《應(yīng)用隨機過程》教學大綱

1、 應(yīng)用隨機過程教學大綱應(yīng)用隨機過程是統(tǒng)計專業(yè)必修課.內(nèi)容包括引論，泊松過程，馬爾可夫鏈，更新過程，分支過程，平穩(wěn)過程，布朗運動.講授隨機過程的基本知識與有關(guān)應(yīng)用.通過該課程的學習，培養(yǎng)學生認識隨機現(xiàn)象、掌握概率規(guī)律，解決實際問題的能力.為他們將來從事科學研究、教學工作以及實際應(yīng)用打下堅實的基礎(chǔ).設(shè)置本課程的目的是：通過隨機過程課程的學習，使學生掌握隨機過程的基本概念，基本理論及運用.是學生深入學習概率論與數(shù)理統(tǒng)計和精算學專業(yè)的某些專業(yè)課程的基礎(chǔ).針對專業(yè)特點和專業(yè)要求，力求以概率的觀點來講述隨機過程的理論，逐步培養(yǎng)學生利用隨機過程的理論和技能解決應(yīng)用概率問題.培養(yǎng)學生運用隨機過程的方法分析問題

2、、解決問題的能力.通過隨機過程的整個教學過程，不斷提高學生素質(zhì)，為培養(yǎng)我國社會主義現(xiàn)代化建設(shè)的高層次、綜合型人才作準備.學習本課程的要求是：掌握隨機過程及其有限維分布、數(shù)字特征、幾種重要的隨機過程等基本概念；掌握馬爾可夫過程的定義及性質(zhì)、馬氏鏈的狀態(tài)分類、平穩(wěn)性和遍歷性及連續(xù)時間馬氏鏈的基本理論；理解平穩(wěn)過程的概念、相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，掌握遍歷性定理、相關(guān)函數(shù)的譜分解、平穩(wěn)過程的預報.了解維納過程、了解均方微分、積分等概念和方法；Ito公式；初步領(lǐng)會隨機微分方程在金融中的應(yīng)用.先修課程要求：數(shù)學分析、概率論.本課程計劃72學時，4學分，每周4節(jié)課.選用教材：方兆本，繆柏其，隨機過程，科學出版社，2

3、004年.教學手段：課堂講授為主，習題課、課外輔導為輔考核方法：考試第一章 引論一 學習目的理解隨機過程的定義，了解隨機過程的例子，掌握有限維分布和數(shù)字特征.理解寬平穩(wěn)過程，嚴平穩(wěn)過程，平穩(wěn)增量過程，獨立增量過程的定義.理解條件期望的定義，三個常用的性質(zhì)，掌握三個性質(zhì)的運用.掌握矩母函數(shù)，生成函數(shù)定義，了解常用概率分布的矩母函數(shù)，掌握矩母函數(shù)，生成函數(shù)性質(zhì)的運用.了解幾乎處處收斂，依概率收斂和均方收斂的含義和相互關(guān)系.本章計劃4學時.二課程內(nèi)容第1節(jié) 引言1，基本概念和例子隨機過程的定義，隨機過程的例子.2，有限維分布和數(shù)字特征有限維分布和數(shù)字特征.3，平穩(wěn)過程和獨立增量過程寬平穩(wěn)過程，嚴平穩(wěn)

4、過程，平穩(wěn)增量過程，獨立增量過程的定義.第2節(jié) 條件期望和矩母函數(shù)1，條件期望條件期望的定義，三個常用的性質(zhì)，三個性質(zhì)的運用.2，矩母函數(shù)及生成函數(shù)矩母函數(shù)，生成函數(shù)定義，常用概率分布的矩母函數(shù)，矩母函數(shù)，生成函數(shù)性質(zhì)的運用.第3節(jié) 收斂性幾乎處處收斂，依概率收斂，均方收斂的含義和相互關(guān)系.三重點，難點提示1，理解條件期望性質(zhì)的運用.2，隨機和的矩母函數(shù).3，隨機過程協(xié)方差的非負定性.4，三種收斂性定義及相互關(guān)系.四思考與練習1，隨機過程的定義，樣本路徑含義.2，條件期望的基本性質(zhì)是什么？3，幾乎處處收斂，依概率收斂和均方收斂的相互關(guān)系？4，矩母函數(shù)及生成函數(shù)的性質(zhì).第二章 泊松過程一 學習目

