熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理課后習(xí)題答案

1、第七章玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)7. 1試根據(jù)公式a1證明，對于非相對論粒子VP212m 2m2nx222 Uny nz , ( nx,ny,nz 0, 1, 2,)有 P yy3 V上述結(jié)論對于玻爾茲曼分布，玻色分布和費(fèi)米分布都成立。證明：處在邊長為L的立方體中，非相對論粒子的能量本征值為22P21 2nx,ny,nz 2m 2m L2nx22nynznx,ny,nz0, 1, 2,)為書寫簡便，我們將上式簡記為aV其中V=L3是系統(tǒng)的體積，常量(2)22nx2m2nyn2，并以單一指標(biāo)1代表 nx,ny,nz個量子數(shù)。由（2）式可得LV-aV 353代入壓強(qiáng)公式,a123Va12U3 V式中U1a1 1

2、是系統(tǒng)的內(nèi)能。為書寫簡便，我們將上式簡記為aV 13(2)(1)4）中的上述證明未涉及分布的具體表達(dá)式,因此上述結(jié)論對于玻爾茲曼分布，玻色分布和費(fèi)米分布 都成立。注：（4）式只適用于粒子僅有平移運(yùn)動的情形。如果粒子還有其他的自由度，式（ U僅指平動內(nèi)能。7. 2根據(jù)公式Pal-證明，對于極端相對論粒子V TOC o 1-5 h z 222 121 Ucp c nx ny nz, nx,ny,nz 0, 1, 2,有 PL3V上述結(jié)論對于玻爾茲曼分布，玻色分布和費(fèi)米分布都成立。證明：處在邊長為 L的立方體中，極端相對論粒子的能量本征值為2222 12nx ,ny,nzcmny”,1，山，“ 0,

3、 1, 2,其中V=L3是系統(tǒng)的體積，常量a2 c n2 n2 n2 2,并以單一指標(biāo)1代表nx,ny,nz三個量子數(shù)。 TOC o 1-5 h z 由(2)式可得1aV 431 (3)V33 V1 U代入壓強(qiáng)公式，有 pal_L ，al l 1U（4）i V 3V l3V式中Ual l是系統(tǒng)的內(nèi)能。l上述證明未涉及分布的具體表達(dá)式，因此上述結(jié)論對于玻爾茲曼分布，玻色分布和費(fèi)米分布都成立。S NkPS ln PS ,S式中Ps是粒子處在量子態(tài) S的概率，PSe sZ1對粒子的所有量子態(tài)4試證明，對于遵從玻爾茲曼分布的系統(tǒng)，嫡函數(shù)可以表示為求和。 TOC o 1-5 h z 證明：根據(jù)式（6-6

4、-9）,處在能量為的量子態(tài)S上的平均粒子數(shù)為fsess以N表示系統(tǒng)的粒子數(shù)，粒子處在量子態(tài)S上的概率為PSe e-（2）NZ1顯然，Ps滿足歸一化條件PS1（3）s式中是對粒子所有可能的量子態(tài)求和。粒子的平均能量可以表示為EPS S -（4）ss根據(jù)式（7-1-13）,定域系統(tǒng)的嫡為S Nk(ln Z1ln Z1)Nk(lnZ1)NkPS(lnZ1S)S=S NkPSln PSS(5)最后一步用了（ 2）式，即 ln PS1nzi S（6）（5）式的嫡表達(dá)式是具有啟發(fā)性的。嫡是廣延量，具有相加性。（5）式意味著一個粒子的嫡等于 。它取決于粒子處在各個可能狀態(tài)的概率PSO如果粒子肯定處在某個狀態(tài)

5、r,即=s r,粒子的嫡等于零；反之，當(dāng)粒子可能處在多個微觀狀態(tài)時，粒子的嫡大于零。這與嫡是無序度的量度的理解自然是一致的。如果換一個角度考慮， 粒子的狀態(tài)完全確定意味著我們對它有完全的信息。粒子以一定的概率處在各個可能的微觀狀態(tài)意味著我們對它缺乏完全 的信息。所以，也可以將嫡理解為信息缺乏的量度。5固體含有A、B兩種原子.試證明由于原子在晶體格點(diǎn)的隨機(jī)分布起的混合嫡為S klnN!Nk xln x 1 x ln 1 xNx ! N 1 x !其中N是總原子數(shù)，x是A原子的百分比，（1 一 x）是B原子的百分比.注意 x1.上式給出的嫡為正值.證明：A B兩種原子在晶體格點(diǎn)的隨機(jī)分布狀態(tài)數(shù)等于

