雍浩浩-南浩張

1、對定位問題的和解決摘要目前如何確定已經(jīng)成為信息的重要傳遞載體，數(shù)據(jù)的分析顯得愈發(fā)重要。其中，的拍攝地點和拍攝日期是數(shù)據(jù)分析的重要方面。就是通過分析中物體的變化，確定拍攝的地點和日期的法。以此項技術為背景提出了 4 個問題。整個地球看做直角坐標系并將所有的經(jīng)緯度轉(zhuǎn)化為直角坐標對四個問題進行了分析計算。針對第一問，通過計算光線的直線方程，再根據(jù)確定出直桿所處位置的計算出直桿的直線方程，通過向量計算出兩直線的夾角，從而得到高度角的變化，進而計算出長度的變化。在這個過程中采用了時間，以此來確定不同時刻直射點所處的經(jīng)度。針對第二問，因為每天的高度角都有一個最大值，故會有最短的時刻。根據(jù)第一問的結果用給數(shù)

2、據(jù)進行擬合，從而找到擬合出了變化的曲線，找到擬合的方法后對問題二所長度的最短時刻，而這個時刻正是當?shù)貢r間的正午時間，根據(jù)正午時間的時間即可以確定此地經(jīng)度。確定經(jīng)度后，位于不同緯度的地點在某兩個時刻的高度角的比值是是確定的，所以畫出隨緯度變化這個比值的變化曲線，從圖像交點得到所求緯度。針對第三問，由于題目中減少了時間這一信息，所以的緯度，從而得到每個日期的可能地點?？梢援嫵霾煌掌趯槍Φ谒膯?，主要是從中得到影長的數(shù)據(jù)。為了便處理中的信息，對原始用 XVID 方式進行了轉(zhuǎn)碼，轉(zhuǎn)碼后的的幀大小是 856*480。截圖后用 PS處理，得出必要的信息，如桿的像素長度，桿和地面接觸部分的坐標等。再利用

3、OpenCV 計算機視覺庫結合 VC，每兩分鐘從中算，從而得到影長的數(shù)據(jù)。一幀，人工點選，然后程序計關鍵字：坐標系變換向量計算多項式擬合影長比一、問題重述1.1 引言四個問題均與桿在下的投影有關。問題一通過給出已知的日期、地點，從而求出的長度隨時刻的變化規(guī)律。問題二和三則于問題一相反，已知各個時刻對應的長度及位置，反求桿子所處的地點與日期。至于問題四，則是通過前三問得到的模型和方法，對給出的一段進行分析，得到的拍攝地點。1.2 問題的提出圍繞日期、地點、時刻和的長度和位置，本文提出以下 4 個問題：(1)建立長度變化的數(shù)學模型，分析長度關于各個參數(shù)的變化規(guī)律，并應用建立的模型畫出 2015 年

4、 10 月 22 日時間 9:00-15:00 之間廣場（北長度的變化曲緯 39 度 54 分 26 秒,東經(jīng) 116 度 23 分 29 秒）3 米高的直桿的線。(2)根據(jù)某固定直桿在水平地面上的頂點坐標數(shù)據(jù)，建立數(shù)學模型確定直頂點坐標數(shù)據(jù)，給出若干個可能的桿所處的地點。將地點。的模型應用于附件 1 的(3)根據(jù)某固定直桿在水平地面上的頂點坐標數(shù)據(jù)，建立數(shù)學模型確定直桿所處的地點和日期。將的模型分別應用于附件 2 和附件 3 的頂點坐標數(shù)據(jù)，給出若干個可能的地點與日期。(4)附件 4 為一根直桿在桿的高度為 2 米。請建立確定下的變化的，并且已通過某種方式估計出直拍攝地點的數(shù)學模型，并應用的