5、的了解計數(shù)過程，掌握計數(shù)過程中獨立增量和平穩(wěn)增量的含義，掌握泊松過程的兩個等價定義，理解兩個定義等價性的證明.了解泊松過程中事件的來到間隔序列的定義，掌握泊松過程的來到間隔序列為獨立同分布的指數(shù)隨機變量.掌握泊松過程中等待時間隨機變量的定義，概率密度函數(shù).在了解順序統(tǒng)計量的基礎(chǔ)上，掌握泊松過程中來到時刻的條件分布，掌握利用條件分布解決排隊平均等待時間.掌握非齊次泊松過程的定義.掌握復合泊松過程的定義，理解泊松過程與復合泊松過程的關(guān)系及本質(zhì)區(qū)別.掌握空間泊松過程的定義.掌握標值泊松過程的定義.理解更新過程的定義，理解泊松過程是一種特殊的更新過程，掌握更新函數(shù)的表達式，了解基本更新定理.本章計劃1

6、2學時.二 教學內(nèi)容第1節(jié) 泊松過程計數(shù)過程，計數(shù)過程中獨立增量和平穩(wěn)增量的含義，泊松過程的兩個等價定義，兩個定義等價性的證明.第2節(jié) 與Poisson過程相聯(lián)系的若干分布1，時間間隔的分布泊松過程中事件的來到間隔序列的定義，泊松過程的來到間隔序列為獨立同分布的指數(shù)隨機變量.2，發(fā)生時刻的分布泊松過程中等待時間隨機變量的定義，概率密度函數(shù).泊松過程中來到時刻的條件分布，掌握利用條件分布解決排隊平均等待時間.第3節(jié)Poisson過程的推廣1，非齊次泊松過程非齊次泊松過程的定義.2，復合泊松過程復合泊松過程的定義，泊松過程與復合泊松過程的關(guān)系及本質(zhì)區(qū)別.3，空間泊松過程空間泊松過程的定義.4，標值

7、泊松過程標值泊松過程的定義.5，更新過程更新過程的定義，泊松過程是一種特殊的更新過程，更新函數(shù)的表達式，基本更新定理.三重點，難點提示1，泊松過程中關(guān)于發(fā)生時刻和次數(shù)的等價事件.2，時間間隔的分布，發(fā)生時刻的分布.3，基本更新定理.4，泊松過程中來到時刻的條件分布.三思考與練習1，泊松過程與稀有事件原理有什么聯(lián)系？2，復合泊松過程與泊松過程的區(qū)別是什么？3，更新過程與泊松過程的區(qū)別與聯(lián)系.4，基本更新定理在泊松過程下的驗證.第三章Markov鏈一 學習目的掌握馬爾可夫鏈和馬爾可夫性的定義，掌握馬爾可夫鏈的特征及條件，能熟練寫出常見Markov鏈轉(zhuǎn)移概率矩陣.掌握切普曼-柯爾莫哥洛夫方程，聯(lián)合分

8、布概率的計算.掌握馬爾可夫鏈互達，周期，常返，瞬過，正常返，零常返等概念.理解下述結(jié)論：1若狀態(tài)互達則周期相同，2若狀態(tài)互達，若一個狀態(tài)常返，另一狀態(tài)也是常返，掌握判斷狀態(tài)常返的充分必要條件.掌握馬爾可夫鏈的極限定理，掌握馬爾可夫鏈中平穩(wěn)分布，極限分布的概念.能夠利用平穩(wěn)分布求解Markov的極限分布.理解分支過程概念，掌握從單個個體開始群體遲早滅絕的概率的求解方法.掌握連續(xù)時間馬爾可夫鏈的定義性質(zhì)及其與離散時間馬爾可夫鏈的區(qū)別，掌握轉(zhuǎn)移速率的概念，掌握Q矩陣的概念，掌握柯爾莫哥洛夫向前和向后微分方程.了解生滅過程，了解純生過程及其與一般生滅過程的關(guān)系，了解尤爾過程及其與一般生滅過程的關(guān)系.本

