《數(shù)學(xué)物理方法》課程二

1、主講教師:冉揚(yáng)強(qiáng)數(shù)學(xué)物理方法第二章 解析函數(shù)主要內(nèi)容(1)、復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念(2)、哥西黎曼條件及復(fù)變函數(shù)可微的充要條件(3)、解析函數(shù)的定義，已知解析函數(shù)的實(shí)部(或虛部)求該解析函數(shù)的方法(4)、共軛調(diào)和函數(shù)的概念，解析函數(shù)的幾何意義(5)、初等函數(shù)的定義和基本性質(zhì)重點(diǎn)：哥西黎曼條件；解析函數(shù)的定義； 已知解析函數(shù)的實(shí)部(或虛部)求該解析函數(shù)的方法；共軛調(diào)和函數(shù)的概念及其幾何意義；初等函數(shù)的定義和基本性質(zhì) 難點(diǎn)：初等多值函數(shù)及其支點(diǎn)，支割線的概念；已知解析函數(shù)的實(shí)部(或虛部)求該解析函數(shù)的方法 重點(diǎn)和難點(diǎn)2.1 解析函數(shù)一、導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù) 在區(qū)域D上有定義， 且 ，如果極限存在，則稱此極

2、限為函數(shù) 在z 點(diǎn)的導(dǎo) 數(shù)，記為： 或 ，這時(shí)稱函數(shù) 在z 點(diǎn)可微 (或可導(dǎo)）. 顯然，函數(shù) 必須在點(diǎn)z 連續(xù)，才有可能在 z 點(diǎn)可導(dǎo).討論： 1) 復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義，在形式上跟實(shí)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義一樣，因而實(shí)變函數(shù)論中的關(guān)于導(dǎo)數(shù)的規(guī)則和公式可用于復(fù)變函數(shù)。例如： 2)復(fù)變函數(shù)和實(shí)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的定義，雖然形式上相同，實(shí)質(zhì)上卻有很大的區(qū)別，這是因?yàn)閷?shí)變函數(shù) 只沿實(shí)軸逼近零，而復(fù)變函數(shù) 卻可以沿復(fù)平面上的任一曲線逼近零，因此復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的要求比實(shí)變函數(shù)可導(dǎo)的要求要嚴(yán)格得多. 二、哥西-黎曼條件 下面討論復(fù)變函數(shù)可微的充分必要條件1、必要條件：若 在 處可微，即若記 , 其中, 則前式可變?yōu)?由于

3、無論按何方式趨于零，上式總成立。先看 沿實(shí)軸趨于零的情況。此時(shí) 再讓 沿虛軸趨于零。此時(shí) 比較兩式得 哥西-黎曼條件(CR條件) 討論： 1) C-R條件為復(fù)變函數(shù)可微的必要條件，凡不滿足C-R條件的函數(shù)，它在該點(diǎn)一定不可微. 例如 ，所以： 由于 由于偏導(dǎo)數(shù)雖然存在，但不滿足C-R條件，因而 在復(fù)平面上處處不可微. 2) C-R條件不是復(fù)變函數(shù)可微的充分條件.例如：函數(shù) 在z = 0點(diǎn)滿足C-R條件，但不可微。由于 ， ，于是 顯然滿足C-R條件，但在z=0點(diǎn)并不可微，因?yàn)?當(dāng) 沿射線 趨于零時(shí)， 與k 有關(guān)，沿不同的射線，k 值不同，所以該極限不存在，從而函數(shù)在z = 0點(diǎn)不可微.2、充分

4、必要條件如果C-R條件加上一附加條件，就可得到可微的充分條件。 定理： 在 可微 ， 在點(diǎn)（x , y）處可微，并滿足C-R條件. 由上述定理可得：復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有本質(zhì)上的差別，復(fù)變函數(shù)可微，不但要求復(fù)變函數(shù)的實(shí)部與虛部可微，而且還要求其實(shí)部與虛部通過C-R條件聯(lián)系起來。 在極坐標(biāo)系中， ， 哥西-黎曼條件為 三、解析函數(shù)的定義定義：如果函數(shù) 在區(qū)域D上處處可微，則稱 是區(qū)域D上的解析函數(shù)，或稱 在D上解析討論：1)有時(shí)說：“函數(shù) 在某點(diǎn)解析”，是指 在該點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)處處可微. 2)“函數(shù) 在閉區(qū)域 上解析”，是指它在包含 的某個(gè)區(qū)域上解析. 3)如果 在 點(diǎn)不解析，則稱為 的奇點(diǎn)

5、. 4)解析函數(shù)的實(shí)部和虛部通過C-R方程相互聯(lián)系，并不獨(dú)立，只要知道解析函數(shù)的虛部(或?qū)嵅?，就可求出相應(yīng)的實(shí)部(或虛部). 下面舉例說明:例1：已知解析函數(shù)的實(shí)部 ， 求該解析函數(shù).解：先計(jì)算 的偏導(dǎo)數(shù)由哥西-黎曼條件得求v 的另一種求法：由 得即 故：2.2 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 1、調(diào)和函數(shù)的定義 定義：如果實(shí)變函數(shù) 在某區(qū)域D上有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且滿足方程 則稱 為區(qū)域D上的調(diào)和函數(shù)，方程稱為拉普拉斯方程. 2、解析函數(shù)的實(shí)部和虛部是調(diào)和函數(shù) 設(shè) 在區(qū)域D上解析，則C-R條件成立 ， . 下一章將證明，某個(gè)區(qū)域上的解析函數(shù)在該區(qū)域上必有任意階的導(dǎo)數(shù)，因此可對上式求偏導(dǎo)數(shù) , 兩式相加可得 同理可得 即 , 都滿足拉普拉斯方程，是調(diào)和函數(shù)。注意：反過來定理不一定成立，如果 是調(diào)和函數(shù)， 不一定解析，因?yàn)榻馕龊瘮?shù)必須滿足C-R條件. 由C-R條件聯(lián)系著的調(diào)和函數(shù) u 與 v 稱為 共軛調(diào)和函數(shù)，這樣上述定理可表述為： 定理：任何一個(gè)在區(qū)域D上的解析函數(shù)，其實(shí)部與虛部在該區(qū)域上互為共軛調(diào)和函數(shù)。 3、共軛調(diào)和函數(shù)的幾何意義設(shè) 是區(qū)域D上的解析函數(shù)，則 ， 兩式相乘得