計量第三章答案

1、第三章一元經(jīng)典線性回歸模型的基本假設(shè)與檢驗問題3.1 TSS,RSS,ESS的自由度如何計算？直觀含義是什么？答：對于一元回歸模型，殘差平方和RSS的自由度是（n - 2），它表示獨立觀察值的個數(shù)。對于既定的自變量和估計量& 1和 2，n個殘差 JL匕u = Y我一但Xi i i 2 i必須滿足正規(guī)方程組。因此，n個殘差中只有（n- 2）個可以“自由取值”，其余兩個隨之確定。所以RSS的自由度是（n 2）。TSS的自由度是（n -1） : n個離差之和等于0，這意味著，n個數(shù)受到一個約束。由于TSS=ESS+RSS，回歸平方和ESS的自由度是1。3.2為什么做單邊檢驗時，犯第一類錯誤的概率的評

2、估會下調(diào)一半？答：選定顯著性水平a之后，對應(yīng)的臨界值記為，力，則雙邊檢驗的拒絕區(qū)域為111 t 。o/2a/2單邊檢驗時，對參數(shù)的符號有先驗估計，拒絕區(qū)域變?yōu)閠 t或t -t ，故對犯第I類錯 a/2a/2誤的概率的評估下下降一半。3.3常常把高斯-馬爾科夫定理簡述為：OLS估計量具有BULE性質(zhì)，其含義是什么？答：含義是： （1）它是線性的（linear）： OLS估計量是因變量的線性函數(shù)。（2）它是無偏的（unbiased）：估計量的均值或數(shù)學(xué)期望等于真實的參數(shù)。比如 一 挪2) = 2。（3）它是最優(yōu)的或有效的（Best or efficient）:如果存在其它線性無偏的估計量，其方差必

3、 定大于OLS估計量的方差。3.4做顯著性檢驗時，針對的是總體回歸函數(shù)（PRF）的系數(shù)還是樣本回歸函數(shù)（SRF）的 系數(shù)？為什么？答：做顯著性檢驗時，針對的是總體回歸函數(shù)（SRF）的系數(shù)。總體回歸函數(shù)是未知的，也 是研究者所關(guān)心的，所以只能利用樣本回歸函數(shù)來推測總體回歸函數(shù)，后者是利用樣本數(shù)據(jù) 計算所得，是已知的，無需檢驗。（習(xí)題）3.5以下陳述正確嗎？不論正確與否，請說明理由。（1）X值越接近樣本均值，斜率的OLS估計值就越精確。答：錯誤。因為Se（2）|E U 2n _ 2，當(dāng)X值越接近樣本均值時氣=XX將會變小，則E X2也將變小，這將會導(dǎo)致se（嗎）變大。標(biāo)準(zhǔn)差的變大致使 i=1OLS

4、估計值波動更大，OLS估計值也變得更不精確了。（2）如果誤差項u與自變量X相關(guān)，則估計量仍然是無偏的。答：錯誤。在證明估計量是無偏性的時候，我們假定自變量是給定的，否則E（叩=P2+E kE（u）=P2的第一個等式不成立。（3）僅當(dāng)誤差項服從正態(tài)分布時，估計量才具有BLUE性質(zhì)。答：錯誤，在證明高斯-馬爾科夫定理時，無需假設(shè)誤差項服從正態(tài)分布。（4）如果誤差項不服從正態(tài)分布，則不能進行檢驗和F檢驗。答：正確。在證明相關(guān)統(tǒng)計量服從學(xué)生分布和F分布時，需要假設(shè)誤差項服從正態(tài)分布。（5）如果誤差項的方差較大，則置信區(qū)間較寬。答：正確。因為當(dāng)誤差項變大時，置信區(qū)間的表達式：p _&e（p）-1 8 1

5、3.63） = 9.6845E -06這說明，在一次抽樣中，統(tǒng)計量絕對值大于等于13.63的概率非常非常小，幾乎不會發(fā)生。所以，我們拒絕原假設(shè)：H0： & 2 = 0，則說明價格影響供給。（4）由置信區(qū)間公式：& - 3（3 ） -1 V。V&+ Se（E ） -1 11 a/2111 a/2這里a = 5%，對于本題，自由度為n - 2 = 6，則ta/2 = 2-447 .已知&；= 6.99,據(jù)（）=1.786，故2.6197 & 1 td/2陀E+抑，可得：0.7186 p 1的前提下，檢驗H0 : 3 2 = 1的虛擬假設(shè)（零假設(shè)）。你 使用什么檢驗？為什么？（3）假設(shè)1968年的L

6、FPR為0.58 （或58%），基于上述回歸結(jié)果，1972年的LFPR的均值 的估計值是多少？構(gòu)造其真實均值的95%的置信區(qū)間。（4）如何檢驗總體回歸誤差項服從正態(tài)分布的虛擬假設(shè)？答：（1）由可決系數(shù)0.397可知，兩個年度的勞動參與率有一定程度的相關(guān)性，但相關(guān)程度 不是很高。直觀地說，勞動力參與率存在一定的慣性。（2）使用t檢驗。假設(shè)：H0: & 2 = L則&-T&T （&） 口，而對于當(dāng)刖樣本，se（&）, 22利用單邊檢驗，接受原假設(shè)。使用單邊檢驗是因為我們有先驗判斷：& 2 - 1人八 一 一 一一一(3)E(Y)的估計值 Y = 0.2033 + 0.6560X = 0.2033

