空間解析幾何上篇概況

1、空解精要(簡(jiǎn)單部分)序空間解析幾何，是數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課中最容易的一個(gè)板塊。 無(wú)需像 高代一樣必須參透一切，也不需像數(shù)分一樣必須無(wú)限刷題。一般說(shuō)來(lái)， 只需要上課聽(tīng)講，完成作業(yè)，然后稍微復(fù)習(xí)一下，便可以得到 90分 以上的成績(jī)。那接下來(lái)就來(lái)了解一下空解的精要部分。一.向量的三積(注：在這里聯(lián)系一下高代里面的“線性相關(guān)性”部分).內(nèi)積定義：內(nèi)積也成為向量的數(shù)量積，任取向量a, b,內(nèi)積的值為abcos/b),它是一個(gè)數(shù)量。用符號(hào)表示。若 a=(ai,a2,a ),b= bbh ),則 a *b =&b +a2b +a3b3.射影和射影向量射影向量：一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的正投影向量叫做射影向量。射影：

2、射影向量的模就叫做射影。記為：Prjba =|a cos/(a,b)。表示3在b上的射影。命題：1. prjb(aia2)-prjbai prjba2a 一 aprjb = prjba.a abPrJbb例題1：已知向量a與b的夾角為2n , a = 3,b = 4,計(jì)算 3(a+b 2 ;(2) (3a+2b 2.2,外積定義：向量的外積也叫叉積或者向量積，它的積是一個(gè)向量。a與b的外積記為ab它的模是：axb = a|b sin（a,b ）,它的方向與a和b都垂直，并且按a, b, 女這一順序成右手系。外積不符合交換律。由定義可知：兩個(gè)向量共線的充要條件是外積為零向量。如果a和b不共線，則

3、Cb的模表示以a, b為鄰邊的平行四 邊形的面積。 TOC o 1-5 h z 若 a=(a1,a2,a3 ),b= (“Mh ),則一 ijkab= a1a2a3 ,其中i . j , k是單位向量。4b2b3外積的運(yùn)算律：反交換律：a xb =-b xa數(shù)乘結(jié)合律：Xaxb =?，(ab)=a(?.b)左右分配律：(a+b、C = axC+b父6 ;a bc=ab ac.于是，與a和b都垂直的向量可設(shè)為Zaxb ；與a和b都垂直的單位向量可設(shè)為 裝2 a父b二重外積公式：(axbxc=(ac)b-(b，c)a例題2:在直角坐標(biāo)系中，已知a=(2-3,1ib=(1,-2,3),求與a, b都

4、垂直，且滿足下列條件之一的向量c：c為單位向量；C,d=10,其中 d =(21-7).混合積定義：兩個(gè)向量的外積向量再與第三個(gè)向量的內(nèi)積，叫做三個(gè)向量的混合積。若 a=(a1,a2,a3 ),b= (bibh ), c=(q,C2,c 1 則(aMb),C 的值為a a2 a3bi b2 b3C1c2 c3命題1:三個(gè)向量共面的充要條件是混合積為0.命題2：若a, b, c不共面，那么a, b, c的混合積表示以 a, b, c為鄰棱的平行六面體的體積。命題3:輪換混合積的3個(gè)因子，不改變它的值，而對(duì)調(diào)任 何2個(gè)因子，都要改變符號(hào)。=_(如：(a,b,c )=( b,c,a )=( c,b,

5、a )=( b,a,c )=( c,b,a )a,c,b )例題3:證明：如果axb +bxc+cxa ,那么a, b, c共面二.平面和直線的淵源注意：在這之后的平面與直線方程都是在直角坐標(biāo)系中表 示的，不考慮仿射標(biāo)架中的。（一）.平面的方程1. 點(diǎn)位式方程我們知道，由于直線和直線外一點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，設(shè)一條直線的方向向量為v= （X, Y, Z）,直線 上一點(diǎn)為M0（x0, ybz ）,直線外一點(diǎn)為 Mi（xi,yi,zj,于 是可以用一組混合積來(lái)表示平面：(V,MMi,MMo 尸0,其中 M(x,y,z)用行列式表示為：x -X0 yyo Z-Z0X1 - x0 y - y0 Z -

6、zo = 0X Y Z由于結(jié)果是0,所以根據(jù)行列式的性質(zhì)，里面的行列 順序可以隨便寫(xiě)。一般式方程我們明顯可以發(fā)現(xiàn)，把點(diǎn)位式的方程行列式按照未知量所在的行展開(kāi)可以得到一個(gè)關(guān)于 x,y,z的三元一 次方程，記為Ax+By+Cz+D=0這樣的方程叫做平面的 一般方程，也是解題所需要的最終結(jié)果形式。在這個(gè)方程里面，注意到 A, B, C,而向量 (A, B, C)就是這個(gè)平面的法向量。截距式方程相信大家都明白截距是什么意思，它指的是平面與 坐標(biāo)軸相交的對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，如果題目給出平面在三個(gè)坐 標(biāo)軸上的截距a,b,c，聯(lián)想到中學(xué)的直線的截距式方程， 可想而知，方程可寫(xiě)為2G =1a b c4.點(diǎn)法式方程如果

7、已知平面的法向量為(A, B, C),平面上一點(diǎn)為(凡*,4 ), 那么方程可寫(xiě)為A(x-xo) B(y - yo) C(z-4)=0其中的原理是垂直于同一直線的直線剛好構(gòu)成一個(gè)平面，如果 n = (A,B,C), Mo(Xo，yo，Zo), M1(x1,y1,),則n *M0Ml =o5.一般方程的法式化如果已知方程的一般方程為 Ax + By+Cz + D = o,作為 法式方程，必須將 n = (A,B,C月位化，于是，只有在方 程左邊乘以法式化因子九即可，其中_ 1nA2 B2 C2正負(fù)號(hào)的選取與D有關(guān)，如果D為負(fù)，那么取正號(hào)， 如果D為正，取負(fù)號(hào)?；曛蟮钠矫嫒绻洖?Ax + B

