FIR數(shù)字濾波器的性質(zhì)和設(shè)計

1、FIR數(shù)字濾波器的性質(zhì)和設(shè)計線性相位FIR濾波器的性質(zhì)窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器頻率取樣法設(shè)計線性相位FIR濾波器線性相位FIR濾波器的優(yōu)化設(shè)計線性相位FIR濾波器的性質(zhì)線性相位系統(tǒng)的時域特性線性相位系統(tǒng)的頻域特性線性相位系統(tǒng)H(z)的零點分布特性FIR濾波器的定義M階(長度N=M+1) 的FIR數(shù)字濾波器FIR濾波器的特點1)hk在有限范圍內(nèi)非零，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。2)容易設(shè)計成線性相位3)可利用FFT實現(xiàn)4)運(yùn)算量比IIR大FIR濾波器設(shè)計指標(biāo)嚴(yán)格線性相位定義例： 單頻信號exp(jW0 k)通過線性相位(LTI)系統(tǒng)的響應(yīng)若f(W)= - aW, 則稱系統(tǒng)H(z)是嚴(yán)格線性相位的。廣義線性相

2、位定義A (W)稱為幅度頻函數(shù)線性相位系統(tǒng)的時域特性M=4 偶對稱M=3 偶對稱 M=4 奇對稱M=3 奇對稱 定理：為線性相位的充要條件為hk=hM-k線性相位系統(tǒng)的頻域特性1) 1型: (hk=hM-k, M為偶數(shù)) 例：M=4 , hk=h0, h1, h2, h1, h0A (W)關(guān)于0和p 點偶對稱例：h k=1,2, 1, M=2p2p40A(W)2) II型:( hk=hM-k), M為奇數(shù)M=3 hk=h0, h1, h1, h0W) 的周期=4pW) 的周期=(4/3)pA (W) 的周期=4pA (p )=0不能用于高通、帶阻濾波器的設(shè)計H (W)關(guān)于W =p 點奇對稱例：

3、hk=(d k+d k-1)/2012ppA (W)3)III型: hk= -hM-k, M為偶數(shù)M=4 hk=h0, h1, 0, -h1, -h0A (W)關(guān)于0和p 點奇數(shù)對稱A (0)= A (p)=0 不能用于高通和低通濾波器的設(shè)計例：hk=(d k-d k-2)/20A (W)12pp4) IV型: hk= -hM-k, M 為奇數(shù)M=3 hk=h0, h1, -h1, -h0A (0)=0 不能用于低通濾波器的設(shè)計例：hk=(d k-d k-1)/20A (W )12pp線性相位FIR濾波器頻率響應(yīng)一般形式可寫為表5-1 四種線性相位FIR濾波器的性質(zhì)類型IIIIIIIV階數(shù)M偶

4、奇偶奇hk的對稱性偶對稱偶對稱奇對稱奇對稱A(W)關(guān)于W=0的對稱性偶對稱偶對稱奇對稱奇對稱A(W)關(guān)于W=p的對稱性偶對稱奇對稱奇對稱偶對稱A(W)的周期2p4p2p4pb000.5p0.5pA(0)任意任意00A(p)任意00任意可適用的濾波器類型LP,HP,BP,BS等LP, BP微分器,Hilbert變換器微分器,Hilbert變換器，HP線性相位系統(tǒng)H(z)的零點分布特性z=0不可能有系統(tǒng)的零點zk是系統(tǒng)的零點，則zk-1也是系統(tǒng)的零點。 hk是實的,1)Re(z)Im(z)2)Re(z)Im(z)Re(z)Im(z)3)Re(z)Im(z)4)任意線性相位系統(tǒng)是上述四種子系統(tǒng)的組合

5、hk奇對稱時，H(z)在z=1處一定有奇數(shù)階零點。 四種不同類型的線性相位系統(tǒng)在zk=1的零點：(1)I 型FIR濾波器(M為偶)： 在zk=1和zk= -1無零點或者有偶數(shù)個零點。(2)II 型FIR濾波器(M為奇)： 在zk= -1有奇數(shù)個零點，在zk=1無零點或者有偶數(shù)個零點。(3)III 型FIR濾波器(M為偶)： 在zk=1和zk= -1有奇數(shù)個零點。(4)IV 型FIR濾波器(M為奇)： 在zk=1有奇數(shù)個零點，在zk=-1無零點或者有偶數(shù)個零點。最小積分平方誤差設(shè)計FIR濾波器吉伯斯(Gibbs)現(xiàn)象常用窗函數(shù)窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器問題：已知Hd(ejW)，設(shè)計 使其頻率響應(yīng)逼

6、近Hd(ejW)。hd k一般情況下是無窮序列，需對其進(jìn)行截斷。設(shè) M=2K, wk=RN+1kh k= hd k-KRN+1k方案1：設(shè)Hd (ejW)是實偶函數(shù)， 則hd k是實偶對稱的。h M-k= hd M-k-M/2 RN+1 k= hd -(k-N /2) RN+1 k = hk= hd k-MRN+1k最小積分平方誤差設(shè)計FIR濾波器例：設(shè)計一個線性相位的FIR濾波器。其頻率響應(yīng)能逼近截頻為Wc的理想低通。解：設(shè) 方案2：設(shè)Hd (ejW)為 Hd (ejW) =Ad(W)exp(j( -MW+b)I型和II: b=0 ; III型和IV:b=p/2。h k= hd kRN+1k

