固體物理第二章答案

1、 第2章晶體的結(jié)合1-有一晶體,平衡時體積為V0,u(r)=原子間相互作用勢為U如果相距為r的兩原子互作用勢為0a0+-rmrn證明(1)體積彈性模量為K=|U|Imno9V.0(2)求出體心立方結(jié)構(gòu)惰性分子的體積彈性模量.解答設(shè)晶體共含有N個原子，則總能量為U(r)=Wu()2ijij由于晶體表面層的原子數(shù)目與晶體內(nèi)原子數(shù)目相比小得多，因此可忽略它們之間的基異，于是上式簡化為Ny()U=yuV2jijy1y1再令A(yù)=y,A=y一,得到mamnanjjjj平衡時R=R，則由已知條件U(R)0設(shè)最近鄰原子間的距離為R則有r=aRoA0Am+nRmRn丿00jN(U=_0=oA+pA2IU0得0、

2、mRm0由平衡條件dU(R)dRR)n0AmnRm+1Rn+100NmoAI由(1)，(2)兩式可解得2UoA=0nRm,mN(mn)02UpA=0nRn.nN(mn)0利用體積彈性模量公式參見固體物理教程19V20r2a2U、K=i9VIaR20得心(2.14)式Nm(m+)oAn(n+1)0Am+nRn0Rm0丿R0m(m+1)2UnRmn(n+1)2UmRn00+00-RmN(mn)RnN(mn)000,因此U=IU|,于是K=|UImn=U.09V0Imno莎.0(1)由固體物理教程(2.18)式可知,一對惰性氣體分子的互作用能為由于U06 6 u(r)=-+.若令r6r12則N個惰性

3、氣體分子的互作用勢能可表示為由平衡條件dUdRR)dRRoG、12AA126iR丿=0可得Rmn代入K=|U.并取m=6,n=12,o9V016.進(jìn)一步得f2A)12IA6丿V=牛3得K=竺A3J3(U二U(R)00NA24.2A12邁G312IA70.1=9.11.于是K=.G32.一維原子鏈，正負(fù)離子間距為a，試證:馬德隆常數(shù)為卩=21n2.解答相距r的兩個離子間的互作用勢能可表示成ij對體心立方晶體有A二12.25,A612A)52-612丿q2bu(r)=+.ij4兀rrnijij設(shè)最近鄰原子間的距離為R則有則總的離子間的互作用勢能U=N工u(r)=N一2ijjv1基中y=Y土-a為離

4、子晶格的馬德隆常數(shù)，式中+;-號分別對應(yīng)于與參考離子相異和相同的離子.任選一正離子作為參考離子，在求和中對負(fù)離子到正號，對正離子取負(fù)號，考慮到對一維離子兩邊的離子是正負(fù)對稱分布的，則有旦=21ajr=aR,ijj土1)24兀R0j丄工上Rnanjj1111.-+34+.利用正面的展開式ln(l+x)x一丄厶*Tx2x3x4+,234j并令x=1得1-2+1-4+=1n(1+1)=1n2.于是，一維離子鏈的馬德常數(shù)為一21n23.計算面心立方面簡單格子的A和A12612只計最近鄰;計算到次近鄰;計算到次近鄰.解答圖2.26示出了面心立方簡單格子的一個晶胞.角頂0原子周圍有8個這樣的晶胞，標(biāo)號為1

5、的原子是原子O的最近鄰標(biāo)號為2的原子是O原子的最近鄰，標(biāo)號為3的原子是O原子的次次近鄰.由此得到，面心立方簡單格子任一原子有12個最近鄰,6個次近鄰及24個次次近鄰.以最近鄰距離度量，其距離分別丿為:a=1,a=v2,a=耳3.由jjjL/八6=Y1-1jIaj丿,A121、12、a丿jIj丿 得612只計最近鄰時A=12*6(2)計算到次近鄰時6+6*=12,A(1)=12*12=12.A(2)=12*6丄=12.750,山;2丿f1)1丿(3)計算到次次近鄰時f1)1丿A(2)=12*12A=12*612+6*12=12.094.+24*6=12.750+0.899=13.639,由以上可

