6泛函技術(shù)在電磁場研究中的其他應(yīng)用4小時(shí)

1、電磁場中的泛函技術(shù)1Outline靜電場中的無限大導(dǎo)體板電荷分布使旋轉(zhuǎn)體的表面積最小的曲線有限元區(qū)域分解法研究進(jìn)展2問題：在一個(gè)無窮大導(dǎo)體板的一 側(cè)有一個(gè)點(diǎn)電荷q，那么導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷如何分布？(導(dǎo)體板接地。）1.靜電場中的無限大導(dǎo)體板電荷分布3問題的解決： 導(dǎo)體板上感應(yīng)電荷的分布應(yīng)使整個(gè)空間靜電場的能量最小。假設(shè)板空間內(nèi)的一點(diǎn)M的電勢為U(M)。記板所在平面為S，點(diǎn)電荷位于點(diǎn)P,過P作平面的垂線，垂足為O.以O(shè)為原點(diǎn)，OP為z軸建立坐標(biāo)系。4則電場強(qiáng)度，整個(gè)空間能量為5可化為，W取最小值的條件為，即6另一方面，其中 78 設(shè)通過兩點(diǎn)(a,A),(b,B) 的曲線用y=y(x)表示，將此曲線

2、繞x軸旋轉(zhuǎn)得一旋轉(zhuǎn)曲面. 問如何選取曲線y=y(x)方能？2. 使旋轉(zhuǎn)面的面積為最小曲線9解：解決這個(gè)問題需要用到變分法. 一般說，變分法就是求下述形式的定積分（設(shè)y=y(x)）的極值問題，式(1)這種函數(shù)叫做泛函. 象函數(shù)的微分理論中的極值問題一樣，泛函理論中也有極值問題. 變分法研究的對象就是求泛函的極值.10在一定的條件下，可以證明：使(1)式取得極值時(shí)的函數(shù)y=y(x)必須滿足（證明從略）：方程(2)稱為變分法中的Euler方程.11由熟知的旋轉(zhuǎn)面的面積公式來求使I 最小的曲線y=y(x).待求函數(shù)為滿足12式中的F不顯含x時(shí)，即F=F(y,y),這時(shí)(2)式兩端同乘以-y，則得最終，

3、滿足Euler方程函數(shù)滿足分離變量法得到133. 電容問題電磁場問題中不少具有明確物理意義的工程參量可以表示為未知場函數(shù)的泛函，例如分立導(dǎo)體A與B之間的電容量 C是導(dǎo)體表面電荷函數(shù)(r)或?qū)w之間電位函數(shù)( )的泛函 144 151617針對電磁散射問題, 本文提出了一種基于廣義變分原理的區(qū)域分解方法. 通過引入拉格朗日乘子法以滿足相鄰子區(qū)域之間場的連續(xù)性要求, 將有約束的變分問題轉(zhuǎn)化為無約束的變分問題, 將原問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼饫窭嗜粘俗?研究了子區(qū)域系數(shù)矩陣的可逆性, 并采用重啟的廣義最小殘量法為求解器, 以加快計(jì)算速度. 該算法極大地提高了計(jì)算效率, 數(shù)值算例驗(yàn)證了其準(zhǔn)確性和有效性.18東南大學(xué)學(xué)報(bào)( 自然科學(xué)版)洪偉Vol132 No13 May 2002計(jì)算電磁學(xué)研究進(jìn)展自20 世紀(jì)60 年代后期以來, 由于電子計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷革新, 在不同國家、由不同學(xué)者、為了不同的應(yīng)用背景、從不同的構(gòu)思角度提出的求解電磁場問題的數(shù)值方法, 如雨后春筍般競相發(fā)展.這種狀況既激勵(lì)了學(xué)術(shù)研究的活力, 也在學(xué)術(shù)界形成錯(cuò)縱復(fù)雜而各執(zhí)己見的紛亂局面. 我們曾在教委博士點(diǎn)基金及多項(xiàng)自然科學(xué)基金的資助下開展電磁場方法論的研究. 借助泛函分析的數(shù)學(xué)工具對矩量法和邊界積分方程法這兩支重要的泛函解法加以改進(jìn)和推廣. 對此曾就積分方程性態(tài)、誤