《高等代數(shù)（下）》教學(xué)大綱

1、 高等代數(shù)（下）教學(xué)大綱前 言高等代數(shù)（下）是數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院各專業(yè)的一門(mén)專業(yè)基礎(chǔ)課程它是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，也是離散類數(shù)學(xué)的主要基礎(chǔ)課，因而又是計(jì)算機(jī)專業(yè)以及大部分工科類必修課作為專業(yè)基礎(chǔ)課，本課程是向?qū)W生介紹代數(shù)學(xué)最基本的概念、理論和方法及高等代數(shù)中經(jīng)典理論的思想和常見(jiàn)的解題方法與技巧設(shè)置本課程的目的是：作為專業(yè)基礎(chǔ)課，本課程是向?qū)W生介紹代數(shù)學(xué)最基本的概念、理論和方法系統(tǒng)地介紹行列式、線性方程組、矩陣、二次型、線性空間及線性變換、歐氏空間等知識(shí)，它不僅是代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，要求學(xué)生能熟練掌握其原理及方法學(xué)習(xí)本課程的要求是：學(xué)習(xí)者應(yīng)理解與掌握高等代數(shù)的主要思想與方法，尤其是高等

2、代數(shù)課程中的經(jīng)典理論與常用解題方法先修課程要求：高等代數(shù)（上）本課程計(jì)劃：90學(xué)時(shí)，5學(xué)分選用教材：王萼芳石生明修訂，高等代數(shù)（第三版），（北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組編）高等教育出版社，2003年教學(xué)手段：課堂講授為主，習(xí)題課與課堂練習(xí)為輔考核方法：考試教學(xué)進(jìn)程安排表周次教學(xué)內(nèi)容授課形式備注1二次型及其矩陣表示，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形理論課補(bǔ)充矩陣在合同意義下的標(biāo)準(zhǔn)形2二次型的秩及復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上的規(guī)范形理論課3正定二次型，小結(jié)及習(xí)題課理論課4集合與映射，線性空間的定義及簡(jiǎn)性質(zhì)，線性空間的維數(shù)，基與坐標(biāo)，基變換與坐標(biāo)變換理論課舉例，理解線性空間，掌握線性空間及子空間等抽象概念5線性子空間，

3、子空間的交與和，理論課6子空間的直和，線性空間的同構(gòu)，小結(jié)及習(xí)題課理論課7線性變換的定義，線性變換的運(yùn)算，線性變換的矩陣?yán)碚撜n多舉例子，增加對(duì)線性變換的理解，會(huì)計(jì)算特征值與特征向量8特征值與特征向量，對(duì)角矩陣?yán)碚撜n9線性變換的核與值域，不變子空間理論課10介紹若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，小結(jié)及習(xí)題課理論課11歐幾里得空間的定義與基本性質(zhì)，標(biāo)準(zhǔn)正交基理論課12歐氏空間的同構(gòu)，正交變換理論課13歐氏空間中子空間的正交關(guān)系，實(shí)對(duì)稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形理論課14向量到子空間的距離，小結(jié)及習(xí)題課理論課15矩陣，不變因子理論課會(huì)求不變因子和初等因子、若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形16矩陣相似的條件，初等因子理論課17若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的理論推導(dǎo)，矩陣的有理

4、標(biāo)準(zhǔn)形18總復(fù)習(xí)集中答疑第五章二次型一、學(xué)習(xí)目的通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，要求熟練掌握化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法，矩陣的正（負(fù)）定性、半正（負(fù)）定性的判別與相關(guān)應(yīng)用本章計(jì)劃15學(xué)時(shí)二、課程內(nèi)容51二次型及其矩陣表示二次型的定義、二次型的矩陣表示52二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法：配方法，合同變換法二次型在復(fù)數(shù)域與實(shí)數(shù)域上的規(guī)范形53二次型的（半）正、負(fù)定性二次型正定的充分必要條件及其應(yīng)用二次型半正定的充分必要條件及其應(yīng)用三、重點(diǎn)、難點(diǎn)提示和教學(xué)手段（一）重點(diǎn)、難點(diǎn)1化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的兩種方法2二次型（半）正定性的判定（二）教學(xué)手段課堂講授，習(xí)題課與課堂練習(xí)相結(jié)合四、思考與練習(xí)第六章線性空間一、