6、以看出,由于A12f1)1丿中的幕指數(shù)較大，A收斂得很快，而A中的幕指數(shù)較小，因此A收斂得較慢，通常所采用的面心立方簡單格子的1266A和A的數(shù)值分別是14.45與12.13.6124.用埃夫琴方法計算二維正方離子(正負(fù)兩種)格子的馬德隆常數(shù).v1解答馬德隆常數(shù)的定義式為卩=丫土，式中+、-號分別對應(yīng)于與參考離子相異和相同的離子,二維正方離子a(正負(fù)兩種)格子,實(shí)際是一個面心正方格子,圖2.7示出了一個埃夫琴晶胞設(shè)參考離子。為正離子,位于邊棱中點(diǎn)的離子為負(fù)離子,它們對晶胞的貢獻(xiàn)為4*(1/2).對參考離子庫侖能的貢獻(xiàn)為A(3)=12*1212+24*1r=12.094+0.033=12.127

7、.圖2.7二維正方離子晶格4*1_2T4*1頂角上的離子為正離子,它們對晶胞的貢獻(xiàn)為4*(1/4),對參考離子庫侖能的貢獻(xiàn)為-一因此通過一個埃4*14*1夫琴晶胞算出的馬德隆常數(shù)為V-誓=3.再選取22=4個埃夫琴晶胞作為考慮對象這時離子,而邊棱上的離子對庫侖能的貢獻(xiàn)為O的最的鄰,次近鄰均在所考慮的范圍內(nèi),它們對庫侖能的貢獻(xiàn)為4*18*1_2+_24*1頂角上的離子對為庫侖能的貢獻(xiàn)為-一-r=4,這時算出的馬德隆常數(shù)為j.-1*1-41(*d*11p圖2.84個埃夫琴晶胞同理對32=9個埃夫琴晶胞進(jìn)行計算，所得結(jié)果為4*1812+廠4_11_+I482+?5_對42=16個埃夫琴晶胞進(jìn)行計算，

8、所得結(jié)果為廠4_4、1.n_1nn_1nCn_1j2/12+12丿2Q22+222丁22+12丿I.，+2J(n-1)2+(n-1)2(1)1+(1)n_i,=、i(n1)2+121I；(n1)2+(n2)211+JI8.n2+n22、.；n2+(n+1)2+(_1)n12n2+12用埃夫琴方法計算CsCl型離子晶體的馬德隆常數(shù)只計最近鄰取八個晶胞解答圖2.29是CsCl晶胸結(jié)構(gòu)，即只計及最近鄰的最小埃夫琴晶胞，圖2.29C)是將Cs+雙在體心位置的結(jié)構(gòu),圖2.9(a)是將Cl-取在體心位置的結(jié)構(gòu)，容易求得在只計及最近鄰情況下，馬德隆常數(shù)為1.圖2.29(a)Cs取為體心的CsC1晶胞，(b)

9、C1取為體心的CsC1晶胞圖2.10是由8個CsCl晶胞構(gòu)成的埃夫琴晶胞,8個最近鄰在埃夫琴晶胞內(nèi)，每個離子對晶胞的貢獻(xiàn)為1,它們與參考離子異號，所以這8個離子對馬德隆常數(shù)的貢獻(xiàn)為8埃夫琴晶胞6個面上的離子與參考離子同號,它們對埃夫琴晶胞的貢獻(xiàn)是2，它們與參考離子的距離為2R3它6*C)31埃夫琴晶胞楞上的12個離子，與參考離子同號，它們對埃夫琴晶胞的貢獻(xiàn)是了它們與參考離子的距離為422R12*(1/4)夫琴晶胞的貢獻(xiàn)是1它們與參考離子的距離為2R它們對馬德隆常數(shù)的貢獻(xiàn)為-8*2,由8個CsCl晶胞82喬它們對馬德隆常數(shù)的貢獻(xiàn)為-亍23埃夫琴晶胞角頂上的8個離子，與參考離子同號，它們對埃6*(

