2021-2022學(xué)年云南省師大附中高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁(yè)，共 =sectionpages 3 3頁(yè)第 Page * MergeFormat 17 頁(yè) 共 NUMPAGES * MergeFormat 17 頁(yè)2021-2022學(xué)年云南省師大附中高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z的模等于（）A1BCD【答案】A【分析】由復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算可得，即可求模.【詳解】，則.故選：A2已知是第三象限角，則的值為()ABCD【答案】D【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式可求sin，根據(jù)是第三象限角和同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可求cos，再根據(jù)正弦的二倍角公式即可求解【詳解】，是第三象限角，故選：D3某校高一年級(jí)18個(gè)班參加藝術(shù)節(jié)合唱比賽

2、，通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得了10個(gè)班的比賽得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，則這組數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)為（）A91B92C92.5D93【答案】C【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排序，再應(yīng)用百分位數(shù)的求法求70%分位數(shù).【詳解】比賽得分從小到大為，而，所以70%分位數(shù)為.故選：C4函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間可以是（ ）A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)【答案】B【詳解】分析：緊扣函數(shù)零點(diǎn)的判定定理即可.詳解：函數(shù)在連續(xù)，且，故選：B.點(diǎn)睛：零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間a，b上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、

3、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)5在直角三角形ABC中，已知，以AC為旋轉(zhuǎn)軸將旋轉(zhuǎn)一周，AB、BC邊形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是一個(gè)圓錐，則經(jīng)過(guò)該圓錐任意兩條母線的截面三角形的面積的最大值為()AB4CD8【答案】D【分析】設(shè)兩條母線為AB、AD，則截面面積為，由AB=AD為定值可知當(dāng)sinBAD最大時(shí)，截面面積最大，結(jié)合圖形求出BAD的范圍即可求解【詳解】如圖，圓錐任意兩條母線為AB和AD，則截面為等腰三角形ABD，截面面積為：，由圖可知，當(dāng)截面為圓錐軸截面時(shí)，BAD最大，最大為120，BAD(0，120，sinBAD最大值為1，AB=AD=為定值，故當(dāng)sinBAD最大時(shí)截面面積最大，故截面面積

4、最大為故選：D6中，A的平分線AD交邊BC于D，已知，且，則AD的長(zhǎng)為（）AB3CD【答案】C【分析】過(guò)作交于，作交于，由向量加法的平行四邊形法則和向量的基本定理得，從而得，即可求得，最后把平方可求得【詳解】如圖，過(guò)作交于，作交于，則，又，所以，所以，即，又是的平分線，所以，而，所以，所以，故選：C7三棱柱中，與AC、AB所成角均為60，且，則與所成角的余弦值為（）ABCD【答案】A【分析】延長(zhǎng)至，使得，異面直線與所成角為或其補(bǔ)角設(shè)，求出中的三邊長(zhǎng)后可得結(jié)論【詳解】如圖，延長(zhǎng)至，使得，連接，則由與平行且相等得平行四邊形，所以，所以異面直線與所成角為或其補(bǔ)角設(shè)，則是菱形且，所以，是等邊三角形，又

5、，所以，則，所以，所以異面直線與所成角的余弦值是故選：A8如圖，蹴鞠，又名“蹋鞠”、“蹴球”、“蹴圓”、“筑球”、“踢圓”等，“跳”有用腳蹴、蹋、踢的含義，“鞠”最早系皮革外包、內(nèi)實(shí)米糠的球.因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動(dòng)，類似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.若將“鞠”的表面視為光滑的球面，已知某“鞠”表面上的四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D滿足cm，cm，cm，則該“鞠”的表面積為（）Acm2B24cm2C27cm2D29cm2【答案】D【分析】由于，所以可以把四點(diǎn)放到長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)上，則該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線就是“

6、鞠”的直徑，求出體對(duì)角線長(zhǎng)，從而可求出該“鞠”的表面積【詳解】因?yàn)椤熬稀北砻嫔系乃膫€(gè)點(diǎn)A，B，C，D滿足cm，cm，cm，所以可以把四點(diǎn)放到長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)上，則該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線就是“鞠”的直徑，設(shè)該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，“鞠”的半徑為，則，由題意得,所以，即，所以該“鞠”的表面積為，故選：D二、多選題9人口普查是世界各國(guó)廣泛采用的一種搜集人口資料的方法，根據(jù)人口普查可以科學(xué)地研究制定社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、科教等各項(xiàng)發(fā)展政策.下圖是我國(guó)七次人口普查的全國(guó)人口及年均增長(zhǎng)率情況.則下列說(shuō)法正確的是（）A年均增長(zhǎng)率逐次減小B第二次至第七次普查的人口年均增長(zhǎng)率的極差是C這七次普查的人口數(shù)逐次增加，且第四次