5、模型給出若干個可能的拍攝地點。如果拍攝日期未知，你能否根據(jù)確定出拍攝地點與日期？二、模型假設1.地球是標準的球體。2.光是平行光。3.桿的長度相對于地球半徑可忽略不計（可將地面視為沒有弧度的平面）。4.一年有 365 天。5.3 月 21 日為春分，當天直射赤道。6.同一天里直射點所在的緯度不變。7.直桿垂直于地面，及延長線通過球心。三、符號說明四、問題分析4.1 問題一分析題目要求建立長度變化模型。首先，建立坐標系，設出桿所在地點的坐標；然后，推算出直射點位置與日期和時間的關系，得到光與桿的夾角，從而求出的長度；最后，通過得到的各個時刻的長度，繪制出一條曲線，擬合出曲線的方程。題目要求建立長

6、度變化模型。由投影知識知道，光照射在物體上時所形成的長度與光和直桿的夾角大小相關，這個夾角可以看做直桿所在直線的方向向量和光所在直線的方向向量的夾角。直桿所在坐標確定了直桿所在直線的直線方程，所以直桿的坐標是會影響長度的；而直射點的坐標確定的長度，而決定。日期決定了了光線所在直線的方程，所以直射點的坐標也會影響到直射點位置的變量就是時間，所以時間是必不可少的影響直射點的緯度，時刻決定了直射點的經(jīng)度。所以由時間以及待測點的坐標就可以得到高度角，從而計算出長度。第一步，建立坐標系，設出桿所在地點的坐標。第二步，推算出的方向向量。直射點位置與日期和時間的關系，計算出光線所在直線第三步，由投影關系計算

7、4.2 問題二分析長度。與第一問相反，第二問題目給出了長度的數(shù)據(jù)以及測量的時間。要求給出測桿所在地點的緯度(北緯為正，南緯為負)桿所在地點的經(jīng)度(東經(jīng)為正，西經(jīng)為負)(x0,y0,z0)桿所在地點的坐標直射點的緯度直射點的經(jīng)度(x1,y1,z1)直射點的坐標l桿長d影長影長比得的地理位置。從日出到日落的長度變化規(guī)律為先變短，再變長，所以只需要找出最短的時間即為當?shù)氐恼鐣r間。所以找出一個可以找到最短的方法就可以找到當?shù)氐恼鐣r間，再與時間進行對比得到該地的經(jīng)度。對第一問中時間和長度的數(shù)據(jù)進行四階多項式擬合，所以對問題二給出的數(shù)據(jù)依然進行四階多項式擬合，得到最低點從而計算出經(jīng)度。針對緯度，由于題

8、目中未給出桿長，所以無法計算高度角的大小。當固高度角的正切值和定經(jīng)度時，在同一緯度的同一天里，某一時刻（當?shù)貢r間）的另一時刻（也為當?shù)貢r間）高度角的正切值的比值是確定的，如下午三點與中午十二點的高度角正切值的比值。而這個比值恰恰就是長度的比值。在該經(jīng)度上取點作出緯度與這個比值的函數(shù)關系，再畫出測量地點的比值，得出交點即為所求解。4.3 問題三分析由于題目中減少了時間這一信息，所以無法根據(jù)日期來確定緯度。一年中的天數(shù)是有限的，所以可以用畫出每天的影長比隨緯度的變化曲線，再與測量地點的數(shù)據(jù)算出的影長比求圖像交點，從而得出不同時期對應的緯度信息。4.4 問題四分析這一問給出的是信息，所以主要的難點是

9、從中得到影長的數(shù)據(jù)。為了便處理中的信息，選擇了對原始用 XVID 方式進行了轉(zhuǎn)碼，轉(zhuǎn)碼后的的幀大小是 856*480。截圖后用 PS 處理，得出必要的信息，如桿的像素長度，桿和地面接觸部分的坐標等。再利用 OpenCV 計算機視覺庫結合 VC，每兩分鐘從視頻中一幀，人工點選，然后程序計算，從而得到影長的數(shù)據(jù)。再結合前面的分析進行求解。五、模型的建立與解決問題一的模型建立和解決模型的準備（1）符號說明：桿所在地點的緯度(北緯為正，南緯為負)：桿所在地點的經(jīng)度(東經(jīng)為正，西經(jīng)為負)(x0,y0,z0)：桿所在地點的坐標：直射點的緯度：直射點的經(jīng)度(x1,y1,z1)：桿長：l影長：d(2)資料查找