10、1/2)12*(1/4)8*(1/8)構(gòu)成的埃夫琴晶胞計算的馬德隆常數(shù)卩二8-2/3-亍23-2二3.064806.為了進(jìn)一步找到馬德常數(shù)的規(guī)律，我們以計算了由27個CsCl晶胞構(gòu)成的埃夫琴晶胞的馬德隆常數(shù)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，由27個CsCl晶胞構(gòu)成的埃夫琴晶胞的馬德隆常數(shù)是0.439665馬德隆常數(shù)的不收斂，說明CsCl晶胞的結(jié)構(gòu)的馬德隆常數(shù)不能用傳統(tǒng)的埃夫琴方法計算.為了找出合理的計算方法，必須首先找出采用單個埃夫琴晶胞時馬德隆常數(shù)不收斂的原因.為了便于計算，通常取參考離子處于埃夫琴晶胞的中心如果以Cs+作參考離子，由于埃夫琴晶胞是電中性的要求，則邊長為2pa(p是大于或等于1的整數(shù))的埃夫琴晶胞

11、是由(2p)3個CsCl晶胞所構(gòu)成，埃夫琴晶胞最外層的離子與參考離子同號，而邊長為(2p+1)的埃夫琴晶胞是由(2p+1)3個CsCl晶胞所構(gòu)成，但埃夫琴晶胞的最外層離子與參考離子異號,如果以C1-作參考離子也有同樣的規(guī)律，設(shè)參考離子處于坐標(biāo)原點(diǎn)0，沿與晶胞垂直的方向(分別取為x,y,z圖2.11示出了z軸)看去，與參考郭同號的離子都分布在距O點(diǎn)ia的層面上,其中i是大于等于1的整數(shù)，與O點(diǎn)離子異號的離子都分布在距O點(diǎn)(i-0.5)a的層面上，圖2.11(a)示出了同號離子層，圖2.11(b)示出了異號離子層.圖2.11離子層示意圖表示同號離子層，0離子所在層與0離子所在層相距ia表示異號離子

12、層，0離子所在層和0離子所在層相距(i-0.5)a當(dāng)CsCl埃夫琴晶胞邊長很大時，晶胞最外層的任一個離子對參考離子的庫侖能都變得很小，但它們對參考離子總的庫侖能不能忽略對于由(2p)3個CsC晶胞所構(gòu)成的埃夫琴晶胞來說，最外層有6*(2p)2個與參考離子同號的離子,它們與參考離子的距離為(1/2)pa.;3/2)pa，它們與參考離子的庫侖能為pe2/4脫a量級,這是一個相對大的正值對于由(2p+1)3個CsCl晶胞所構(gòu)成的埃夫琴晶胞來說，離外層有6*(2p+1)2個與參考離子異號的離子，它們與參考離子的庫侖能為-pe2隔a量級，這是一個絕對值相對大的負(fù)值,因此，由(2p)3個CsCl晶胞構(gòu)成的

13、埃夫琴晶胞所計算的庫侖能，與由(2p+1)3個CsCl晶胞構(gòu)成的埃夫琴晶胞所計算的庫侖能會有較大的差異.即每一情況計算的庫侖能都不能代表CsCl晶體離子間相互作用的庫侖能.因此這兩種情況所計算的馬德隆常數(shù)也必定有較大的差異,由1個CsCl晶胞、8個CsCl晶胞和27個CsCl晶胞構(gòu)成的埃夫琴晶胞的計算可知，CsCl埃夫琴晶胞體積不大時，這種現(xiàn)象已經(jīng)存在.為了克服埃夫琴方法在計算馬德隆常數(shù)時的局限性，可采取以下方法，令由(2p)3個CsCl晶胞構(gòu)成的埃夫琴晶胞計算的庫侖能為U，由(2p+1)3個CsCl晶胞構(gòu)成的埃夫琴晶胞所計算的庫侖能為U，則CsCl晶體離子間相互作用的11庫侖能可近似取作U=

