與三角形四心相關(guān)的向量結(jié)論

1、與三角形“四心”相關(guān)的向量結(jié)論濮陽市華龍區(qū)高中張杰隨著新課程對平面幾何推理與證明的引入，三角形的相關(guān)問題在高考中的比重有所增加。平面向量作為平面幾何的解題工具之一，與三角形的結(jié)合就顯得尤為自然，因此對三角形的相關(guān)性質(zhì)的向量形式進行探討，就顯得很有必要。本文通過對一道高考模擬題的思考和探究，得到了與三角形“四心”相關(guān)的向量結(jié)論。希望在得出結(jié)論的同時，能引起一些啟示。問題：設(shè)點O在ABC內(nèi)部，且有OA+3OB,OC=0,則BOC與AOC的面積的比值是_.“&F卜，卜，+，爭分析：TOA,3OB,OC=0設(shè)3OB=OD,則OA,OD,OC=0,則點0為ADC的重心，：S=S=S=SDOCCOAAOD

2、3ACD而S=SBOC3COD=1S,3AOCS:SBOCCOA探究：實際上，可以將上述結(jié)論加以推廣，即可得此題的本源。結(jié)論：設(shè)0點在ABC內(nèi)部，若mOA,nOB+rOC=n,rR+),則S:S:S=m:n:rBOCCOAAOB證明：已知O點在ABC內(nèi)部，且mOA+nOB+rOC=Cm,n,rR+設(shè)：mOA=OD,nOB=OE,rOC=OF,則點O為DEF的重心，又S=S，S=S，S=丄S，BOCnrEOFAOCmrDOFAOBmnDOES:S:S=m:n:rBOCCOAAOB說明：此結(jié)論說明當點O在ABC內(nèi)部時，點O把ABC所分成的三個小三角形的面積之比等于從此點出發(fā)分別指向與三個小三角形相

3、對應(yīng)的頂點的三個向量所組成的線性關(guān)系式前面的系數(shù)之比。應(yīng)用舉例：設(shè)點O在ABC內(nèi)部，且4OA+OB+OC=0，則ABC的面積與OBC的面積之比是:A.2：1B.3：1C.4：3D.3：2分析：由上述結(jié)論易得：S:S:S=4:1:1，所以S:S=6:4=3:2，故選DBOCCOAAOB貴ABCOBC貴當把這些點特定為三角形的“四心”時，我們就能得到有關(guān)三角形“四心”的一組統(tǒng)一的向量形式。引申：設(shè)O點在ABC內(nèi)部，且角A,B,C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c結(jié)論1：若O為ABC重心，則OA+OB+OC=0分析：重心在三角形的內(nèi)部，且重心把ABC的面積三等分.結(jié)論2:O為ABC內(nèi)心，則aOA+bOB+c

4、OC=0分析：內(nèi)心在三角形的內(nèi)部，且易證boc：S“A：S“B=a:b:c結(jié)論3：O為ABC的外心，則sin2AOA+sin2BOB+sin2COC=0分析：易證Sboc：S“oa：SOB=sin2A：sin2B：sin2C.由結(jié)論3及結(jié)論：O為AABC的外心，H為AABC的垂心，則OH二OAOBOC可得結(jié)論4。結(jié)論4：若H為AABC垂心，則(sin2B+sin2C-sin2A)HA+(sin2A+sin2C-sin2B)HB+(sin2A+sin2B-sin2C)HC二0ir即sinAcosBcosCHA+sinBcosAcosCHB+sinCcosAcosBHC=0證明：對任意AABC有O

5、H=OAOBOC,其中O為外心，H為垂心,(OBOA則由平面向量基本定理得：存在唯一的一組不全為0的實數(shù)x,y,z，使得xHA+yHB+zHC=0，即(y+zA+(z+xB+(x+y)OC=0，由結(jié)論3得：sin2AOA+sin2BOB+sin2COC=0y+z=sin2A所以有：，z+x=sin2B,x+y=sin2Cx=sin2Bsin2C一sin2A，y=sin2Csin2A一sin2Bz=sin2Asin2B一sin2C所以可得：(sin2B+sin2Csin2AHA+(sin2A+sin2Csin2B)HB(sin2A+sin2Bsin2CHC=0化簡后可得：sinAcosBcosC

6、HA+sinBcosAcosCHB+sinCcosAcosBHC=0應(yīng)用舉例：例1:已知O為AABC的內(nèi)心，且2OA+3OB+4OC=0，則角A的余弦值為分析：由結(jié)論2可得a:b:c=2:3:4所以由余弦定理可得：16+9一47cosA=2x3x48例2：已知AABC的三邊長為AB=1,BC=6,CA=2，設(shè)AABC的外心為0，若AO=sAB+tBC，求實數(shù)s,卯勺值。分析：AO=sAO+OB+tBO+OCstt整理后即得：OA=OB+OC.s1s1stsin2B由結(jié)論3可得：，s一1sin2A，又易得sin2A=丄丄,sin2B=,sin2C=t=sin2C8416、s一1sin2A.s73

7、5t=5點評：此題的通用解法應(yīng)該是構(gòu)造與基底相關(guān)的如下方程組：AO-AB=sAB2+tBC-ABAOBC=sABBC+tBC2解方程組可得結(jié)果。例3：設(shè)H是AABC的垂心，當AB=AC=5,BC=6時，AH=mAB+nBC，求實數(shù)m+n的值.分析：由結(jié)論4可得：sinAcosBcosCHA+sinBcosAcosCHB+sinCcosAcosBHC=0.而BC，整理后得：GcosA)HA+cosAHB+cosAHC=0由AHmAB+nBC，可得(m1)HA+(mn)HB+nHC=0,mnncosAm1m11cosA而cosA25+25362552521m+n-32TOC o 1-5 h z147解得m一,n-,3232點評：此題的通用解法應(yīng)該是仿例2的點評，構(gòu)造與基底相關(guān)的方程組。通過這樣的思考、探究，不