線性代數(shù)方程組迭代解法

1、關(guān)于線性代數(shù)方程組的迭代解法第一張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2 Jacobi和Gauss-Seidel迭代法一、 Jacobi迭代法設(shè)方程組將系數(shù)矩陣分裂為：其中第二張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月如果原方程組可化為其中相應(yīng)的迭代格式上述方法稱為Jacobi迭代法，簡稱J法或簡單迭代法分量形式：第三張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月二、 Gauss-Seidel迭代法G-S迭代法是J迭代法的一種改進(jìn)在J迭代公式中，計算 時，利用已經(jīng)算出來的新的值，從而得到G-S迭代法。 G-S迭代法的分量形式：第四張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月例1：利用Jacobi

2、和Gauss-Seidel迭代法求解方程組解：Jacobi迭代格式第五張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月G-S迭代格式計算結(jié)果取初值Jacobi迭代法 要求 精度迭代次數(shù) 0.001 9(1.0002507 1.0000694 1.0002507) 0.0001 10(0.9999541 1.0001253 0.9999541)0.00001 14(0.9999981 1.0000020 0.9999981)方 程 組 的 近 似 解第六張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 G-S迭代法的迭代矩陣：計算結(jié)果Gauss-Seidel迭代法 要求 精度迭代次數(shù) 0.001 5(0.9

3、997916 0.9998479 1.0000664) 0.0001 7(0.9999929 0.9999949 1.0000022)0.00001 8(1.0000013 1.0000009 0.9999996)方 程 組 的 近 似 解取初值由迭代公式迭代矩陣第七張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月三、 Jacobi和Gauss-Seidel迭代法的收斂性Jacobi迭代法收斂的充要條件是Gauss-Seidel迭代法收斂的充要條件是推論1：Jacobi迭代法收斂的充分條件是Gauss-Seidel迭代法收斂的充分條件是 如例1：利用J和G-S迭代法求解方程組第八張，PPT共二十五頁

4、，創(chuàng)作于2022年6月Jacobi迭代矩陣系數(shù)矩陣第九張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月Gauss-Seidel迭代矩陣第十張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月設(shè) 滿足稱 為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣如果 且至少有一個嚴(yán)格不等式成立，則稱 為弱對角占優(yōu)矩陣。設(shè) ，如果能找到排列陣 ，使得其中 與 均為方陣，稱 為可約的否則稱 為不可約的第十一張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月例如：矩陣是可約的若系數(shù)矩陣是可約的，則可通過行與列重排化為（*）式，從而可以將方程組簡化為低階方程組。第十二張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月（補(bǔ)充:可約矩陣的等價定義）是可約矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個下

5、標(biāo)的非空子集 ，使得例如：矩陣矩陣不可約第十三張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月如果 嚴(yán)格對角占優(yōu)，則，且 非奇異。如果 不可約且弱對角占優(yōu)，則，且 非奇異。自己看證明： 首先證明設(shè)由條件： 是弱對角占優(yōu)，交換 的第k、n行與k、n列，則矩陣 變?yōu)榕c 不可約矛盾！第十四張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月其次證明 是非奇異的設(shè)則存在非零向量 滿足定義下標(biāo)的集合且令對某個j顯然J非空，否則第十五張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月對 ，有由此可知，當(dāng) 時，但對于都有所以否則與弱對角占優(yōu)矛盾！與不可約矛盾第十六張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月如果 為嚴(yán)格對角占優(yōu)或為不

6、可約且弱對角占優(yōu)矩陣，則求解方程組 的J法和G-S法均收斂。證明： 僅給出不可約且弱對角占優(yōu)矩陣G-S法的證明只要證明 ，其中設(shè) 有一個特征值 ，滿足 ，且有 是不可約且弱對角占優(yōu)矩陣，由定理6.8：第十七張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月因此注意到 和 的零元素和非零元素的位置完全一樣，故 是不可約也是弱對角占優(yōu)矩陣矛盾！如果 為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，易證其中 為J法的迭代矩陣第十八張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月如果 是對稱矩陣，且有正的對角元，則求解方程組 的J法收斂的充要條件是矩陣和 均為正定的，其中證明： 記其中迭代矩陣矩陣 和 相似，故有相同的特征值；且、 、 對稱第

7、十九張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月必要性設(shè)J法收斂，則記 的特征值為 ，則 的特征值為所以 是對稱正定的。對而矩陣 是對稱正定的同理可證第二十張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月矩陣 的正特征值均小于1充分性因為 正定，所以 也是正定矩陣，且其特征值 全部大于零。所以 的特征值均小于1矩陣 和 相似，故有相同的特征值，且特征值均小于1。第二十一張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月如果 是對稱正定矩陣，則求解方程組 的G-S法收斂。證明見定理6.13注：如果 是對稱正定矩陣，則求解方程組 的G-S法收斂，而J法不一定收斂。例2：判定用J法和G-S法求解下列方程組的收斂性：第二十二張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月解：是正定矩陣所以G-S法收斂；J法的迭代矩陣為計算特征值：J法不收斂。第二十三張