高等代數第六章自測題

1、第六章線性空間自測題.填空題（20分）若氣,氣，氣是線性空間V的一個基，則滿足條件（1）氣,氣,，氣是（2）對V中任意向量P，.數域P上的線性空間V的非空子集W是V的子空間的充要條件為，已知W,W為線性空間V的子空間，W + W為直和的充要條件為.設V和W是數域P上兩個線性空間，V到W的一個同構映射f滿足如下三個條件：（1）f是V到W的;（2）對 Va, P g V，有;（3）對 Va g V, k g P，有.向量空間V的基,氣，a到基七，七,%，的過渡矩陣為 復數域C作為實數域R上的向量空間，則dimC =，它的一個基為復數域C作為復數域C上的向量空間，則dimC =，它的一個基為.二.選

2、擇題（10分）1.若七吧均為線性空間V的子空間，則下列等式成立的是（）（a）叫+ nw2）=叫 nw2 ；（B）W + （W n W2） = W + W2 ；（C）W + （W n W2） = W；2.按通常矩陣的加法與數乘運算，| A = a；（C）W = U G Pnxn|A| = 0；（A）W = A G Pnxn1（D）W + （W n W2） = W2下列集合不構成P上線性空間的是：（）tr （A） = 0；（B）W2 = A G Pnxn（D）W = A G Pnxn I A，= A.3.數域P上線性空間V的維數為r,a,a , , ，, a g線性表出，則下列結論成立的是：（）（

3、A） r = n ；（B） r n ；（C）r n4.設 W = P x, W = P x則 dim（W + W2）=（A）2；（B）3；（C）4；（D）55.設線性空間W = a,2a,3a)|a e奇，則W的基為：()(A) (1,2,3) ；(B) (a,a,a) ；(C) (a,2a,3a) ； (D) (1,0,0)(0,2,0)(0,0,3)3 x + 2 x 一 5 x + 4 x = 0 (10分)在線性空間P4中求由線性方程組：“氣一 x2 + 3x3 - 3x4 = 0所確定的P43 x + 5 x -13 x + 11x = 0V 1234的子空間W的基和維數. (15分

4、)設R 3中的兩個基分別為a廣(1 0 1), a2 =(0 1 0)，a3 =(1 2 2), 8廣(1 0 0), P2 =(1 1 0), P3 = (1 1 1).求由基a ,a ,a到基0 , p , p的過渡矩陣. TOC o 1-5 h z 123123 已知向量a在基a ,a ,a下的坐標為(1 3 0)，求a在基p , p , p下的坐標.123123 (15 分)設 a 1 = (1,2,1 ,0), a 2 = (一1,1,1,1), p 1 = (2, -1,0,1 ),p = (1,1,3,7) , W = L(a ,a ),W = L(p , p )，求碰 W +

5、W )及 dim( WW ).21122121212(15 分)設 A e Pnxn :1)證明：全體與A可交換的矩陣組成Pnxn的一子空間，記作C (A)；2)當A=E時，求 C (A);-1000 -3)當A =0 200時，求C(A)的維數與一組基._ 000n七.(15分)已知Pnxn的兩個子空間匕=A e Pnxn |# = A , V2 = A G Pnxn區(qū)=A ， 證明：Pnxn =匕V .答案:一.1.線性無關，P可以由a% ,a線性表示2.對V的加法和數乘封閉3.W1 c W2 = odim(W c W ) = 024.線性映射f(a+ P) = f (以 f &11f (

6、k 以)=kf (以)5.=2,它的一個基為1.CCB CA32-54一32 -5 4 -二.解:由3-13-3-0-38 -735-131103 -8 712,3-5/34/3一101/9-2/9一-01-8/37/3、-01-8/3 7/300000000dim C，二(2; 90 ), &8,.；3123006. dimC =2,它的一個基為1,i;一組基為 =(19-58.；3047,；300 1).四解：由以)=(83101)012102一7./318 2(818283(P1 P P )= (831(81.(PP )=(a31 0-11 1過渡矩陣A-1B=0 1 20 1 11 0

7、 20 0 11P21二(Pa a ) A-1B(2)以=(以，以一，以-)310 J1231P2P)B-1A32 0 -1 122 2 1 -20 1 1=23 1-1 0 10 0 1-1 -1 0r 1)，-1 0 -一1 0r 1:坐標為B-1A3=0 1 -10 1 23=L0 J0 011 0 2L0 J-12111001-1121210101-1-r 11r-21-1 103=2102 _L0 J1LJ103I117-22-2-1-1-50001001000000dim嗎=2,dim吧=2,dim(叫 + W2)=4 ,dim(咯 D W2)=0六.證明1)設與A可交換的矩陣的集

8、合記為C(A).顯然O g C(A),VB,D g C(A), A(B + D) = AB + AD = BA + DA = (B + D)A,故B + D g C(A).若 k 是一數，VB g C (A)，可得 A( kB) = k (AB) = k (BA) = (kB) A，故 kB g C (A).所以C ( A)構成Pnxn的子空間。當 A = E 時，C (A) = Pnxn .設B = (b )為可與A交換的矩陣，由第四章習題5矢口，B只能是對角矩陣，ij故維數為n ； E ,E，,E為一組基.1122nn TOC o 1-5 h z 七.證明:顯然 V +V U Pnxn ,又 VA G Pnxn , A = +生，1222其中AA!為對稱矩陣,史生為反對稱矩陣，.A = 土 +