北理工高等代數(shù)課件

1、2.4 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)1非齊次線性方程組 其中令 2則方程組（*）可表為 結(jié)論：方程組（*）有解 可由 線性表出 秩 = 秩 3秩(A) = 秩( )，這里 = A , b 定理 非齊次線性方程組 有解的充分必要條件是 秩 = 秩( ) 推論 當(dāng)非齊次線性方程組 有解時(shí)，解無(wú)窮多的充分必要條件是秩(A) A的列數(shù) = 未知數(shù)個(gè)數(shù) 4非齊次方程組（*）：AX = b齊次方程組（*）：AX = 0 稱(chēng)（*）為（*）的導(dǎo)出方程組。性質(zhì) (1) 設(shè) 是非齊次線性方程組 AX = b的任意兩個(gè)解向量，則 是其導(dǎo)出方程AX=0的解向量； 5 (2) 設(shè) 是非齊次線性方程組 AX = b的任一個(gè)解

2、向量， 是其導(dǎo)出方程組 AX = 0的任一個(gè)解向量，則 是 AX = b的解向量。 定理 設(shè)非齊次線性方程組 AX = b有無(wú)窮多個(gè)解，則其一般解為 其中 是 AX = b的一個(gè)特解， 是導(dǎo)出方程組 AX = 0的一個(gè)基礎(chǔ)解系， 是 t個(gè)任意常數(shù)。 6例 求下列方程組的一般解解 7考慮方程組8 一般解為9例 已知非齊次方程組的兩個(gè)解 ，求其一般解。 解 因?yàn)榉匠探M有兩個(gè)解，解不唯一，故其系數(shù)矩陣 A的秩小于等于2。 又A的前兩行線性無(wú)關(guān)，說(shuō)明 A的秩大于等于2。由此得 秩(A) = 2。 于是，原方程組的導(dǎo)出方程組 AX = 0的基礎(chǔ)解系含 3-2=1個(gè)解。10可取作為導(dǎo)出方程組的基礎(chǔ)解系，取

3、 作為原方程組的特解，則原方程組的一般解為 思考題 設(shè) AX=0是非齊次線性方程組 AX=b的導(dǎo)出方程組，問(wèn) （1）AX = 0有非零解 AX = b有無(wú)窮多解？ （2）AX = b有唯一解 AX = 0只有零解？ 11小結(jié)：1. 求線性表出2. 判別線性相關(guān)性 3. 求向量組的秩與極大無(wú)關(guān)組 4. 求矩陣的秩 5. 求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系 6. 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)12 例 證明：若向量組 線性相關(guān)，則向量組 也線性相關(guān)。 證明 因?yàn)?可由 線性表出，所以秩 秩 已知 線性相關(guān)，故有秩 n13于是，秩 n 由此可得 線性相關(guān)。 例 證明：若向量組 線性無(wú)關(guān)，則向量組 當(dāng) n為奇數(shù)時(shí)線

4、性無(wú)關(guān)，當(dāng) n為偶數(shù)時(shí)線性相關(guān)。證明 令 ，則14因 線性無(wú)關(guān)，故 （1） 討論此齊次方程組有無(wú)非零解：15取其系數(shù)矩陣對(duì) A順序做初等行變換16當(dāng) n為奇數(shù)時(shí)，A可化為 此時(shí)，齊次方程組（1）只有零解，故有 于是， 線性無(wú)關(guān)。17當(dāng) n為偶數(shù)時(shí)，A可化為 此時(shí)，齊次方程組（1）有非零解，故 線性相關(guān)。 18證明： 線性無(wú)關(guān)。 例 設(shè) 是非齊次線性方程組 的一個(gè)特解， 是導(dǎo)出方程組 的一組基礎(chǔ)解系。令證明 令 則（1） 19由此得因?yàn)?，故 （2） 20于是由 式(1) 得 已知 是基礎(chǔ)解系，它們線性無(wú)關(guān)，故 再由 式(2)得 。所以, 線性無(wú)關(guān)。 21例 設(shè) （1）證明：若 AY = b有解

5、，則 的任一組解也是 的解； （2）證明：AY = b有解 無(wú)解，其中O是 零矩陣。 22 證明 （1）設(shè) AY = b有解，則存在一個(gè) ，使 。于是， 。 任取 的一個(gè)解 ，則 。 因 故 是 的解。 （2） 設(shè) 有解，則有23因24故 由此得 設(shè) ，則 25又故 26由此得 所以，方程組 AY = b有解。 27例 已知四元齊次線性方程組 （I） 與四元齊次線性方程組（II）的一般解 問(wèn)方程組（I）與（II）有無(wú)非零公共解？求它們的全部公共解。解 （法一）易得方程組（I）的一般解為 28 設(shè) 是方程組（I）與（II）的公共解，則存在數(shù) 使 即因向量組 線性相關(guān)，故存在不全為零的 ，使上式成