7、增幅最小D第七次普查的人口數(shù)最多，且第三次增幅最大【答案】BD【分析】根據(jù)折線圖判斷增幅，根據(jù)條形圖判斷人口數(shù)，逐一判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤即可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A：由折線圖知年均增長(zhǎng)率先增大后減小，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于B：由折線圖知：第二次至第七次普查的人口年均增長(zhǎng)率的極差，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：由條形圖知這七次普查的人口數(shù)逐次增加，由折線圖知：第七次增幅最小，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于D：由條形圖知第七次普查的人口數(shù)最多，由折線圖知第三次增幅最大，故選項(xiàng)D正確；故選：BD.10已知m，n是互不重合的直線，是互不重合的平面，下列四個(gè)命題中正確的是（）A若，則B若，則C若，則D若，則【答案】AC

8、D【分析】A根據(jù)面面平行的判定判斷；B由線面、面面位置關(guān)系，結(jié)合平面的基本性質(zhì)判斷；C過(guò)作平面，由線面平行性質(zhì)及平行公理的推論判斷；D由面面垂直的判定判斷.【詳解】A：由，且，根據(jù)面面平行的判定知：，正確；B：，則或，錯(cuò)誤；C：過(guò)作平面，而，則，又則，故，所以，正確；D：由，根據(jù)面面垂直的判定知：，正確.故選：ACD11下列結(jié)論正確的是（）A若，則B函數(shù)的最小值為2C若，則的最大值為2D若，且，則的最小值為4【答案】AC【分析】對(duì)于A，利用基本不等式判斷，對(duì)于B，舉例判斷，對(duì)于C，利用換元法求解，對(duì)于D，利用基本不等式判斷【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以A正確，對(duì)于B，

9、若，則，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，由，得，令，則，因?yàn)?，所以，所以的最大值?，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)?，且，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，所以D錯(cuò)誤，故選：AC12已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且滿足，下列結(jié)論正確的是（）AB若，則函數(shù)的最小正周期為C關(guān)于x的方程在區(qū)間上最多有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解D若函數(shù)在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為【答案】ABCD【分析】在一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，由相反的函數(shù)值，得對(duì)稱中心，判斷A，由得對(duì)稱軸，結(jié)合對(duì)稱中心得周期，判斷B，由題意得出周期的范圍，在上至多有3個(gè)完整周期，而在1個(gè)完整周期內(nèi)只有1解判斷C，由

10、函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定周期的范圍從而得范圍，結(jié)合已知單調(diào)區(qū)間得出范圍后判斷D【詳解】，所以，A正確；由在區(qū)間上單調(diào)，得，則是對(duì)稱軸方程，而是對(duì)稱中心，所以，B正確；由在區(qū)間上單調(diào)，得，所以在上至多有3個(gè)完整周期，而在1個(gè)完整周期內(nèi)只有1解，故在上最多有3個(gè)實(shí)數(shù)解，因此C正確；函數(shù)在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則，即，解得，又，即，所以，D正確故選：ABCD三、填空題13向量、的夾角為60，且，則等于_【答案】【分析】把模平方轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運(yùn)算可得結(jié)論【詳解】由題意，故答案為：14若命題“，成立.”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_【答案】【分析】將命題轉(zhuǎn)化為在上有解，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求a的范圍.【詳

11、解】令，則在上有解，開(kāi)口向上且對(duì)稱軸為，所以或，解得.故答案為：15已知函數(shù)，則_.【答案】42【分析】計(jì)算為定值即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律并求解.【詳解】，.故答案為：42.16“牟和方蓋”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉微在研究球的體積的過(guò)程中構(gòu)造的一個(gè)和諧優(yōu)美的幾何體，它是由兩個(gè)相同的圓柱分別從縱橫兩個(gè)方向嵌入一個(gè)正方體時(shí)兩圓柱公共部分形成的幾何體（如圖），如圖所示的“四腳帳篷”類似于“牟和方蓋”的一部分，其中APC與BPD為相互垂直且全等的半圓面，它們的圓心為O，半徑為2用平行于底面ABCD的平面去截“四腳帳篷”，當(dāng)平面經(jīng)過(guò)OP的中點(diǎn)時(shí)，截面圖形的面積為_(kāi)【答案】6【分析】根據(jù)題意，可知平面與各半圓的相交線段相等

12、且垂直，即可得其截面為正方形，再由平面經(jīng)過(guò)OP的中點(diǎn)，計(jì)算平面與各半圓的相交線段的長(zhǎng)度，即可求出截面面積【詳解】由題意得，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，因?yàn)锳PC與BPD為相互垂直且全等的半圓面，所以平面與各半圓的相交線段相等且垂直，所以其截面為正方形，因?yàn)槠矫娼?jīng)過(guò)OP的中點(diǎn)，所以平面與各半圓的相交線段的長(zhǎng)度為，所以截面圖形的面積為，故答案為：6四、解答題17某學(xué)校1000名學(xué)生在一次百米測(cè)試中，成績(jī)?nèi)拷橛?3秒與18秒之間，抽取其中50個(gè)樣本，將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成五組：第一組，第二組，第五組，右圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖(1)請(qǐng)估計(jì)學(xué)校1000名學(xué)生中，成績(jī)?cè)诘诙M和第三組的人數(shù)；

