矩陣論矩陣分解

1、關(guān)于矩陣論矩陣的分解第一張，PPT共十五頁，創(chuàng)作于2022年6月矩陣分解的概述矩陣的分解：A=A1+A2+Ak 矩陣的和A=A1A2 Am 矩陣的乘積矩陣分解的原則與意義：實(shí)際應(yīng)用的需要理論上的需要計(jì)算上的需要顯示原矩陣的某些特性矩陣化簡(jiǎn)的方法與矩陣技術(shù)主要技巧：各種標(biāo)準(zhǔn)形的理論和計(jì)算方法矩陣的分塊第二張，PPT共十五頁，創(chuàng)作于2022年6月3.1 常見的矩陣標(biāo)準(zhǔn)形與分解常見的標(biāo)準(zhǔn)形等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形相似標(biāo)準(zhǔn)形合同標(biāo)準(zhǔn)形本節(jié)分解：三角分解滿秩分解可對(duì)角化矩陣的譜分解AT=A相似標(biāo)準(zhǔn)形等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形第三張，PPT共十五頁，創(chuàng)作于2022年6月一、矩陣的三角分解（triangular decompositio

2、n)方陣的LU和LDV分解（P.61） LU分解：AFnn， 有下三角形矩陣L ，上三角形矩陣U ，使得A=LU。LDV分解：AFnn， L、V分別是主對(duì)角線元素為1的下三角形和上三角形矩陣，D為對(duì)角矩陣，使得A=LDV。已知的方法：Gauss-消元法例題1 （P.61eg1）設(shè) 求A的LU和LDV分解。結(jié)論：如果矩陣A能用兩行互換以外的 初等行變換化為階梯形，則A有LU分解。第四張，PPT共十五頁，創(chuàng)作于2022年6月三角分解的存在性和惟一性定理3.1 （P.62） ：矩陣的k 階主子式：取矩陣的前k行、前k列得到的行列式，k=1，2， ，n。定理: AFnn有惟一LDV分解的充要條件是A的

3、順序主子式Ak非零，k =1，2，n-1。 討論 （1） LDV分解的存在LU分解存在 （2）矩陣可逆與順序主子式非零的關(guān)系定理3.2（P.64）設(shè)矩陣AFnn ，rank（A）=k（ n），如果A的k階順序主子式大于0，則 A有LU分解。討論： LDV分解與LU分解的關(guān)系例題2 （P.65 eg2） LU分解的應(yīng)用舉例：求解線性方程組AX=b第五張，PPT共十五頁，創(chuàng)作于2022年6月二、矩陣的滿秩分解定義3.2 （P.66 ） 對(duì)秩為r 的矩陣AFmn ，如果存在秩為r的矩陣 B Fmr，CFrn ，則A=BC為A 的滿秩分解。例題2 （ P.69，eg5）列滿秩行滿秩定理3.2：任何非零

4、矩陣AFmn都有滿秩分解。滿秩分解的求法：方法1：方法2例題1（ P.68， eg4 ）方法3例題3（ P.70，eg6） 方法建立 的思想 方法實(shí)現(xiàn)的途徑第六張，PPT共十五頁，創(chuàng)作于2022年6月三、可對(duì)角化矩陣的譜分解將方陣分解成用譜加權(quán)的矩陣和譜：設(shè)AFnn ， 則A的譜=1，2，s。，P具性質(zhì)：1. 可對(duì)角矩陣的譜分解分解分析：分解結(jié)果：冪等矩陣意義：可對(duì)角化矩陣可以分解成以譜加權(quán)的冪等矩陣的加權(quán)和第七張，PPT共十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2、 矩陣可以對(duì)角化的一個(gè)充要條件 定理3.5（P.73 ）矩陣A可以相似對(duì)角化當(dāng)且僅當(dāng)矩陣A有譜分解 ，滿足條件：充分性的證明：在A有譜分解時(shí)

5、 Cn=V 1V 2 V n第八張，PPT共十五頁，創(chuàng)作于2022年6月3. 冪等矩陣的性質(zhì) 定理3 .4（P.72）PFnn ，P2=P，則矩陣PH和矩陣（IP）仍然是冪等矩陣。P 的譜0，1，P 可相似于對(duì)角形。 Fn = N（P） R（P） N（P）=V =0 ，R（P）=V=1 P和（I P）的關(guān)系 N（I P）=R（P），R（ I P ）=N（P）Hermite 矩陣的譜分解定理3 .6（P.73）設(shè)A是秩為k的半正定的Hermite 矩陣，則A可以分解為下列半正定矩陣的和。 A=v1v1H+v2v2H+vkvkH第九張，PPT共十五頁，創(chuàng)作于2022年6月3.2 Schur 分解和

6、正規(guī)矩陣 已知：歐氏空間中的對(duì)稱矩陣A可以正交 相似于對(duì)角形。討論：一般方陣A ，在什么條件下可以 酉相似于對(duì)角矩陣？在內(nèi)積空間中討論問題，涉及：空間 Cn、 Cnn，酉矩陣U，UHU=I， U 1=UH酉相似： UHAU=J U1 AU=J 相似關(guān)系重點(diǎn)：理論結(jié)果列向量是空間Cn中的標(biāo)準(zhǔn)正交基第十張，PPT共十五頁，創(chuàng)作于2022年6月一、 Schur 分解1、 可逆矩陣的UR分解 定理3.7（P.74）ACnn為可逆矩陣，則存在酉矩陣U和主對(duì)角線上元素皆正的上三角矩陣R，使得A=UR。（ 稱A=UR為矩陣A的酉分解）證明：源于Schmidt正交化方法（P.18）例題1 求矩陣A的UR分解，

7、其中定理3.8（P.76） ：設(shè)矩陣ACmn是列滿秩的矩陣，則矩陣A可以分解為A=QR，其中Q Cmn的列向量是標(biāo)準(zhǔn)正交的向量組，R Cnn是主對(duì)角線上元素為正數(shù)的上三角形矩陣。QR分解第十一張，PPT共十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2 、Schur 分解定理3.7（P.74 ）對(duì)矩陣ACnn，存在酉矩陣U和上三角矩陣T，使得 UHAU=T=證明要點(diǎn)：A=PJ AP1 ，P=URA= PJ AP1 =U（RJR1 ）UH =UTUH。第十二張，PPT共十五頁，創(chuàng)作于2022年6月二、正規(guī)矩陣（Normal Matrices）1、 定義3.3（P.77 ）A是正規(guī)矩陣 AHA=AAH。常見的正規(guī)矩陣：對(duì)角矩陣對(duì)稱和反對(duì)稱矩陣：AT=A，AT=A。Hermite矩陣和反Hermite矩陣：AH=A，AH=A正交矩陣和酉矩陣：ATA=AAT=I，AHA=AAH=I。例題1 （P.78，eg 10）設(shè)A為正規(guī)矩陣，B酉相似于A，證明B也是正規(guī)矩陣。正規(guī)是酉相似的不變性質(zhì)例題2、AFmn，矩陣AHA 和矩陣AAH是正規(guī)矩陣。第十三張，PPT共十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2、正規(guī)矩陣的基本特性定理3.10 （P.78 ） ： ACnn正規(guī)A酉相似于對(duì)角形。推論：正規(guī)ACn