6、立。由此可知，方程組(I) 與 (II)有非零公解 。29由上式可得解得其一般解為于是，方程組（I）與（II）的全部公共解為 30（法二） 因方程組（II）的一般解為 代入方程組（I）有由此得所以，方程組（I）與（II）的全部公共解為 31例 考慮方程組(I) (II) 在只能處理3位有效數(shù)字的計(jì)算機(jī)上討論它的解。討論 首先方程組(I)的理論解為 方程組(II)的理論解為 321. 把 舍入為 1.01，得 的解為的解為 332. 把 1.015舍入為 1.02，得的解為 的解為 34 上述討論可得，方程組()的系數(shù)的一個(gè)極小變化對(duì)解產(chǎn)生很大影響，稱(chēng)這樣的方程組為病態(tài)的。而方程組()則無(wú)此現(xiàn)象

7、，相應(yīng)稱(chēng)之為良態(tài)的。 例（投入產(chǎn)出問(wèn)題）假設(shè)有三戶人家，其中一戶有一人是木工，令一戶有一人是電工，第三戶有一人是水管工。三家約定合作修理他們的住房。他們共同制訂了一個(gè)修理計(jì)劃： 每戶出一人，工作十天，并且每人工作一天應(yīng)由三家共同支付工資（包括維修自己的住房）。具體日程表如下 35出于可以理解的原因，這三戶要求滿足如下的平衡條件：“每戶在十天內(nèi)的總支出=其總收入” 36 若規(guī)定每個(gè)工人的日工資在68元間浮動(dòng)，則我們的問(wèn)題是，如何確定每個(gè)工人的日工資數(shù)額，以使上述修理計(jì)劃得以實(shí)現(xiàn)。 解 設(shè) 分別表示木工、電工、水管工的日工資，則平衡條件可以表示為 整理并寫(xiě)成矩陣形式，得 37所以， 是齊次線性方程

8、組的解。不難求出上述方程組的一般解為 38這里，k是任意常數(shù)。 根據(jù)事先規(guī)定的工資浮動(dòng)范圍，可取 k=0.2。由此得木工、電工、水管工的日工資分別為 6.2元，6.4元，7.2元。 39 這個(gè)例子有一個(gè)顯著特征：我們把這三個(gè)工人看成一個(gè)經(jīng)濟(jì)體系中的三個(gè)主體（稱(chēng)為企業(yè)），他們?cè)讷@得投入（工資）的前提下，都具有產(chǎn)出（工作）的能力。而且，每個(gè)人的產(chǎn)出量（天數(shù)）是確定的，但產(chǎn)出的價(jià)格（日工資）不確定。我們需要確定每個(gè)人的產(chǎn)出價(jià)格，以使在固定時(shí)間周期（天）內(nèi)，每個(gè)人的總產(chǎn)出等于其所獲得的總收入。顯然，這三個(gè)工人在這天就構(gòu)成了一個(gè)自給自足式的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)。40 下面考慮一般情況。假設(shè)有一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)由k個(gè)企業(yè)構(gòu)

9、成，順序給這些企業(yè)標(biāo)號(hào)為第1，第2，第k個(gè)企業(yè)。在一個(gè)固定時(shí)間周期內(nèi)，每個(gè)企業(yè)都能產(chǎn)出或提供可被整個(gè)系統(tǒng)完全利用的某種商品或服務(wù)（產(chǎn)出量是確定的）。一個(gè)重要問(wèn)題是如何確定這 k個(gè)企業(yè)產(chǎn)出的價(jià)格，以使每個(gè)企業(yè)的總產(chǎn)出等于其總收入。這樣的價(jià)格結(jié)構(gòu)反映出該經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)處于一個(gè)自我平衡的狀態(tài)。 41在固定時(shí)間周期內(nèi)，令 第 i 個(gè)企業(yè)關(guān)于其總產(chǎn)出的報(bào)價(jià) 第 j 個(gè)企業(yè)被第i個(gè)企業(yè)購(gòu)買(mǎi)的那部分產(chǎn)出在其總產(chǎn)出中的比值， 根據(jù)上述定義，得 42稱(chēng) P為價(jià)格向量，A為交易矩陣。則該經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)可公式化為 或上式為一個(gè)關(guān)于向量P的齊次線性方程組。 它有非零解 令43因?yàn)榻灰拙仃嘇的每列元素的和均為1，故可知所以，方程組 總有非零解。但是