6、Nx個A種原子在N個格點(diǎn)隨即分布的狀態(tài)數(shù)：所以混合嫡S kln klnNxCNN!Nx ! N 1N!Nx ! N 1 x !k In N! ln( Nx)! In N 1 x !當(dāng)N很大時，利用公式ln m! m In m 1 ,得S k N In N 1 Nx In Nx 1N 1 x In N Nx 1Nk xln x 1 x In 1 x證畢7. 8氣體以恒定白速度沿 Z方向作整體運(yùn)動。試證明，在平衡狀態(tài)下分子動量的最概然分222一Px2 Py2 （Pz Po）2 V布為 e 2mrdPXdPYdPZ。h3證明：氣體是非定域系統(tǒng)，由于滿足經(jīng)典極限條件而遵從玻爾茲曼分布。與分布a相應(yīng)的a

7、ll氣體的微觀狀態(tài)數(shù)為 TOC o 1-5 h z 其對數(shù)為 lnal ln l ln al!al ln l al（ln al 1）（2）llll在氣體沿Z方向作整體運(yùn)動的情形下，分布必須滿足下述條件：alN ;al l E ;al PzPzlll其中Pz是氣體在Z方向的總動量，PLz是處在能級l的分子所具有的Z方向動量。氣體分子的最概然分布是在限制條件（3）下，使ln為極大的分布。令各有al的變化al, ln將因而有變化lnln曳llal限制條件（3）要求alNll alE 0;PlzalPz0l用拉氏乘子1,和乘這三個式子并從ln中減去，得a lln 1 N EPz(ln Plz) al

8、0根據(jù)拉氏乘子法原理，每個al的系數(shù)都等于零，所以有l(wèi)n-a1lPlz0或 alle 1 s Pz(4)可以將式（4）改寫成為動量的連續(xù)分布：在體積V=L3內(nèi)，在PX到PX+dPX, Py到PY+dPY,Pz到1 （ pxPz+dPz,的動量范圍內(nèi)的分子數(shù)為e 2mpy pZ)pz vh3dPXdPYdPZ(5)其中Po式中的參量22Px Py 2m(p2Po)2 V3dPXdRdPz h(6)Po由Po22m（3）式確定。由（3）式中的1 -z- pX py (Pz Po)2 V2m-3dPXdRdPZeh3(8)代入（6）式消去，可將氣體分子的動量分布表達(dá)為3； pX py (Pz Po)

9、2N()2e 2mdPXdPydPz2 m(9)利用（9）式求Pz的平均值，得Pz (U2T pX Py (Pz Po)2e 2mPZdPXdPYdPZPo所以Po是Pz的平均值。Po與Pz的關(guān)系為Pz=NPo在氣體具有恒定的整體速度的情形下，氣體的平衡狀態(tài)不受破壞，其物態(tài)方程仍由描述。根據(jù)此容易證明=1/KT7. 9氣體以恒定速度vo沿Z方向作整體運(yùn)動。求分子的平均平動能量。PV=NKT解：根據(jù)上題，以恒定速度vo沿Z方向作整體運(yùn)動的氣體，其分子的速度分布為m 22N(q)32e 而Vx Vy (Vz2 kT2Vo)2dvX dvY dvZ分子平均動量的平均值為2122m(Vx Vy22Vz

10、 )e22Vy2 (Vz Vo)2dvx dvy dvzMmo -m-Vx2Vx2e 2kT dvXVy2e募V212 (VdvYmVz e 2kT2Vo)2 dvz)上式頭兩項(xiàng)積分后分別等于1/2KT,第三項(xiàng)的積分等于442 kT1m(2(VzVo)2e一(Vz 2kTV0)2dvZ2VoVze一(Vz 2kTV0)2dvZVo2上(Vz e2kT zV。)2dvz)212kT mV0mV02 HYPERLINK l bookmark20 o Current Document 一319因此，一 一kT -mV022(2)式表明，氣體分子的平均能量等于無規(guī)熱運(yùn)動的平均能量3/2KT及整體運(yùn)動能

11、量1/2mvo2之和。7. 11試根據(jù)麥?zhǔn)纤俣确植悸蓪?dǎo)出兩分子的相對速度0ZX和相對速率Vr Vr的概率分布,并求相對速率的平均值 Vr .解：先求速度分布：兩分子的相對速度 vr在dvrxdvrydvrz內(nèi)的幾率V vrdv1V V1 V V2dv1V V1 V V1 vr3m2 kT其中與V1x有關(guān)的分量為m 2 22 ,、2 ,、2 ,、2V1x V1y V1z (V1x Vrx ) (V Vry ) (Vq %)edv1xdv1ydv1zm 2V1 x2kT 1xe/、2(V1x Vrx )dv1xmv2x同理可求得2kTmkTV1xVrxTmv2xv1y、V1z分量分別為m彳2kTT

