《實(shí)變函數(shù)》教學(xué)大綱

1、 實(shí)變函數(shù)教學(xué)大綱實(shí)變函數(shù)是數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院的重要基礎(chǔ)課，也是近代數(shù)學(xué)中最重要，最基本的一個(gè)分支，同時(shí)這門課程又是許多后續(xù)課程如泛函分析，概率論，微分幾何等的基礎(chǔ)設(shè)置本課程的目的是：通過(guò)本學(xué)科的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力及論證能力，并用所學(xué)的知識(shí)解決某些數(shù)學(xué)分析中遺留下的問(wèn)題，為日后更高階段的學(xué)習(xí)，特別是泛函分析及研究生階段的實(shí)分析學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)設(shè)置本課程的要求是：使學(xué)生掌握實(shí)變函數(shù)的基本概念，基本知識(shí)，諸如集合論，勒貝格測(cè)度論，可測(cè)函數(shù)，勒貝格可積函數(shù)，并了解為什么要引入勒貝格測(cè)度，勒貝格可積函數(shù)理論及整套理論的系統(tǒng)性先修課程要求：數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)本課程計(jì)劃：72學(xué)時(shí)，4學(xué)分，選用教材：黃

2、仿倫，實(shí)變函數(shù)，安徽大學(xué)出版社，2000年教學(xué)手段：課堂講授為主，習(xí)題課、課外輔導(dǎo)為輔考核方法：考試周次學(xué)時(shí)數(shù)教學(xué)主要內(nèi)容教學(xué)環(huán)節(jié)備注14集合及其運(yùn)算課堂授課24映射與勢(shì)課堂授課34一維開集、閉集及其性質(zhì)課堂授課44開集的構(gòu)造，距離課堂授課54有界開集、閉集的測(cè)度及性質(zhì)課堂授課64可測(cè)集及其性質(zhì)課堂授課74無(wú)界點(diǎn)集的測(cè)度課堂授課84Lebesgue可測(cè)函數(shù)及其性質(zhì)課堂授課94可測(cè)函數(shù)列的收斂性課堂授課104可測(cè)函數(shù)的構(gòu)造課堂授課114Lebesgue積分及其性質(zhì)課堂授課124積分序列的極限課堂授課134L積分與R積分的比較課堂授課144二重L積分與Fubini定理課堂授課154單調(diào)函數(shù)的可微性

3、課堂授課164有界變差函數(shù)與絕對(duì)連續(xù)函數(shù)課堂授課174空間及其性質(zhì)課堂授課184空間課堂授課教學(xué)進(jìn)程安排表第一章集合一、學(xué)習(xí)目的熟練掌握集合的代數(shù)運(yùn)算和極限運(yùn)算，能應(yīng)用Bernstein定理確定一些集合的勢(shì)，熟悉Rn的點(diǎn)集拓?fù)渲嘘P(guān)于開集、閉集、稠密與疏朗等基本概念二、課程內(nèi)容1集合及其運(yùn)算集合的表示法；集合的基本運(yùn)算；一些常用集合的符號(hào)；集合序列的上、下限集2集合的勢(shì)勢(shì)的定義，勢(shì)的性質(zhì)，勢(shì)的比較常見的兩類集合的勢(shì)連續(xù)勢(shì)及其基本性質(zhì),連續(xù)統(tǒng)假設(shè),Bernstein定理3一維空間中的點(diǎn)集一維空間中集合的內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、聚點(diǎn)、開集、閉集等概念Cantor集的構(gòu)造，直線上開集與閉集的結(jié)構(gòu)三、重點(diǎn)、難點(diǎn)提

4、示和教學(xué)手段重點(diǎn)：集合的運(yùn)算、一一映射的概念、集合的勢(shì)、勢(shì)的比較、開集閉集的性質(zhì)、開集的構(gòu)造、距離的概念難點(diǎn)：Bernstein定理、聚點(diǎn)導(dǎo)集概念、開集的構(gòu)造、集合的勢(shì)教學(xué)手段：課堂授課+習(xí)題課訓(xùn)練四、思考與練習(xí)注思考與練習(xí)的內(nèi)容與形式由任課教師自行決定第二章Lebesgue測(cè)度一、學(xué)習(xí)目的掌握外測(cè)度的概念，熟練掌握測(cè)度及其性質(zhì)，熟悉一些重要的可測(cè)集類，理解不可測(cè)集的典型例子二、課程內(nèi)容1有界開集、閉集的測(cè)度及性質(zhì)有界開集Lebesgue測(cè)度定義，有界閉集Lebesgue測(cè)度定義，Lebesgue測(cè)度的一些運(yùn)算性質(zhì)2Lebesgue可測(cè)集及其性質(zhì)外測(cè)度概念，內(nèi)測(cè)度概念可測(cè)集的性質(zhì)，可測(cè)集經(jīng)交、