10、直射點的坐標北回歸線緯度為 232621”。時間是指東經(jīng) 120上的當?shù)貢r間，并非當?shù)貢r間。處于+8 時區(qū)，即時間比時間(0經(jīng)線的當?shù)貢r間)超前 8 小時。5.1.2 模型的建立以地心為原點，地心到 0經(jīng)線與 0緯線交點為x方向，地心到東經(jīng) 90經(jīng)線方向建立空間直角坐標系，由于與 0緯線交點為y方向，地心到北極點為 z計算的均為角度，地球半徑不會產(chǎn)生干擾，所以假設地球半徑為1。已知桿所在的位置 = 395426”, = 1162329”，轉(zhuǎn)化到該坐標系內(nèi)，得到桿所在的位置的坐標：x0=cos cos，y0= cos sin，z0= sin.再考慮直射點的位置，它由日期和當天的時刻所決定。其期決

11、定緯度，當天的時刻決定經(jīng)度。根據(jù)假設 3 月 21 日直射赤道，之后直射點向北移，又已知北回歸線緯度為0 =232621”，設經(jīng)過 n 天后，直射點的緯度為，那么有： = sin (2 ).0365從 3 月 21 日到 10 月 22 日，總共經(jīng)歷了 214 天，得 = 12546”.直射點的經(jīng)度由當天時刻決定。設時間為x 時 y 分 z 秒，則直射點經(jīng)度應為360 = 180 3600 24 3600 + 60 + 時間 9 時和 15 時時，= 75.時間為 1 時和 7 時，帶入得到1 = 165，2由 、轉(zhuǎn)化到直角坐標系內(nèi)，得到直射點的位置的坐標：x1=cos cos，y1= cos

12、 sin，z1= sin.這樣得到了兩個坐標點(x0,y0,z0) (x1,y2,z3)，亦即原點到這兩點的向量?，F(xiàn)在我們只需求出這兩個向量的夾角，然后用桿長 l 乘以的正切值便能得出陰影的長度 d。由余弦定理，01 + 01+01cos =02 + 02 + 02 12 + 12 + 12從而得到1 2tan =進一步有d= .5.1.3 問題的解決在 9 時到 15 時之間等間隔取 61 個點，根據(jù)上述的方法，利用分別計算出這 61 個時間點的的長度，并畫出曲線。問題二的模型建立和解決模型的準備桿的長度公式 = 1 2= 01 + 01+011 ()202 + 02 + 02 12 + 1

13、2 + 1201 + 01+01= 02 + 02 + 02 12 + 12 + 120 cos cos + 0 cos sin+0 sin1 ()202 + 02 + 02 (cos cos)2 + (cos sin)2 + sin20 cos cos + 0 cos sin+0 sin= 02 + 02 + 02 (cos cos)2 + (cos sin)2 + sin2其中，x0,y0,z0 均為已知常量，在一天中也為常量，為時間的變量，且隨時間線性變化。由于該式過于復雜，不便于處理，決定用相對簡單的多項式并利用來進行擬合。(1)二次曲線f(x) = p1*x2 + p2*x + p3

14、系數(shù)(95%置信區(qū)間)：p1=0.3415 (0.3319, 0.3511)p2=-8.38 (-8.61, -8.149)p3 =55.2 (53.84, 56.56)誤差項平方和: 0.6245R2: 0.9899(2)三次曲線f(x) = p1*x3 + p2*x2 + p3*x + p4系數(shù)(95%置信區(qū)間)：p1=-0.01342 (-0.01858, -0.008261)p2=0.8246 (0.6387, 1.011)p3=-14.1 (-16.31, -11.89)p4=77.49 (68.85, 86.14)誤差項平方和: 0.4231R2: 0.9931(3)四次曲線f(x