12、kTdv1x1/22kT 2emvrz和 e 2kTm 2m vrxxkT2kT 2me dx e kT1/2kT1/2V vr3/ 2m v21 m2kT-2 e8 kT3 m v23/ 2m -而5me 2 kTkT引入一,則速度分布為:22 kT3/2e2kT dvrxdvrydvrz把變數(shù)換為vr, 4,并對仇力積分，則得到速率分布為3/22 Vx n2 kTe 2kT v2dvr2相對速率的平均值8kT3/222kTVx 2 .Vr 4 vrevr dv2 kT n7. 14分子從器壁的小孔射出，求在射出的分子束中，分子的平均速率和方均根速率。 解：上題已經(jīng)求得了單位時間內(nèi)，碰到單位

13、面積器壁上，速率在到范圍的分子數(shù)為3/2 m 2m2TTV 3d (v) ne 2 v dv2 kT如果器壁有小孔，分子可以通過小孔逸出。當(dāng)小孔足夠小，對容器內(nèi)分子的平衡分布影響可以忽略時，單位時間內(nèi)逸出的分子數(shù)就等于碰到小孔面積上的分子數(shù)。因此在射出的分子束中，分子的平均速率為 v0 vd (v)m .2v4e 2kT dvd (v)速率平方的平均值為v2v2d (v)3v e_v22kTdv0m 25v ev2kTdv000d (v)3 TkT .v e 2kT dv4kTm即速率的方均根值為vsv21 r平均動能為一mv2 2kT2上述結(jié)果表明，分子束中分子的平均速率和平均動能均大于容器

14、內(nèi)氣體分子的相應(yīng)平1）式含有因子v3,而平衡態(tài)均值。原因在于，大速率分子有較大的概率從小孔逸出，使（ 分子速率分布（7-3-9）含因子v2的緣故。7. 15已知粒子遵從經(jīng)典玻耳茲曼分布，其能量表達(dá)式為12m2Px2Py2Pzax2 bx其中a、b是常數(shù)，求粒子的平均能量.解：該能量表達(dá)式可改寫為12m2Px2Py2Pz2b2a4a由能量均分定理可知:kTb24a2kTb24a7. 16氣柱的高度為H,截面為S,處在重力場中，試證明此氣柱的內(nèi)能和熱容量為U0 NKTNmgHmgH(e KT 1)CVC0V NK證明：為明確起見,122-Px Py2mmgHN（mgH）2e KT 1mgH 2（e

15、 KT 1）2 KT假設(shè)氣體是單原子分子理想氣體。在重力場中分子的能量為2Pzmgz(1)粒子的配分函數(shù)為Zi1h3/ 22(Px Py 2m2、 一Pz ) mgzdxdydzdPX dPYdPZ1 ,2 m 32F一)Hdxdy e1mgzdz,1(2 h3外，(1 e1mgmgH )其中 Adxdy是氣柱的截面積。氣柱的內(nèi)能為3U NlnZ1- NKT NKT2NmgHmgH(e KT 1)Uo nktNmgHmgH(3)(e mgH 1).3_式中 u0 -nkt 2氣體的熱容量為CVUc0vNK2N(mgH) emgHr- KTmgH(e KT上述結(jié)果顯然也適用于雙（多）原子分子氣體

16、，只要將 能和熱容量。2 （4）1）2 KT2Uo和C0V理解為無外場時氣體的內(nèi)當(dāng)mgHKT 1時，（4）式右方后兩項(xiàng)相互消去而有C/=C0V.(5)這意味著，當(dāng)氣柱不高，分子在氣柱頂部（Z=H）與底部（Z=0）的重力勢能差遠(yuǎn)小于熱運(yùn)動能量的情形下，氣柱的熱容量與無外場時的熱容量是相同的。w mgH KT1時，（4）式右方第三項(xiàng)趨于零，因此C/=C0V+NK(6)這意味著，當(dāng)氣柱很高，分子在氣柱頂部（Z=H）與底部（Z=0）的重力勢能差遠(yuǎn)大于熱運(yùn)動能量的情形下，氣柱在重力場中具有附加的熱容量NK。mgH對于300K的空氣，相應(yīng)于/KT1的H約為104m。因此在通常情形下，（5）式是適用的。實(shí)際上大氣溫度隨高度而降低。設(shè)并不成立。7. 17試求雙原子分子理想氣體的振動嫡. 解：雙原子分子理想氣體的振動配分函數(shù)當(dāng)氣柱很高時，應(yīng)用玻爾茲曼分布時所作的恒溫假Z；lnZ1vIn 1 e振動嫡Sv Nk lnZ1vlnZ1vNkIn 1 e 1引入v /k ,得v、，1S Nk Nkln 1 e vT e vT 17. 21試求愛因斯坦固體的嫡。S 3Nk In 1 e e 1解：根據(jù)式(7-7-2)求得的配分函數(shù)，容易求得愛因斯坦固體的嫡為S 3NK(lnZ1 lnZ1) 3Nk ln 1 e e 17. 22以n表晶體中磁性原予的密度.