14、1(U+U)(1)212因子1/2的引入是考慮除了(2p+1)3個CsCl晶胞構(gòu)成的埃夫琴晶胞最外層離子外，其他離子間的庫侖能都累計了兩偏，計算U和U時要選取體積足夠大的埃夫琴晶胞，此時埃夫琴晶胞最外層離子數(shù)與晶胞內(nèi)的離子數(shù)相比是個很小121的數(shù)，相應(yīng)的馬德隆常數(shù)應(yīng)為卩=2(卩+卩)(2)212LI由(2p+1)3個CsC1iIaJji其中：卩=工(土丄是由(2p)3個CsC1晶胞構(gòu)成的埃夫琴晶胞計算的值1jIji晶胞構(gòu)成的埃夫琴晶胞所計算成本的值._為簡化計算，特選取晶胞邊長a為計算單位，由于2R二v3a,所以a丿I(3)其中a是某一離子到參點(diǎn)的距離與a的比值.i考慮到對稱性，對選定的埃夫琴

15、晶胞，把晶胞的離子看成分布在一個個以參考離子為對稱心的正六面體的六個面上，體積不同的正六面六個面上的離子分別計算.由(2p)3個CsC1晶胞構(gòu)成埃夫琴晶胞時，由分析整理可得卩=1!(遲A+1LB+C12(iipi=1i=1由(2p+1)3個CsC1晶胸構(gòu)成埃夫琴晶胞時,卩衛(wèi)EA+2LB+D:22(iip丿i=1i=1(4)(5)iikA=EXxy(1ip)其中：i;(p)xyJx2+y2+12A表示與O點(diǎn)距離為ia的6個面上所有的離子對馬德隆常數(shù)的面貢獻(xiàn)，因?yàn)檫@些離子與參考離子同號,故到負(fù)i號.x、y是離子在平面oxy上的坐標(biāo)，k代表6個面上等價離子的個數(shù)，其取值規(guī)則為：xy在角上(如E點(diǎn))，

16、即x=i且y=i.時，k=8；k=6xyk=12xyxy在棱與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)(如F點(diǎn))，x=i且y=0或x=0且y=0時，在棱上的其他點(diǎn)(如H、I點(diǎn))即不滿足上述條件，且x=i或y=i.時,在O點(diǎn)，即x=0且y=0時，k=6xyk(5)在除O點(diǎn)外的面上的點(diǎn)(如J點(diǎn))，即不滿足上述條件時，k=24.xyB=旁另$=(1ip),(7)x=0.5y=0.5寸x2+y2+(i-0.5)2B代表距0點(diǎn)距離為(i-0.5)a的6個面上的離子對馬德隆常數(shù)的貢獻(xiàn)，因?yàn)檫@種些離子與參考離子異號，故取i正號.x,y是離子在平面oxy上的坐標(biāo)，k代表這6個面上等價離子的個數(shù)，其取值規(guī)則為：xy在角上(如K點(diǎn))，即x=

17、i且y=i.時，k=8;xy在棱下(如L、M點(diǎn))，即不滿足不述條件，且x=i或y=i時，k=12；xy在面上(如N點(diǎn))好不滿足上述條件時，k=24.xykC=左(i=p),x=0y=0Jx2+y2+i2kxyD=送送直(i=p),x=0.5y=0.5十x2+y2+(i-0.5)2D表示在邊長為2(p+1)a的晶胞最外層，即與參考離子相距(p+0.5)a的離子層對馬德隆常數(shù)的貢獻(xiàn)，應(yīng)取正號，與iB的不同在于k的取值：i(1)在角上，C表示在邊長為2pa的晶胞最外層，即與參考離子相距pa的6個面上的離子對馬德隆常數(shù)的貢獻(xiàn)，應(yīng)取負(fù)號，與Aii的不同在于k的取值：(1)在角上，xyk=k/8;xyxy