15、) = p1*x4 + p2*x3 + p3*x2 + p4*x + p5系數(shù)(95%置信區(qū)間)：p1 = 0.01251 (0.01196, 0.01307)p2 = -0.614 (-0.6407, -0.5873)p3 = 11.54 (11.06, 12.01)p4 = -98.19 (-101.9, -94.43)p5 = 322.7 (311.7, 333.7)誤差項平方和: 0.01137R2: 0.9998(4)五次曲線f (x) = p1*x5 + p2*x4 + p3*x3 + p4*x2 + p5*x + p6系數(shù)(95%置信區(qū)間)：p1 = -0.0009598 (-0

16、.001221, -0.0006991)p2 = 0.0701 (0.05445, 0.08575)p3 = -1.986 (-2.36, -1.613)p4 = 27.76 (23.34, 32.19)p5 = -193.4 (-219.5, -167.4)p6 = 544.6 (483.8, 605.5)誤差項平方和: 0.005715R2: 0.9999根據(jù)擬合結果，可以看出，二階和三階多項式擬合效果一般，四階和五階效果較好，故排除前兩者。而五階多項式中五次項系數(shù)過小，意義不大，故階多項式進行擬合。5.2.2 模型的建立決定選擇四知道，某地在當?shù)貢r間 12 時時，光與桿的夾角最小，桿的影

17、長最短。故可以通過桿的影長最短的時刻，與時間進行比較，從而推算出該地的經(jīng)度。將給出的數(shù)據(jù)進行擬合，得出一條四次曲線，設該曲線的極點的橫坐標為 x 時 y 分z 秒，那么該地經(jīng)度應為 = 120 15 |x + 60 + 3600 12|下面計算緯度。首先說明不同時刻的影長之比和桿長無關。設桿在兩個時刻的影長為d1 和 d2，比值為1 11 = = 222與桿長無關。同一日期，設某地 12 時的影長與 15 時的影長比為，則有1 = 2在第一問中知道1 和2 是緯度的函數(shù)，故亦為緯度的函數(shù)，又由地球的對稱性可知，在同一緯度的各個經(jīng)度上，的照射規(guī)律是一樣的，故與經(jīng)度無關?，F(xiàn)在， 從南緯 60到北緯

18、 60每隔 0.1取一點，計算出當?shù)?12 時與 15 時的影長之比，得到了與的一個關系曲線。這時用之前擬合出的曲線，讀出 12 時和 15時的影長，得到該地的影長之比，再對應到與的關系曲線中，最終得到，即該地的緯度。5.2.3 模型的解決(1)擬合曲線通過附件 1 的數(shù)據(jù)，計算出各個時刻的長度：然后擬合出時間與影長的四次曲線：f(x) = 0.013874 0.80243+17.512 170.1x + 620該曲線的極點所對應的橫坐標為 12 時 39 分，可以得到該點經(jīng)度39 = 120 15 60 = 110.25通過曲線得到 12 時與 15 時影長的比值(12) = (15) =

19、0.3827再通過與的關系曲線，令=0.3827，得到的值，讀圖得=-14.77或 33.01，因為-14.77所在地點為海域，故舍去，所以得出測量地點為東經(jīng) 110.25，北緯 33.01。5.3 問題三的模型建立和解決5.3.1 模型的建立問題三和問題二類似，但沒有告訴日期，因此需將問題二的模型稍作改動。首先，用附件二、三給的數(shù)據(jù)擬合出時間與影長的四次曲線。設該曲線的極點的橫坐標為x 時 y 分 z 秒，那么該地經(jīng)度應為 = 120 15 |x + 60 + 3600 12|同時可以算出 12 時與 15 時的影長比。然后由第二問可知，在同一天中桿子在 12 時和 15 時的影長之比為緯度