9、章計劃20學時.二 教學內(nèi)容第1節(jié) 基本概念馬爾可夫鏈和馬爾可夫性的定義，馬爾可夫鏈的特征及條件，Markov鏈轉(zhuǎn)移概率矩陣.切普曼-柯爾莫哥洛夫方程，聯(lián)合分布概率的計算.第2節(jié) 狀態(tài)分類及性質(zhì)馬爾可夫鏈互達，周期，常返，瞬過，正常返，零常返等概念.下述結(jié)論：1若狀態(tài)互達則周期相同，2若狀態(tài)互達，若一個狀態(tài)常返，另一狀態(tài)也是常返，掌握判斷狀態(tài)常返的充分必要條件.第3節(jié) 極限定理及平穩(wěn)分布1，極限定理馬爾可夫鏈的極限定理，2，平穩(wěn)分布馬爾可夫鏈中平穩(wěn)分布，極限分布的概念.平穩(wěn)分布求解Markov的極限分布.第4節(jié) 分支過程分支過程概念，從單個個體開始群體遲早滅絕的概率的求解方法.第5節(jié) 連續(xù)時間

10、馬爾可夫鏈連續(xù)時間馬爾可夫鏈的定義，性質(zhì)，及其與離散時間馬爾可夫鏈的區(qū)別，轉(zhuǎn)移速率的概念.Q矩陣的概念.柯爾莫哥洛夫向前和向后微分方程.生滅過程，純生過程及其與一般生滅過程的關(guān)系，尤爾過程及其與一般生滅過程的關(guān)系.三重點，難點提示1，互達，周期，常返，瞬過，正常返，零常返概念的理解.2，柯爾莫哥洛夫向前和向后微分方程.3，切普曼-柯爾莫哥洛夫方程.4，轉(zhuǎn)移概率矩陣與Q矩陣的計算.四思考與練習1，如何理解馬氏性的直觀含義.2，如何區(qū)分狀態(tài)是常返，瞬過，正常返和零常返.3，有限狀態(tài)馬爾可夫鏈的分類.4，分支過程中代n個體的發(fā)布問題.第四章 平穩(wěn)過程一 教學目的掌握寬平穩(wěn)過程和嚴平穩(wěn)過程的定義，掌握

11、白噪聲序列的定義，了解周期平穩(wěn)過程的定義，掌握復平穩(wěn)過程的定義.掌握平穩(wěn)過程，平穩(wěn)序列均值遍歷性定義，判定定理和推論.理解平穩(wěn)過程，平穩(wěn)序列協(xié)方差遍歷性的定義，判定定理和推論.掌握平穩(wěn)過程協(xié)方差函數(shù)的對稱性，有界性，非負定性.理解功率譜密度的定義，掌握Wiener-khintchine定理.掌握函數(shù)在Wiener-khintchine定理中的應(yīng)用，掌握白噪聲過程和白噪聲序列的協(xié)方差函數(shù)和譜密度.掌握最小均方誤差的預報定理.掌握最小均方誤差預報的典型例題，掌握自回歸模型的最佳預報和預報均方誤差，掌握滑動平均模型的預報和預報均方誤差.本章計劃20學時.二 教學內(nèi)容第1節(jié) 定義寬平穩(wěn)過程和嚴平穩(wěn)過程