13、(2)請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)（所有結(jié)果均保留兩位小數(shù)）【答案】(1)540；(2)平均數(shù)15.70；中位數(shù)15.74.【分析】（1）根據(jù)頻率直方圖求出第二組和第三組的頻率，進(jìn)而求第二組和第三組的人數(shù)；（2）由頻率直方圖求平均數(shù)、中位數(shù)即可.【詳解】(1)成績(jī)?cè)诘诙M和第三組的頻率，所以學(xué)校1000名學(xué)生中成績(jī)?cè)诘诙M和第三組的人數(shù)：(2)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)：，中位數(shù)：第一二組的頻率為第一二三組的頻率為，所以中位數(shù)一定落在第三組，設(shè)中位數(shù)為x，則，解得.18如圖，四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為矩形，E為PC中點(diǎn)，平面平面ABCD，(1)證明：平面BDE；(2)求三

14、棱錐D-BCE的體積（注：本小題用空間直角坐標(biāo)系的空間向量方法作答，不給分）【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）連接AC交BD于O，連接OE，由中位線性質(zhì)有，根據(jù)線面平行的判定即可證結(jié)論.（2）取AD中點(diǎn)F，連接PF，由面面垂直的性質(zhì)可得平面ABCD，則P到底面的距離為PF，由，結(jié)合棱錐的體積公式求D-BCE的體積【詳解】(1)連接AC交BD于O，連接OE，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以O(shè)為AC的中點(diǎn)，又E為PC的中點(diǎn)，所以，又平面BDE，平面BDE，所以平面BDE (2)取AD中點(diǎn)F，連接PF，因?yàn)?，所以，又面面ABCD，面面，平面PAD，平面ABCD，即P到底面的距離為PF由，

15、得：，記E到平面BCD的距離為h，又E為PC的中點(diǎn)，所以，所以.19已知函數(shù)(1)求函數(shù)的最小正周期及其圖象的對(duì)稱軸方程；(2)設(shè)函數(shù)，求的值域【答案】(1)最小正周期，對(duì)稱軸方程：，；(2).【分析】（1）利用二倍角正余弦公式、輔助角公式可得，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求最小正周期、對(duì)稱軸方程即可.（2）由正弦函數(shù)的性質(zhì)確定的值域，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求的值域【詳解】(1)，所以函數(shù)的最小正周期，令，可得，即對(duì)稱軸方程，.(2)由（1）知：，則，得：.20新冠肺炎疫情爆發(fā)以來(lái)，全國(guó)上下，齊心協(xié)力，眾志成城，有直線鐵路連接相距千米的兩個(gè)城市和，為了充分保障居民物資供應(yīng)，擬從鐵路線上的某一點(diǎn)處筑一公路到

16、物資供應(yīng)點(diǎn)現(xiàn)測(cè)得千米，（如圖）已知公路運(yùn)費(fèi)是鐵路運(yùn)費(fèi)的倍，設(shè)鐵路運(yùn)費(fèi)為每千米個(gè)單位，從經(jīng)直接到的總運(yùn)費(fèi)為為了求總運(yùn)費(fèi)的最小值，設(shè)(1)試將表示為的函數(shù)關(guān)系式；(2)求出總運(yùn)費(fèi)的最小值【答案】(1)，其中，(2)【分析】（1）在在中，利用正弦定理可求得、的長(zhǎng)，結(jié)合題意可得出；（2）令，可得出，利用輔助角公式可得出關(guān)于的不等式，解出的取值范圍，即可求得總運(yùn)費(fèi)的最小值.【詳解】(1)解：在中，由正弦定理，所以，由余弦定理可得，因?yàn)椋瑒t所以，其中，.(2)解：令，則有，其中，為銳角且，由，解得或（舍去），當(dāng)時(shí)，則，因?yàn)闉殇J角，則，且，因?yàn)?，則，故當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，.21如圖，在三棱柱中，已知，(1)證明：

17、平面平面；(2)求二面角的余弦值(注：本小題用空間直角坐標(biāo)系作答，不給分)【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【分析】(1)連接，用余弦定理求出，根據(jù)勾股定理證明，再證明平面即可；(2)過(guò)作垂直于于E，過(guò)E作EF垂直于于F，連接，則是二面角的平面角，解即可.【詳解】(1)連接，在中，由余弦定理得：，又，又，=A，AB、平面，平面，又平面，平面平面；(2)由(1)知平面平面，過(guò)點(diǎn)作垂直于于E，則面，則，過(guò)E作EF垂直于于F，連接，、EF平面，平面，是二面角的平面角，在中，由(1)知CA平面，CA，則為矩形，EF，EF=AC=1，在Rt中，22對(duì)于定義在D上的函數(shù)，如果存在實(shí)數(shù)，使得，那么稱是函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，已知，(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；(2)若是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，求使得不等式成立的整數(shù)k的最大值【答案】(1)不動(dòng)點(diǎn)為和；(2)2.【分析】（1）由已知，結(jié)合不動(dòng)點(diǎn)