數(shù)據(jù)的插值與逼近

1、第五章 數(shù)據(jù)的插值與逼近數(shù)學建模課程1第二節(jié) 數(shù)據(jù)的最小二乘逼近最小二乘逼近理論1利用Matlab實現(xiàn)最小二乘逼近22一、最小二乘逼近理論最小二乘逼近的定義 插值所需的數(shù)據(jù)往往來源于觀察測量，本身有一定的誤差。要求插值曲線通過這些本身有誤差的點，勢必使結果更加不準確。 另外，如果由試驗提供的數(shù)據(jù)量比較大，又容易使得插值多項式的次數(shù)過高而效果不理想。所以在對離散數(shù)據(jù)建立模型時，并不需要函數(shù)曲線一定要插值所有給定的數(shù)據(jù)點。 ，在取定的函數(shù)類 中，求定義1.對給定數(shù)據(jù) 即，使誤差，的平方和最小，函數(shù)稱為最小二乘解， 求的方法稱為最小二乘逼近。 3一、最小二乘逼近理論 對離散數(shù)據(jù)點進行最小二乘逼近首先

2、要確定的是用什么類型的函數(shù)作為模型，然后通過計算求得該類函數(shù)中的參數(shù)。 按照求解參數(shù)在最小二乘逼近解中的地位，最小二乘分為線性最小二乘逼近和非線性最小二乘逼近。例如：線性最小二乘逼近非線性最小二乘逼近 線性最小二乘逼近的求解比非線性最小二乘逼近容易，一定條件下，非線性最小二乘逼近可以轉化為線性最小二乘逼近。4一、最小二乘逼近理論線性最小二乘逼近第一步:先選定一組函數(shù) r1(x), r2(x), rm(x), mn, 令 f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+ +amrm(x) （1）其中 a1,a2, am 為待定系數(shù)。 第二步: 確定a1,a2, am 的準則（最小二乘準則）：使n個點（

3、xi,yi) 與曲線 y=f(x) 的距離i 的平方和最小 。記 問題歸結為，求 a1,a2, am 使 J(a1,a2, am) 最小。5一、最小二乘逼近理論將J(a1,a2, am)看作是 a1,a2, am的m元函數(shù)。最小二乘問題就是這個m元函數(shù)的最小值問題，由極值的必要條件：得：其中：該方程組的解就是最小二乘問題的解6一、最小二乘逼近理論線性最小二乘擬合 f(x)=a1r1(x)+ +amrm(x)中函數(shù)r1(x), rm(x)的選取 1. 通過機理分析建立數(shù)學模型來確定 f(x)；+f=a1+a2xf=a1+a2x+a3x2f=a1+a2x+a3x2f=a1+a2/xf=aebxf=

4、ae-bx 2. 將數(shù)據(jù) (xi,yi) i=1, n 作圖，通過直觀判斷確定 f(x)：可化為線性最小二乘7一、最小二乘逼近理論非線性最小二乘逼近 如果要用非線性模型對離散數(shù)據(jù)進行最小二乘逼近，一般的方法是將其線性化，然后求解線性化以后的最小二乘逼近問題。 可線性化的非線性最小二乘逼近（線性化后為 ）8一、最小二乘逼近理論可線性化的非線性最小二乘逼近（線性化后為 ）9二、利用MATLAB實現(xiàn)最小二乘逼近利用MATLAB實現(xiàn)多項式最小二乘逼近 在MATLAB中，要利用多項式f(x)=a1xm+ +amx+am+1對離散數(shù)據(jù)進行線性擬合,可利用命令：a=polyfit(x,y,m)輸出擬合多項式

5、系數(shù)a=a1, am , am+1 (數(shù)組)）輸入同長度的數(shù)組X，Y擬合多項式次數(shù) 要計算多項式在x處的值y可用以下命令計算： y=polyval（a，x）10二、利用MATLAB實現(xiàn)最小二乘逼近例1：對下面一組數(shù)據(jù)作二次多項式擬合x=0:0.1:1; y=-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2; A=polyfit(x,y,2) z=polyval(A,x); plot(x,y,k+,x,z,r) %作出數(shù)據(jù)點和擬合曲線的圖形11二、利用MATLAB實現(xiàn)最小二乘逼近2）計算結果： = -9.8108 20.1293

6、-0.0317原始數(shù)據(jù)及擬合曲線12二、利用MATLAB實現(xiàn)最小二乘逼近 下面在更多點比較2次和10次最小二乘逼近多項式的逼近效果 xi=linspace(0, 1, 100); % x-axis data for plotting z=polyval(p, xi); xi=linspace(0, 1, 100); % x-axis data for plotting z=polyval(p, xi); pp=polyfit(x, y, 10) ; zz=polyval(pp, xi); % evaluate 10th order polynomial plot(x, y, o , xi, z

7、, : , xi, zz) % plot data xlabel( x )；ylabel( y=f(x) )； title( 2nd and 10th Order curve Fitting )；13二、利用MATLAB實現(xiàn)最小二乘逼近2次和10次最小二乘多項式逼近效果比較14二、利用MATLAB實現(xiàn)最小二乘逼近利用MATLAB實現(xiàn)非線性最小二乘逼近對于非線性最小二乘逼近，在Matlab中有兩種途徑解決： (1)如果模型可以線性化，可先線性化后，再利用polyfit求解； (2)利用Matlab中直接求解非線性最小二乘逼近的兩種函數(shù) lsqcurvefit和lsqnonlin。例2. 在人口的