8、y + Gz + Do ,此時(shí) 的法向量很明顯是個(gè)單位向量，而這個(gè)單位向量 n=(A,B1,C1)的幾何意義是：從原點(diǎn)指向平面的單位法向量。這里的D1的幾何意義是：原點(diǎn)到平面的距離定理：平面的充要條件是關(guān)于x,y,z的方程是一個(gè)三元一次的方程。（二）直線的方程標(biāo)準(zhǔn)方程我們知道，空間中的兩點(diǎn)可以確定一條直線。如果我們知道直線上確定的兩點(diǎn)Mo=（Xo,y0Z）, Mxi,yi,zi）,那么，直線的方程可以寫(xiě)為：x -Xo _ y - yo _ Z-ZoXi - Xo yi - yo Zi - Zo這樣的方程稱為兩點(diǎn)式方程。很明顯，分母組就是該直線的方向向量，于是，如果給出直線的方向向量（X,Y,Z

9、）,那么就可以寫(xiě)成：x - Xo 二 y - yo 二 z-ZoX 一 Y 一 Z這就是直線的標(biāo)準(zhǔn)方程。射影式方程在標(biāo)準(zhǔn)方程中，我們可以看到有兩個(gè)等號(hào)，表示的是兩 個(gè)等式，如果將兩個(gè)等式聯(lián)立起來(lái)，用一個(gè)未知數(shù)表示另外 兩個(gè)未知數(shù)，就可以把標(biāo)準(zhǔn)方程化為一下形式：x = aZ + b=j = bZ + d這個(gè)方程稱為直線的射影式方程3.4.一般方程我們知道，兩個(gè)相交的平面，它們的交線就是一條直線， 于是，就可以把兩個(gè)平面用花括號(hào)聯(lián)立，就變成了 一般方程, 一般方程的形式為：Ax + By+Gz+Di =0A,x + B2y+C2z + D2 =0需要注意的是：標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程都不唯一，射影式方程

10、 是一般方程的特殊結(jié)構(gòu)。標(biāo)準(zhǔn)形式和一般形式的互化標(biāo)準(zhǔn) 一般直接化成射影式即可一般標(biāo)準(zhǔn)首先令其中一個(gè)未知量為一個(gè)確定值，再解出另外兩個(gè)未知數(shù)，這樣便確定了直線上的一點(diǎn)。般方程的方向向量就是B2CA2c2 A2B2B1clA C1A B然后寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)形式即可例4.求過(guò)點(diǎn)（3, -5,1 ）和點(diǎn)（4,1,2）,垂直于平面x-8y+3z-1=0的平面方程。例5.將下列平面化成法式方程x-2y+5z-3=0 x-y+1=0三.線性圖形的位置和度量關(guān)系（一）平面與平面的位置關(guān)系在仿射坐標(biāo)系下，設(shè)兩個(gè)平面為Alx + Bly+C1z+D1 = 0 -n2： A2x +B2 y+ C2z+ D2 = 0. 相交

11、 u A1: B1: C1 A ： B2: C2, 平行u 3=絲=邑2 a2 b2 c2 d2重合一 A = B1 = C1 = D1 ,A2 - B2 _ C2 - D2（二）平面與直線的位置關(guān)系直線l和平面冗的方程分別為l : x -xo _ y - yo _ z - Z0X 一 Y 一 Zn: Ax + By +Cz + D = 0于是，相交u AX +BY +CZ 0平行 u AX +BY+CZ =0 且 Ah+Byo+C+D#。直線在平面上u AX+BY+CZ=0且Ax0 By0 Cz0 D -0（三）兩條直線的位置關(guān)系設(shè)兩條直線的方向向量分別為J,v2 ,兩條直線上分別有兩點(diǎn)M1

12、,M2。異面 u (M1M2NM -0相交u (M1M2NM )=0且C,v2不共線平行之工吊共線但和M1M2不共線重合二v1,v2, M1M2為共線向量。(四)距離公式點(diǎn)到直線直線上一點(diǎn)為Mo,直線外一點(diǎn)為M直線的方向向量為V,于是，M到直線的距離公式為M0M mVd = v意義是：平行四邊形的面積除以底邊長(zhǎng)，即為高。點(diǎn)到平面設(shè)平面方程為Ax + By+Cz + D=0,平面外一點(diǎn)為M(x0,yz ),于是聯(lián)想到中學(xué)的點(diǎn)到直線的距離公式可得：d _|Ax。二ByoJCzo二D A B2 C2 直線與直線的距離設(shè)兩條異面直線分別過(guò)M1,M2,方向向量分別為則兩條直線的距離為：,(MiM2,v；,V2j 二 幾何意義為：體積除以底面積，即為高注意：其他類型的距離都可以通過(guò)以上三種變換而來(lái), 比如平行平面的距離，可以轉(zhuǎn)換為點(diǎn)到平面的距離來(lái)求 解。例6:求二平面二；：2x - 2y z - 3 = 0二 2 ： 4x 4y 2z 5 = 0之間的距離例題7 ：求經(jīng)過(guò)直線lx +y-z + 2 = 0、4x 3y + z +2 = 0且與直線12：z = x+1,y = 3四.平面束定義：我們把空間中所有通過(guò)同一條直線的平面的集合稱為共軸平面束，這條直線叫做軸；把所有平行于同一條直線的平面的集合稱為平行