5、學(xué)習(xí)目的通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，要求理解線性空間理論的思想與方法熟練掌握幾種常見(jiàn)特殊線性空間的維數(shù)與基的求法，以及有關(guān)坐標(biāo)的求法與直和問(wèn)題的證明方法本章計(jì)劃15學(xué)時(shí)二、課程內(nèi)容61線性空間的定義與簡(jiǎn)單性質(zhì)集合與映射、線性空間的定義、性質(zhì)62維數(shù)、基與坐標(biāo)線性空間的基和維數(shù)、基變換與坐標(biāo)變換63線性子空間子空間的定義、子空間的交與和64子空間的直和、線性空間的同構(gòu)直和的充分必要條件及其應(yīng)用有關(guān)直和問(wèn)題的證明方法兩個(gè)線性空間同構(gòu)的定義、性質(zhì)及判別定理三、重點(diǎn)、難點(diǎn)提示和教學(xué)手段（一）重點(diǎn)、難點(diǎn)1子空間的基與維數(shù)的求法2有關(guān)直和問(wèn)題的證明（二）教學(xué)手段課堂講授，習(xí)題課與課堂練習(xí)相結(jié)合四、思考與練習(xí)第七章線性

6、變換一、學(xué)習(xí)目的通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，要求理解線性變換理論的思想與方法熟練掌握線性變換矩陣的求法，有關(guān)特征值與特征向量問(wèn)題的求法與計(jì)算，不變子空間的證明方法，有關(guān)矩陣相似問(wèn)題的證明方法本章計(jì)劃20學(xué)時(shí)二、課程內(nèi)容71線性變換的定義及其運(yùn)算線性變換定義及相關(guān)性質(zhì)線性變換的運(yùn)算72線性變換與矩陣線性變換矩陣的求法73特征值與特征向量特征值與特征向量的求法矩陣特征值與特征向量問(wèn)題的證明方法74對(duì)角矩陣線性變換在某一組基下的矩陣為對(duì)角陣的條件矩陣相似于對(duì)角陣的證明方法75線性變換的值域與核線性變換的值域與核的定義及求法76不變子空間不變子空間的定義、性質(zhì)及求法有關(guān)不變子空間問(wèn)題的證明77若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的介紹三、

7、重點(diǎn)、難點(diǎn)提示和教學(xué)手段（一）重點(diǎn)、難點(diǎn)1特征值與特征向量的求法2有關(guān)不變子空間問(wèn)題的證明3兩矩陣相似的證明矩陣相似于對(duì)角陣的證明方法（二）教學(xué)手段課堂講授，習(xí)題課與課堂練習(xí)相結(jié)合四、思考與練習(xí)*第八章矩陣一、學(xué)習(xí)目的通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，要求了解矩陣的概念，矩陣不變因子，行列式因子和初等因子的定義與求法，掌握矩陣相似的充要條件，以及矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的求法本章計(jì)劃15學(xué)時(shí)二、課程內(nèi)容81矩陣矩陣，矩陣的秩，矩陣可逆的充要條件及其逆矩陣82矩陣在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的初等變換，矩陣的等價(jià)關(guān)系，矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形83不變因子行列式因子的概念及其應(yīng)用，不變因子，不變因子與行列式因子之間的關(guān)系84矩陣相

8、似的條件矩陣相似的充要條件及其證明85初等因子初等因子的概念及其與不變因子之間的關(guān)系，初等因子的求法86Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的理論推導(dǎo)矩陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的理論推導(dǎo)及求法，Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的應(yīng)用三、重點(diǎn)、難點(diǎn)提示和教學(xué)手段（一）重點(diǎn)、難點(diǎn)1行列式因子，不變因子，初等因子的定義與求法2矩陣相似的充分必要條件3矩陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的求法（二）教學(xué)手段課堂講授，習(xí)題課與課堂練習(xí)相結(jié)合*注本章視每學(xué)期實(shí)際教學(xué)時(shí)間選講第九章歐氏空間一、學(xué)習(xí)目的通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，要求理解歐氏空間理論的思想與方法熟練掌握有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)正交基、正交變換與對(duì)稱變換問(wèn)題本章計(jì)劃20學(xué)時(shí)二、課程內(nèi)容91歐氏空間、內(nèi)積與標(biāo)準(zhǔn)正交基歐氏空間的定義與性質(zhì)，常見(jiàn)歐氏空間中的內(nèi)積與標(biāo)準(zhǔn)正交基一般歐氏空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基求法92同構(gòu) 、正交變換歐氏空間同構(gòu)的定義、性質(zhì)正交變換的定義、性質(zhì)及應(yīng)用93子空間，對(duì)稱變換歐氏空間的子空間，子空間的正交補(bǔ)對(duì)稱變換的定義、性質(zhì)及應(yīng)用相關(guān)問(wèn)題的證明三、重點(diǎn)、難點(diǎn)提示和教學(xué)手段（一）重點(diǎn)、難點(diǎn)1常見(jiàn)歐氏空間中的內(nèi)積與標(biāo)準(zhǔn)正交基2有關(guān)正交變換問(wèn)題的證明3有關(guān)對(duì)稱變換問(wèn)題的證明（二）教學(xué)手段課堂講授，習(xí)題課與課堂練習(xí)相結(jié)合四、思考與練習(xí)閱讀書(shū)目1姚