18、(2)在棱上，k=k/4;xyxy(3)在面上，k=kxy/2.xyxyk=k/8;TOC o 1-5 h zxyxy(2)在棱上,k=k/4;xyxy(3)在面上,k=k/2.xyxy表2.1給出了計算結(jié)果,給出的卩是由分別對應(yīng)2p和2p+1的卩和卩求得的，實(shí)際上，卩和卩只需對應(yīng)邊長相近的1212埃夫琴晶胞即可，如取對應(yīng)2p和2p-1的埃夫琴晶胞也可得到一樣的收斂結(jié)果,由以上數(shù)據(jù)可見，馬德隆常數(shù)卩隨晶胞邊長的增大而迅速收斂.該方法適用于NaCl結(jié)構(gòu)以外離子晶體馬德隆常數(shù)的計算.表2.21CsCl晶體結(jié)構(gòu)馬德隆常數(shù)2pu12p+1u2u23.06480630.4396651.752235543

19、.10240150.4155941.7589975103.119695110.4050771.7623860503.122891510.4024531.76267201003.1229911010.4023581.76267452003.1230162010.4023341.76267503003.1230213010.4023291.76267504003.1230224010.4023271.76267455003.1230235010.4023271.75267506003.1230236010.4023261.76267457003.1230247010.4023261.7626750

20、8003.1230248010.4023261.7626750只計及最近鄰間的排斥作用時,一離子晶體離子間的互作用勢為“/e2九e一Rp,(1)R(1)最近鄰(2)最近鄰以外+空，r式中九P是常數(shù),R是最近鄰距離，求晶體平衡時，原子間總的互作用勢.解答設(shè)離子數(shù)目為+U=N2N,以r=aR表示第j個離子到參考離子i的距離，忽略表面效應(yīng)，則總的相互作用能可表示為ijj+九e-rpaRIj丿(工表示最近鄰)=N號+ZXeRP，其中土丄a丿i為馬德隆常數(shù)，+號對應(yīng)于異號離子，-號對應(yīng)于同號離子；Z為任一離子的最近鄰數(shù)目，設(shè)平衡時R=R0，由平衡條件dUdRue2Z九+R0R20e-Rp=0,得P平衡時

21、的總相互作用為ue2p=Zke-Rop.R20U(Ro)=Nue2+Z九e-R0PNue2fp1R0R0IR0丿設(shè)離子晶體中,離子間的互作用勢為-e2+，最近鄰u(r)彳RRm土e2，最近鄰以外Ir求晶體平衡時，離子間總的相互作用勢能U(R)0證明：U(Ro)-m-1其中卩是馬德隆常數(shù)，Z是晶體配位數(shù)解答(1)設(shè)離子數(shù)目為2N，U=N、e2+aRj以r二aR表示第j個離子到參考離子i的距離，忽略表面效應(yīng)，則總的相互作用能可表示ijj(工表示最近鄰)Rm=NRmv1其中卩=丫土一，為馬德隆常數(shù),+號對應(yīng)于異號離子，-號對應(yīng)于同號離子.z為任Ia丿ijR=R由平衡條件0離子的最近鄰數(shù)目，設(shè)平衡時d

