數(shù)值分析(02)線性空間

1、數(shù)值分析數(shù)值分析第二章 矩陣分析基礎 第一節(jié) 線性空間 第二節(jié) 賦范線性空間 第三節(jié) 內積空間 第四節(jié) 矩陣代數(shù)基礎 第五節(jié) 矩陣的三角分解 第六節(jié) 矩陣的正交分解 第七節(jié) 矩陣的奇異值分解1數(shù)值分析數(shù)值分析第一節(jié) 線性空間 一、線性空間的定義 二、線性空間的性質 三、線性空間的基與維數(shù) 四、元素在給定基下的坐標 五、線性空間的同構 六、基變換公式與過渡矩陣 七、坐標變換公式 八、線性空間的子空間2數(shù)值分析數(shù)值分析一、線性空間的定義3數(shù)值分析數(shù)值分析4數(shù)值分析數(shù)值分析5數(shù)值分析數(shù)值分析線性空間是線性代數(shù)最基本的概念之一，也是一個抽象的概念，它是向量空間概念的推廣線性空間是為了解決實際問題而引入

2、的，它是某一類事物從量的方面的一個抽象，即把實際問題看作線性空間，進而通過研究線性空間來解決實際問題6數(shù)值分析數(shù)值分析定義 設 是一個非空集合， 為數(shù)域如果(1)對于任意兩個元素 ，總有唯一的一個元素 與之對應，稱為 與 的和，記作(2)對于任一數(shù) 與任一元素 ，總有唯一的一個元素 與之對應，稱為 與 的積，記作如果上述的兩種運算滿足以下八條運算規(guī)律，那么 就稱為數(shù)域 上的線性空間7數(shù)值分析數(shù)值分析8數(shù)值分析數(shù)值分析2 線性空間中的元素不一定是有序數(shù)組3 判別線性空間的方法：一個集合，對于定義的加法和數(shù)乘運算不封閉，或者運算不滿足八條性質的任一條，則此集合就不能構成線性空間 說明1 凡滿足以上

3、八條規(guī)律的加法及數(shù)乘運算，稱為線性運算9數(shù)值分析數(shù)值分析（）一個集合，如果定義的加法和數(shù)乘運算是通常的實數(shù)間的加乘運算，則只需檢驗對運算的封閉性例 實數(shù)域上的全體 矩陣，對矩陣的加法和數(shù)乘運算構成實數(shù)域上的線性空間，記作 線性空間的判定方法10數(shù)值分析數(shù)值分析通常的多項式加法、數(shù)乘多項式的乘法兩種運算滿足線性運算規(guī)律11數(shù)值分析數(shù)值分析12數(shù)值分析數(shù)值分析例 正弦函數(shù)的集合對于通常的函數(shù)加法及數(shù)乘函數(shù)的乘法構成線性空間13數(shù)值分析數(shù)值分析是一個線性空間.例 在區(qū)間 上全體實連續(xù)函數(shù)，對函數(shù)的加法與數(shù)和函數(shù)的數(shù)量乘法，構成實數(shù)域上的線性空間14數(shù)值分析數(shù)值分析例 正實數(shù)的全體，記作 ，在其中定義

4、加法及乘數(shù)運算為驗證 對上述加法與數(shù)乘運算構成線性空間（）一個集合，如果定義的加法和數(shù)乘運算不是通常的實數(shù)間的加乘運算，則必需檢驗是否滿足八條線性運算規(guī)律證明所以對定義的加法與數(shù)乘運算封閉15數(shù)值分析數(shù)值分析下面一一驗證八條線性運算規(guī)律：16數(shù)值分析數(shù)值分析所以 對所定義的運算構成線性空間17數(shù)值分析數(shù)值分析不構成線性空間對于通常的有序數(shù)組的加法及如下定義的乘法例 個有序實數(shù)組成的數(shù)組的全體18數(shù)值分析數(shù)值分析(1)零元素是唯一的二、線性空間的性質(2)負元素是唯一的(4)如果 ，則 或 . 19數(shù)值分析數(shù)值分析三、線性空間的基與維數(shù)已知：在中，線性無關的向量組最多由 個向量組成，而任意 個向