7、例：設(shè)計一個線性相位的FIR濾波器。其頻率響應(yīng)能逼近截頻為Wc的理想低通。解：設(shè) 例：理想數(shù)字微分器的頻率響應(yīng)為 HDIF(ejW)=jW ,|W|p試用窗口法設(shè)計一線性相位FIR濾波器，使其幅度響應(yīng)逼近理想數(shù)字微分器。解：設(shè)理想微分器的頻率響應(yīng)為HDIF(ejW)= W ep-MW) , |W|pA(W)p-p0Wp-pA(W)W0M=10M=9積分平方誤差定義為由Parseval等式，e 2可表示為可選擇 hk= hdk， 0k M使積分平方誤差最小。吉伯斯(Gibbs)現(xiàn)象000.510.2p0.4p0.6p0.8ppWA(W)M=14M=600.2p000.510.4p0.6p0.8p

8、pA(W)W矩形窗對H(e jW)的影響矩形窗的幅度函數(shù)為WNp2Np2-Np4Np4-Npp-主瓣旁瓣)(WW矩形窗的幅度函數(shù)將理想濾波器的頻率響應(yīng)表示為則可得FIR濾波器的頻率響應(yīng)為所以FIR濾波器的幅度函數(shù)為)(WAWcWcW-pp-qpp-cWcW-)(q-WW)(qdA)(WAWcWcW-pp-qcWcW-pp-)(qdA)(q-WWq)(qdA)(q-WWcW-cWpp-)(WAWcWcW-pp-由矩形窗截斷產(chǎn)生的波峰大約是9%，所以阻帶最小衰減為 20log10(9%)-21dB。用矩形窗設(shè)計的Wc=p/2 FIR濾波器的幅度響應(yīng)01-40-30-21-100M=14M=30Ga

9、in db常用窗函數(shù)矩形窗 Ap 0.82dB, As 21dBHann(漢納)窗(w=hanning(M+1)Ap 0.056dB, As 44dB由Hanning窗設(shè)計的Wc=p/2 FIR濾波器的頻響特性(M=38)01-80-60-44-200Square HanningGain dB01-80-60-52-200Square HammingHamming（哈明）窗( w=hamming(M+1) )Gain dbBlackman窗 ( w=blackman(M+1) )00.250.50.751-100-75-60-40-200Square BlackmanGain dbKaiser

10、窗( w=kaiser(M+1,beta) )b 是一可調(diào)參數(shù)。I0(b ): the modified zeroth-order Bessel function.I0(b )可用冪級數(shù)表示為一般求20項就能達(dá)到所需精度。 用Kaiser窗設(shè)計FIR濾波器的步驟：1. 估計濾波器的階數(shù)M A= -20log10(mindp，ds )2. 估計b 1. 估計濾波器的階數(shù)M2. 估計b b = 0.1102(As-b)3. 設(shè)定理想低通的截頻4. hk=hdk*wk例: 用Kaiser窗設(shè)計一滿足下列指標(biāo)的I型線性相位FIR低通濾波器。 Wpp, Wsp，Ap=0.3dB, As=50dBGain

11、 response of lowpass FIR filter00.10.20.30.40.5-80-50-300Normalized frequencyGain, dBM=30Ap=0.0105 dBAs=50.7524 dB例：用Hamming窗設(shè)計一個逼近截頻為Wc的線性相位FIR 高通濾波器選I型FIR(M為偶)kMkM選IV型FIR(M為奇)用Hamming窗設(shè)計的Wp FIR濾波器HP的幅度響應(yīng) I 型 N=50 I V型 N=51 01-110-80-530Gain response of highpass FIR filterNormalized frequencyGain,

12、dBtype I type IV窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器問題提出基本思路I 型線性相位系統(tǒng)II型線性相位系統(tǒng)III型線性相位系統(tǒng)VI 型線性相位系統(tǒng)頻率取樣法問題 已知Hd(ejW)在M+1點上的抽樣值Hd (ejWm) ；m=0,1,.,M，設(shè)計 hk; k=0,1,.,M，使設(shè)計出的濾波器H(z)滿足 Hd (ejWm)= H (ejWm) 基本思路Hd (ejWm) ；m=0,1,.,M，已確定。則可通過求解方程 mmjkMkjdekheHW-=W=)(0 得出khhk的附加約束：系數(shù)是實的，滿足線性相位條件。I型取樣(Wm=2p m/(M+1) ; m=0,1,

13、.,M)線性相位FIR濾波器頻率響應(yīng)一般形式為I 型線性相位系統(tǒng)(M為偶數(shù)，hk偶對稱): I型線性相位濾波器的幅度函數(shù)滿足: Ad(W)=Ad(2p-W)Hd(ejW)在M+1個取樣點上值Hdm為若設(shè)M=4，則有對Hdm做5點IDFT可得I型線性相位濾波器在M+1個取樣點值為例:用頻率取樣法設(shè)計一個滿足下列指標(biāo)的I型線性相位高通濾波器。 Wsp，Wpp01201A(W)頻率取樣法設(shè)計的高通濾波器幅度函數(shù)W/p01201A(W)增加一個過渡點后頻率取樣法設(shè)計的高通濾波器幅度函數(shù)W/pI I型線性相位系統(tǒng)(M為奇數(shù)，hk偶對稱):幅度函數(shù)滿足: Ad(W)=-Ad(2p-W), Ad(p)=0若M=5，則Hd(ejW)在6個取樣點上值Hdm為II型線性相位濾波器在M+1個取樣點值為例: M=63 (II型)，Wpp，Wsp FIR低通濾波器。00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-80-60-40-200G(W