22、UZmbdrR2Rm+1=0,得ZmbRm-1R0Zmb于是，晶體平衡時離子間總的相互作用勢能U=N0ZmbRm0+Z工Rm0NZb(m-1).Rm0(2)晶體平衡時離子間的相互作用勢能可進(jìn)一步化為m-1U=-(m-1)Nb一王一0m_Zmbm-1Pe2丿-(m1)Nb(卩me2m)m1Zm-1(mb)mm-1由上式可知Uoloc、亠m-1&一維離子鏈，其上等間距載有正負(fù)2N個離子，設(shè)離子間的泡利排斥只出現(xiàn)在最近鄰離子之間，且為b/Rn,b,n是常R是兩最近鄰離子的間距,設(shè)離子電荷為q,廠、2Nq21n2(1)試證明平衡間距下U(R)=-廠1-；04脫R(n丿00(2)令晶體被壓縮，使R0TR

23、0(1-5)，試證明在晶體被壓縮單位長度的過程中外力作功的主項(xiàng)為c舟2其中(n-1)q21n2c=；R0求原子鏈被壓縮了2NR5(512(、o12o6A=0得4812+6Idr丿(r13r7丿r=r0.于是有r=216o=1.12o0再代入u的表示式得由于|u(i)|是兩分子間的結(jié)合能，所以8即是兩分子處于平衡時的結(jié)合能,o具有長度的量綱，它的物理意義是，o是互作用勢能為0時兩分子間的間距.13.如果離子晶體中離子總的相互作用勢能為U(r)=NZ九e-/p4兀8r0求晶體的壓縮系數(shù)，其中九,P為常數(shù),Z為配位數(shù).解答壓縮系數(shù)k等于體積彈性模量K的倒數(shù)，即k=丄.KR0NR2Im2Z九eR0P9

24、VI2兀8R3p2000式中R0為平衡時相鄰原子間的距離，由平衡條件0，得Uq2ZXe-R0P2兀8R3p200即e-R0P=ppq22兀8ZKR00由以諸式得k=NR209V：0uq2ZXe-R0p2兀8R3p20018U8V00NUq212pR0個對稱矩陣.14取一AxAyAz立方體積元，以相對兩面中點(diǎn)連線為轉(zhuǎn)軸,列出轉(zhuǎn)動方程，證明應(yīng)力矩陣是解答如圖2.21所示,在彈性體內(nèi)取一立方體積元，體積元邊長分別為Ax,Ay,Az,C點(diǎn)的坐標(biāo)是x,y,z.對于以前后兩面中心AB為轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動，上下表面上的應(yīng)力T形成了力偶,左右兩表面上的應(yīng)力T也形成了力偶，體積元繞AB軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動yxxyQTAzAzT

25、AzAy(T+yzAy)AxAy+TAxAy-(T+存Ay)AxAz-TAxAzyzQy2yz2zyQy2zy2Q20AB基中0是體積元繞AB軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動角，I是體積元繞AB軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量,其值為ABABI=pAxAyAzf(Ay)2+ABI1212由上式可知，當(dāng)Ax,Ay,Az趨于0時，轉(zhuǎn)動慣量IAB更快地趨于0,于是轉(zhuǎn)動方程化為(QT)(QT)T+yzAy+T-T+zyAy(yzQy丿yz(zyQy丿因?yàn)閼?yīng)力的梯度不能突變,所以當(dāng)趨于時,由上式可得+T=0zyyzzy同理可得二T,Txzzxxyyx由此可知,應(yīng)力矩陣tTT_TTT_xxxyxzxxxyxzTTT=TTTyxyyyzxyyyyzTTTTTTzxzyzzxzyzzz是一個對稱矩陣15.六角晶體有5個獨(dú)立的彈性勁度常數(shù)c=c,c=c,c=c,c=2(c-c),c其他常數(shù)為零，取a軸與x112223135544662112233,軸重合,取c軸為z軸,彈性波在xy平面內(nèi)(任意方向)傳播,試求三個波速;對應(yīng)三種模式的質(zhì)點(diǎn)的位移方向解答按照已知條件,六角晶體的彈性勁度常數(shù)矩陣為 ccc000-111213c12c11c13000c13c13c33000,c=(c一c)000c44006611120000c44000000c66c12+c12一c11x66y