5、量都是線性相關的問題：線性空間的一個重要特征在線性空間 中，最多能有多少線性無關的向量？20數(shù)值分析數(shù)值分析21數(shù)值分析數(shù)值分析22數(shù)值分析數(shù)值分析23數(shù)值分析數(shù)值分析定義 在線性空間 中，如果存在 個元素滿足：24數(shù)值分析數(shù)值分析當一個線性空間 中存在任意多個線性無關的向量時，就稱 是無限維的25數(shù)值分析數(shù)值分析定義 四、元素在給定基下的坐標26數(shù)值分析數(shù)值分析27數(shù)值分析數(shù)值分析28數(shù)值分析數(shù)值分析注意線性空間 的任一元素在不同的基下所對的坐標一般不同，一個元素在一個基下對應的坐標是唯一的29數(shù)值分析數(shù)值分析例所有二階實矩陣組成的集合 ，對于矩陣的加法和數(shù)量乘法，構成實數(shù)域 上的一個線性空

6、間對于 中的矩陣30數(shù)值分析數(shù)值分析31數(shù)值分析數(shù)值分析32數(shù)值分析數(shù)值分析五、線性空間的同構33數(shù)值分析數(shù)值分析34數(shù)值分析數(shù)值分析定義設 是兩個線性空間，如果它們的元素之間有一一對應關系 ，且這個對應關系保持線性組合的對應，那末就稱線性空間 與 同構.35數(shù)值分析數(shù)值分析例如與 維數(shù)組向量空間 同構. 形成一一對應關系；36數(shù)值分析數(shù)值分析則有同維數(shù)的線性空間必同構同構的線性空間之間具有反身性、對稱性與傳遞性結論數(shù)域 上任意兩個 維線性空間都同構37數(shù)值分析數(shù)值分析同構的意義在線性空間的抽象討論中，無論構成線性空間的元素是什么，其中的運算是如何定義的，我們所關心的只是這些運算的代數(shù)性質從這

7、個意義上可以說，同構的線性空間是可以不加區(qū)別的，而有限維線性空間唯一本質的特征就是它的維數(shù)38數(shù)值分析數(shù)值分析六、基變換公式與過渡矩陣那么，同一個向量在不同的基下的坐標有什么關系呢？換句話說，隨著基的改變，向量的坐標如何改變呢？問題：在 維線性空間 中，任意 個線性無關的向量都可以作為 的一組基對于不同的基，同一個向量的坐標是不同的39數(shù)值分析數(shù)值分析稱此公式為基變換公式40數(shù)值分析數(shù)值分析基變換公式 矩陣 稱為由基 到基 的過渡矩陣過渡矩陣 是可逆的41數(shù)值分析數(shù)值分析若兩個基滿足關系式七、坐標變換公式則有坐標變換公式或42數(shù)值分析數(shù)值分析證明43數(shù)值分析數(shù)值分析44數(shù)值分析數(shù)值分析45數(shù)值

8、分析數(shù)值分析46數(shù)值分析數(shù)值分析47數(shù)值分析數(shù)值分析八、線性空間的子空間定義 設 是一個線性空間， 是 的一個非空子集，如果 對于 中所定義的加法和數(shù)乘兩種運算也構成一個線性空間，則稱 為 的子空間定理線性空間 的非空子集 構成子空間的充分必要條件是： 對于 中的線性運算封閉48數(shù)值分析數(shù)值分析解(1)不構成子空間.因為對例 有49數(shù)值分析數(shù)值分析即 對矩陣加法不封閉，不構成子空間.對任意有于是50數(shù)值分析數(shù)值分析滿足且51數(shù)值分析數(shù)值分析生成子空間52數(shù)值分析數(shù)值分析53數(shù)值分析數(shù)值分析54數(shù)值分析數(shù)值分析生成的子空間的基與維數(shù).例55數(shù)值分析數(shù)值分析56數(shù)值分析數(shù)值分析57數(shù)值分析數(shù)值分析矩陣代數(shù)中的幾個重