12、的定義，白噪聲序列的定義，周期平穩(wěn)過程的定義，復平穩(wěn)過程的定義.第2節(jié) 遍歷性定理平穩(wěn)過程，平穩(wěn)序列均值遍歷性定義，判定定理和推論.平穩(wěn)過程，平穩(wěn)序列協(xié)方差遍歷性的定義，判定定理和推論.第3節(jié) 平穩(wěn)過程的協(xié)方差函數(shù)和功率譜密度平穩(wěn)過程協(xié)方差函數(shù)的對稱性，有界性，非負定性.功率譜密度的定義，Wiener-khintchine定理.函數(shù)在Wiener-khintchine定理中的應(yīng)用，白噪聲過程和白噪聲序列的協(xié)方差函數(shù)和譜密度.第4節(jié)平穩(wěn)序列的預報最小均方誤差的預報定理.最小均方誤差預報的典型例題，自回歸模型的最佳預報和預報均方誤差，滑動平均模型的預報和預報均方誤差.三重點，難點提示1，寬平穩(wěn)過程

13、和嚴平穩(wěn)過程的關(guān)系.2，協(xié)方差函數(shù)的性質(zhì).3，均值遍歷性判定定理.4，函數(shù)在Wiener-khintchine定理中的應(yīng)用.5，自回歸模型和滑動平均模型的預報和預報均方誤差.四思考與練習1，復平穩(wěn)過程與實平穩(wěn)過程的定義的聯(lián)系與區(qū)別？2，最小均方誤差預報定理的幾何解釋.3，白噪聲過程和白噪聲序列的協(xié)方差函數(shù)和譜密度的區(qū)別？4，功率譜密度定義，Parsval等式，Wiener-khintchine定理，F(xiàn)ourier變換關(guān)系.第五章Brown運動一 教學目的了解布朗運動的來由和本質(zhì)，了解布朗運動與隨機游動的區(qū)別與聯(lián)系.掌握布朗運動過程的定義和獨立增量性，掌握將一般布朗運動轉(zhuǎn)化為標準布朗運動的方法.

14、了解布朗運動路徑的性質(zhì).掌握獨立增量的密度函數(shù)，聯(lián)合密度函數(shù)和條件密度函數(shù).了解布朗橋的含義，掌握布朗運動過程的首達時概念及概率函數(shù)，掌握布朗運動過程的最大值概念及概率函數(shù).理解均方積分，均方微分，關(guān)于布朗運動的積分概念，掌握均方積分，均方微分，關(guān)于布朗運動的積分基本性質(zhì).掌握伊藤引理，掌握伊藤微分公式，了解一般隨機微分方程及B-S公式.理解反正弦率，理解布朗橋及其在研究經(jīng)驗分布函數(shù)時的作用.本章計劃12學時.二 教學內(nèi)容第1節(jié) 定義布朗運動的來由和本質(zhì)，布朗運動與隨機游動的區(qū)別與聯(lián)系.布朗運動過程的定義和獨立增量性將一般布朗運動轉(zhuǎn)化為標準布朗運動的方法.第2節(jié) 布朗運動的性質(zhì)布朗運動路徑的性

15、質(zhì).獨立增量的密度函數(shù)，聯(lián)合密度函數(shù)和條件密度函數(shù).布朗橋的含義，布朗運動過程的首達時概念及概率函數(shù)，布朗運動過程的最大值概念及概率函數(shù).第3節(jié) 隨機積分和隨機微分方程均方積分，均方微分，關(guān)于布朗運動的積分概念，均方積分，均方微分，關(guān)于布朗運動的積分基本性質(zhì).第4節(jié) 伊藤微分公式和一般隨機微分方程伊藤引理，伊藤微分公式，一般隨機微分方程及B-S公式.第5節(jié) 布朗運動的其他一些應(yīng)用反正弦率，布朗橋及其在研究經(jīng)驗分布函數(shù)時的作用.四重點，難點提示1，布朗運動過程的首達時概念及概率函數(shù).2，布朗運動過程的最大值概念及概率函數(shù).3，伊藤引理，伊藤微分公式.4，均方積分，均方微分，關(guān)于布朗運動的積分概念和基本性質(zhì).三思考與練習1，布朗運動在0