8、logistic模型中，人口總數(shù)y與時間t之間的關系滿足 ,下表是某地區(qū)1971年2000年之間的人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)，試確定logistic模型中的a,b。15二、利用MATLAB實現(xiàn)最小二乘逼近年人口總數(shù)年人口總數(shù)197133 815198634 520197233 981198734 507197334 004198834 509197434 165198934 521197534 212199034 513197634 327199134 515197734 344199234 517197834 458199334 519197934 498199434 519198034 47619953

9、4 521198134 483199634 521198234 488199734 520198334 513199834 507198434 497199934 509198534 511200034 52116二、利用MATLAB實現(xiàn)最小二乘逼近解：先線性化，設y為人口總數(shù)，t年份1970，即。令，則logistic模型可線性化為 。下面在Matlab下編程進行最小二乘逼近： clear;clc;t1:30;y=33815,33981,34004,34165,34212,34327,34344,34458,34498,34476,34483,34488,34513,34497,34511,

10、34520, 34507,34509,34521,34513,34515,34517,34519,34519,34521,34521,34520,34507,34509,34521for i = 1:30, x(i)=exp(-t(i); yy(i)=1/y(i); %線性化end17二、利用MATLAB實現(xiàn)最小二乘逼近程序運行結果%對線性化后的模型用polyfit進行一次多項式最小二乘逼近pp=polyfit(x,yy,1); %對逼近結果繪圖for j=1:30 Y(j)=1/(pp(2)+pp(1)*exp(-j);endplot(t,Y);app(2)= 0.182105，bpp(1)

11、= 0.2902104，18二、利用MATLAB實現(xiàn)最小二乘逼近 Matlab提供了兩個求非線性最小二乘擬合的函數(shù)：lsqcurvefit和lsqnonlin。兩個命令都要先建立M-文件，在其中定義函數(shù)f(x)，但兩者定義f(x)的方式是不同的。1. lsqcurvefit已知數(shù)據(jù)點：xdata=（xdata1，xdata2，xdatan）， ydata=（ydata1，ydata2，ydatan） fun是一個事先建立的定義函數(shù)F(x,xdata) 的M-文件, 自變量為x和xdata說明：x = lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata,options);迭代初值已知

12、數(shù)據(jù)點選項見無約束優(yōu)化19二、利用MATLAB實現(xiàn)最小二乘逼近輸入格式為:(1)x=lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata);(2)x=lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata,options);(3)x=lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata,options,grad); 例:用下面一組數(shù)據(jù)擬合 中的參數(shù)a，b，k.20二、利用MATLAB實現(xiàn)最小二乘逼近該問題即解最優(yōu)化問題：1）編寫M-文件 curvefun1.m function f=curvefun1(x,tdata) f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x

13、(3)*tdata) %其中 x(1)=a; x(2)=b；x(3)=k;2）輸入程序tdata=100:100:1000cdata=1e-03*4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59; x0=0.2,0.05,0.05; x=lsqcurvefit (curvefun1,x0,tdata,cdata) f= curvefun1(x,tdata) 21二、利用MATLAB實現(xiàn)最小二乘逼近3）運算結果為：f =0.0043 0.0051 0.0056 0.0059 0.0061 0.0062 0.0062 0.0063 0.0063 0

14、.0063 x = 0.0063 -0.0034 0.25424）結論：a=0.0063, b=-0.0034, k=0.254222二、利用MATLAB實現(xiàn)最小二乘逼近2. lsqnonlin lsqnonlin用以求含參量x（向量）的向量值函數(shù) f(x)=(f1(x),f2(x),fn(x)T 中的參量x，使得: 最小。 其中 fi(x)=f（x，xdatai，ydatai） =F(x,xdatai)-ydatai23二、利用MATLAB實現(xiàn)最小二乘逼近說明：x= lsqnonlin （fun，x0，options）；fun是一個事先建立的定義函數(shù)f(x)的M-文件，自變量為x迭代初值選項

15、見無約束優(yōu)化輸入格式為： 1） x=lsqnonlin（fun，x0）； 2） x= lsqnonlin （fun，x0，options）； 3） x= lsqnonlin （fun，x0，options，grad）；24二、利用MATLAB實現(xiàn)最小二乘逼近利用lsqnonlin計算上例：1）編寫M-文件 curvefun2.m function f=curvefun2(x) tdata=100:100:1000; cdata=1e-03*4.54,4.99,5.35,5.65,5.90, 6.10,6.26,6.39,6.50,6.59; f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)

16、*tdata)- cdata2）輸入命令: x0=0.2,0.05,0.05;x=lsqnonlin(curvefun2,x0)f= curvefun2(x)25二、利用MATLAB實現(xiàn)最小二乘逼近 3）運算結果為 f =1.0e-003 *(0.2322 -0.1243 -0.2495 -0.2413 -0.1668 -0.0724 0.0241 0.1159 0.2030 0.2792 x =0.0063 -0.0034 0.25424）結論：即擬合得a=0.0063 b=-0.0034 k=0.2542可以看出,兩個命令的計算結果是相同的.26二、利用MATLAB實現(xiàn)最小二乘逼近結束語（1）無論是何種方法得到的逼近結果，在對結果進行評價時，主要采用最大誤差、