7、+ 0.6560 x0.58 = 0.5738由總體方差未知，則Y - Se(Y)t E(Y) Y + Se(Y)t，a/2a/2H 加竺=。 054+4 00誓8 00 5 可 得：0.5633 Y 0.5844 n -11 9- 1由此得到Y(jié)的置信度為95%的置信區(qū)間為0.5633,0.5844（4）有三種方法可以檢驗總體回歸誤差項服從正態(tài)分布的虛擬假設(shè)：（1）殘差直方圖：用頻率描述隨機變量概率密度函數(shù)的圖示法。（2）正態(tài)分位圖：把一組數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化之后與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布比較（3）雅克-貝拉檢驗。如果殘差服從正態(tài)分布，雅克和貝拉證明了 JB統(tǒng)計量服從自由度為2的穴2分布。如果JB統(tǒng)計量對應(yīng)的P值很

8、小就拒絕殘差服從正態(tài)分布的零假設(shè)，否則就不能拒絕正態(tài)分布假設(shè)。3.10考慮雙變量模型模型1:Y = & +P X + ui 12 i i模型 II： Y =% +a2(X. X) + u其中X =（X X.）/n，n是樣本容量。I. . 交.（1）它們的OLS估計量是否相同（&與1七與以2）？（2）OLS估計量的方差是否相同？你認(rèn)為那個模型更好?答：（1）K與&一相同，耽與a不相同。& 2- Zn xy=1 i iXi=1 iX (x -x) ya =卞1 i =2 乙(X - x )2i，a = Y-a2(2) se( 31)=bse( |3 )=A4c則可知se(P )。se(a ),se

9、(P ) = se(a )22因為，ZX； = Z（x + Zx；+屏衛(wèi)號所以第二個模型比較好。3.11數(shù)據(jù)DATA3-1給出了美國在1960-2005年間商業(yè)和非農(nóng)商業(yè)部門的小時產(chǎn)出指數(shù)（X ） 和實際工資（Y）的數(shù)據(jù)，基年（1992）指數(shù)為100,且指數(shù)經(jīng)過了季節(jié)調(diào)整。（1）分別就兩個部門將Y對X描點。（2）這兩個變量之間關(guān)系的背后有什么經(jīng)濟理論？散點圖支持該理論嗎?（3）估計Y對X的回歸方程。答：（1）下圖是商業(yè)部門的小時產(chǎn)出指數(shù)與實際工資散點圖:180 -160 -140 -120 -100 -Y80 -60 -40 -20 -0 -406080100120140下圖是非農(nóng)商業(yè)部門的小

10、時產(chǎn)出指數(shù)與實際工資散點圖：180 -160 -140 -120 -100 -Y80 -60 -40 -20 -0 -406080100120140（2）效率工資理論認(rèn)為實際工資水平與經(jīng)濟增長是正相關(guān)的。該散點圖支持該理論。（3）對于商業(yè)部門可以從eviews6.0得出以下回歸結(jié)果：Y = 1.992435X -102.3662對于非商業(yè)部門得到如下分析結(jié)果:AY = 2.075734X -111.64073.12 蒙特卡羅試驗：給定 10 個 X 的值：80, 100, 120, 140, 160, 180, 200, 220, 240, 260。變量丫的生成機制是回歸方程：Y = 20 +

11、 0.6Xz +七，其中匕 N（0,9）。生成100個樣本，求出100個樣本回歸方程的系數(shù)估計值，對這些估計值描圖。你有什么發(fā)現(xiàn)？計算 每個回歸方程的殘差平方和除以（10-2=8）的商，考察100個商的平均值。你有何發(fā)現(xiàn)？ 答：用eviews6.0輸出結(jié)果我們可以看出系數(shù)的平均值等于0.6004.這些系數(shù)的估計值都在一條直線附近。由結(jié)果我們可以發(fā)現(xiàn)，這些估計值的均值無限接近0.6004，可以說明估計量具有無偏性。3.13*下列模型中，那些可以化為線性回歸模型來處理:（1）Y =心2X +u，（3）Y = p + e-P2（X-2） + uY = 1（5）1 =P1 + P2 e2 x+x 2

12、+ uY =1（2）1 = z_z1 + e P1+P2X+u（4）Y = P + P；X + u答：（1），（2），（5）可以轉(zhuǎn)化為線性回歸模型來處理。3.14考慮過原點的回歸方程:Y =p X + ui 2 i iCLRM的假設(shè)仍然成立。c*八（1）求系數(shù)估計量p 2及其方差var（p 2）。（2）求var（ui）的估計量及var（p2）的估計量。（3）TSS = ESS + RSS仍然成立嗎？如果不成立，如何合理定義擬合優(yōu)度？答：（1）u. = Y -Y. = Y -X.，殘差平方和RSS=Su2 =E（Y -X.）2，口 ： iiii 2 i，ii 2 i ，:兩邊對p 2求導(dǎo)數(shù)，并令其為零：S XY2S （Y“2Xi）（-Xi）=0，求得=i從而- ZxY Zx2