析:已知an為等比數(shù)列,設(shè)其公比為q,由a5=a2q3得,2q3=14,q3=18,解得q=

10、12,又a2=2,a1=4.an+1an+2anan+1=q2=14,數(shù)列anan+1也是等比數(shù)列,其首項(xiàng)為a1a2=8,公比為14.a1a2+a2a3+anan+1=323(1-4-n)212,從而有14n164.n3.故nmax=3.15.(2021山東青島西海岸新區(qū)高三期末)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=2n+1-2,則an的通項(xiàng)公式an=;若數(shù)列bn的通項(xiàng)公式bn=n,將數(shù)列bn中與an相同的項(xiàng)去掉,剩下的項(xiàng)依次構(gòu)成數(shù)列cn,cn的前n項(xiàng)和為Tn,則T100=.答案:2n5 545解析:由題意,數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=2n+1-2,當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n+1-2-(2n-2

11、)=2n,當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=22-2=2,適合上式,所以an的通項(xiàng)公式an=2n.在數(shù)列bn的前100項(xiàng)中與數(shù)列an相同的項(xiàng)為2,22,23,24,25,26,所以T100=(b1+b2+b100)-(2+22+23+24+25+26)+(b101+b102+b106)=(b1+b2+b100+b101+b102+b106)-(2+22+23+24+25+26)=106(1+106)22(1-26)1-2=5 671-126=5 545.創(chuàng)新應(yīng)用組16.(2021河北石家莊模擬)數(shù)學(xué)中有各式各樣富含詩意的曲線,螺旋線就是其中比較特別的一類.螺旋線這個(gè)名詞來源于希臘文,它的原意是“旋卷”或

12、“纏卷”.小明對(duì)螺旋線有著濃厚的興趣,連接嵌套的各個(gè)正方形的頂點(diǎn)就得到了近似于螺旋線的美麗圖案,其具體作法是:在邊長為1的正方形ABCD中,作它的內(nèi)接正方形EFGH,且使得BEF=15;再作正方形EFGH的內(nèi)接正方形MNPQ,且使得FMN=15;類似地,依次進(jìn)行下去,就形成了陰影部分的圖案,如圖所示.設(shè)第n個(gè)正方形的邊長為an(其中第1個(gè)正方形ABCD的邊長為a1=AB,第2個(gè)正方形EFGH的邊長為a2=EF),第n個(gè)直角三角形(陰影部分)的面積為Sn(其中第1個(gè)直角三角形AEH的面積為S1,第2個(gè)直角三角形EMQ的面積為S2).有以下結(jié)論:數(shù)列an是公比為23的等比數(shù)列;S1=112;數(shù)列S

13、n是公比為49的等比數(shù)列;數(shù)列Sn的前n項(xiàng)和Tn14.其中正確結(jié)論的序號(hào)有.答案:解析:如圖,由圖知an=an+1(sin 15+cos 15)=an+12sin(15+45)=62an+1,對(duì)于:an=62an+1,a1=AB=1,所以數(shù)列an是公比為26=63的等比數(shù)列,故不正確;對(duì)于:因?yàn)閍n=163n-1=63n-1,所以Sn=an2-an+124=1423n-1-23n=11223n-1,所以數(shù)列Sn是首項(xiàng)為112,公比為23的等比數(shù)列,故正確,不正確;對(duì)于:Tn=1121-(23)n1-23=141-23n14,故正確.17.(2021浙江溫州一模)有一種病毒在人群中傳播,使人群成為三種類型:沒感染病毒但可能會(huì)感染病毒的S型;感染病毒尚未康復(fù)的I型;感染病毒后康復(fù)的R型(所有康復(fù)者都對(duì)病毒免疫).根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):每隔一周,S型人群中有95%仍為S型,5%成為I型;I型人群中有65%仍為I型,35%成為R型;R型人群都仍為R型.若人口數(shù)為A的人群在病毒爆發(fā)前全部是S型,記病毒爆發(fā)n周后的S型人數(shù)為Sn,I型人數(shù)為In,則Sn=;In=.(用A和n表示,其中nN+)答案:0.95nA0.95n-0.65n6A解析:由題意,可得Sn+1=0.95Sn,In+1=0.05Sn+0.6