5、并、差運(yùn)算后的可測(cè)性，可數(shù)個(gè)可測(cè)集的交集或并集的可測(cè)性、可數(shù)可加性以及可測(cè)集序列的極限之可測(cè)性3無(wú)界點(diǎn)集的測(cè)度無(wú)界點(diǎn)集的Lebesgue測(cè)度定義，Lebesgue測(cè)度的平移不變性，不可測(cè)集舉例三、重點(diǎn)、難點(diǎn)提示和教學(xué)手段重點(diǎn)：勒貝格可測(cè)集的運(yùn)算性質(zhì)，單調(diào)可測(cè)集列極限的測(cè)度，可測(cè)集同開集、閉集、型集以及型集之間的關(guān)系難點(diǎn)：可測(cè)集概念的引入與可測(cè)集的構(gòu)造教學(xué)手段：課堂授課+習(xí)題課訓(xùn)練四、思考與練習(xí)第三章Lebesgue可測(cè)函數(shù)一、學(xué)習(xí)目的熟練掌握可測(cè)函數(shù)的概念及其基本性質(zhì)，正確理解并掌握可測(cè)函數(shù)列幾種不同收斂的概念，了解魯金定理，知道可測(cè)函數(shù)同連續(xù)函數(shù)之間的關(guān)系二、課程內(nèi)容1可測(cè)函數(shù)的定義及其性質(zhì)

6、可測(cè)函數(shù)的定義及等價(jià)條件，連續(xù)函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)皆可測(cè)，可測(cè)函數(shù)關(guān)于代數(shù)運(yùn)算和極限運(yùn)算的封閉性，可測(cè)函數(shù)同簡(jiǎn)單函數(shù)列的關(guān)系2可測(cè)函數(shù)的收斂性葉果洛夫定理，依測(cè)度收斂，依測(cè)度收斂與幾乎處處收斂互不包含的例子，勒貝格定理，黎斯定理，依測(cè)度收斂極限的唯一性3可測(cè)函數(shù)的構(gòu)造魯金定理（兩種形式）三、重點(diǎn)、難點(diǎn)提示和教學(xué)手段重點(diǎn)：可測(cè)函數(shù)定義及等價(jià)條件，可測(cè)函數(shù)關(guān)于代數(shù)運(yùn)算和極限運(yùn)算的封閉性，依測(cè)度收斂與幾乎處處收斂的關(guān)系，魯金定理難點(diǎn)：葉果洛夫定理，黎斯定理，魯金定理教學(xué)手段：課堂授課+習(xí)題課訓(xùn)練四、思考與練習(xí)第四章Lebesgue積分一、學(xué)習(xí)目的正確掌握積分的定義及其基本性質(zhì)，牢固掌握并能熟練應(yīng)用積分的L

7、evi定理，F(xiàn)atou定理，Lebesgue控制收斂定理，掌握乘積測(cè)度和重積分的概念，熟練掌握Fubini定理二、課程內(nèi)容1積分的基本概念及性質(zhì)簡(jiǎn)單函數(shù)、非負(fù)函數(shù)、一般函數(shù)積分存在與可積的定義，勒貝格積分的單調(diào)性與絕對(duì)可積性2積分的極限定理勒貝格控制收斂定理，勒貝格逐項(xiàng)積分定理，列維漸升函數(shù)列積分定理，法都引理，可積函數(shù)積分區(qū)域可列可加性3L積分與R積分的比較區(qū)間上有界函數(shù)黎曼可積的充分必要條件，黎曼可積是勒貝格可積的聯(lián)系與關(guān)系4重積分和Fubini定理可測(cè)集的乘積的測(cè)度，可測(cè)集的測(cè)度用截口的積分表示，非負(fù)函數(shù)的積分系，富比尼定理三、重點(diǎn)、難點(diǎn)提示和教學(xué)手段重點(diǎn)：勒貝格積分的性質(zhì)，積分極限定理

8、難點(diǎn)：勒貝格積分的性質(zhì)及其應(yīng)用教學(xué)手段：課堂授課+習(xí)題課訓(xùn)練四、思考與練習(xí)第五章微分與不定積分一、學(xué)習(xí)目的掌握有界變差函數(shù)與絕對(duì)連續(xù)函數(shù)的概念，掌握有界變差函數(shù)的可導(dǎo)性及其正規(guī)分解和Lebesgue分解，掌握Newton-Leibniz公式成立的充要條件二、課程內(nèi)容1單調(diào)函數(shù)的可微性列導(dǎo)數(shù)的概念，Vitali意義覆蓋，單調(diào)函數(shù)的可導(dǎo)性2有界變差函數(shù)與絕對(duì)連續(xù)函數(shù)有界變差函數(shù)與絕對(duì)連續(xù)函數(shù)的概念以及它們之間關(guān)系，有界變差函數(shù)的可導(dǎo)性及其正規(guī)分解和Lebesgue分解，Newton-Leibniz公式成立的充要條件三、重點(diǎn)、難點(diǎn)提示和教學(xué)手段重點(diǎn)：?jiǎn)握{(diào)函數(shù)的可微性，有界變差函數(shù)與絕對(duì)連續(xù)函數(shù)的概念，有界變差函數(shù)的可導(dǎo)性及其分解，Newton-Leibniz公式，不定積分難點(diǎn)：Vitali引理，單調(diào)函數(shù)的可微性，有界變差函數(shù)的可導(dǎo)性及其分解教學(xué)手段：課堂授課+習(xí)題課訓(xùn)練四、思考與練習(xí)第六章空間一、學(xué)習(xí)目的了解空間的定義及其意義，熟悉中的收斂概念，掌握幾個(gè)常用的重要不等式，了解的完備性，的可分性二、課程內(nèi)容1中的概念L范數(shù),Holder不等式,Minkowski不等式2的收斂性依范數(shù)收斂的定義，依范數(shù)收斂與幾乎處處收斂的關(guān)系，空間的完備性，空間的可分性3空間內(nèi)積概念，Bessel不等式,Riesz-Fisher定理三、重點(diǎn)