20、的函數(shù)，可以做出 關系曲線。那么不同的日期就會有不同的曲線。將計算出的分別帶入各個日期所對應的曲線，可以得到交點，即為該地的緯度。5.3.2 模型的解決通過附件 2 的數(shù)據(jù)，計算出各個時刻的長度：然后擬合出時間與影長的四次曲線：f(x) = 0.0042214 0.21613+4.2412 38.25x + 135.7解出最低點的橫坐標 14 時 45 分 45 秒，得到經(jīng)度為東經(jīng)78.56。通過同時算出影長比(12) = (15) = 0.1487然后畫出各個日期的 關系曲線。由于一年有 365 天，無法每天都畫出，這里僅選出具有代表性的幾天畫出。以夏至日為例， = 0.1487與其有 3

21、個交點，考慮最左端的交點，從下降的趨勢來看，沒有實際意義，故舍掉。取右邊兩點，緯度為北緯 15.48和北緯 31.38。即得到附件二數(shù)據(jù)的拍攝地點有可能是6 月22 日（夏至）的東經(jīng)78.56，北緯15.48或31.38。取多組日期，用所示：分別計算桿所在的緯度，得到了日期和緯度的關系如下圖此曲線能夠清晰準確地反應測量地點的時空關系。附件三的數(shù)據(jù)同理附件二，進行操作，得到如下結果：f(x) = 0.011224 0.58413+11.672 105.6x + 367.9極點所在橫坐標為 12 時 27 分 24 秒，得到經(jīng)度為東經(jīng) 113.15。然后畫出各個日期的 關系曲線。從圖上可以得到，附

22、件三的拍攝的時間、地點可能 3 月 21 日（春分）的南緯 50，或 6 月 22 日（夏至）的北緯 58。問題四的解決問題分析問題的直接獲得在于如何提取中的長短的信息。由于拍攝角度刁鉆，無法的長度，這就需要用到、圖像處理的技術。得到的長度數(shù)據(jù)后，就可以用前面構造的模型進行求解。5.4.2 問題解決為了便處理中的信息，對原始用 XVID 方式進行了轉(zhuǎn)碼，轉(zhuǎn)碼后的視頻的幀大小是 856*480。截圖后用 PS 處理（見示意圖中分析），得出必要的信息，如桿的像素長度，桿和地面接觸部分的坐標等。再利用 OpenCV 計算機視覺庫結合 VC，每兩分鐘從中一幀，人工點選，然出來。后程序計算出影長（以桿長

23、為），把時間、xy 坐標、影長，進行四階擬合，得到：接著把數(shù)據(jù)導入f(x) = 1.2454 + 46.013637.62 3592x 9052極點 9 時 51 分 9 秒，可計算出經(jīng)度為東經(jīng) 1521245”。再根據(jù)當?shù)貢r間正午影長，算出光線和桿的夾角，然后緯度 = ，從而算出緯度。為北緯 841751“或南緯 40586“對于第四問的最后一個問題，經(jīng)度的計算方法不變。對于緯度， 與緯度就是那天的那么它的正午所以緯度不應該在比不能算出。注意到。此地影長比是 0.0089，接近 0，也就是說該地可能的時期直射點所在緯度，高度角是 90 度，投影是 0，而計算出的正午影長離 0 較遠，直射點緯度附近。所以，不能計算它的日期和地點，至少用影長六、模型評價與改進6.1 建立時間與長度的函數(shù)模型，即運用四階多項式進行擬合，運用最低點有效說明了經(jīng)度，模型假設大膽合理，且理論嚴謹。6.2 通過擬合時間-影長關系得到經(jīng)度，通過定義影長比來確定測量地點的緯度，方法具有一定的創(chuàng)新性且根據(jù)分析影長比確實是緯度的函數(shù)，而且在是 0，符合實際情況。直射點的緯度影長比6.3 由于日期是離散的，對于每天可以得出影長隨緯