三次函數(shù)的圖象與性質專題

1、三次函數(shù)的圖象與性質例1.已知函數(shù)f(x) = x3+ax2+bx+1(a0 , bC R)有極值，且導函數(shù)f (x)的極值點是f(x)的零點.(極值點是指函數(shù)取極值時對應的自變量的值)(1)求b關于a的函數(shù)關系式，并寫出定義域；(2)證明：b23a；(3)若f (x), f (x)這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于7,求a的取值范圍.變式1設函數(shù)f(x) =；x3 ax2+1,其中a0,若過點(0, 2)可作曲線y = f(x)的三條不同 32切線，求實數(shù)a的取值范圍.變式2設函數(shù)f(x) =x(x 1)(x -a)(其中a 1)有兩個不同的極值點 xi,x2,若不等式f(x 1)+ f(x 2

2、) wo成立，求實數(shù)a的取值范圍.串講1設f(x) =gx3 + x2+ax有兩個極值點 x1, x2,若過兩點(x 1, f(x 1) , (x 2, f(x 2)的直 3線l與x軸的交點在曲線y = f(x)上，求實數(shù)a的值.串講2已知函數(shù)f(x) =1x3x2+ax+b的圖象在點P(0, f(0)處的切線方程為 y = 3x2. 3(1)求實數(shù)a, b的值；(2)設g(x) =f(x) +xmy是2,+8)上的增函數(shù).求實數(shù)m的最大值；當m取最大值時，是否存在點Q,使得過點Q的直線若能與曲線 y=g(x)圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等？若存在，求出點 Q的坐標；若不存在，

3、請說明 理由.已知函數(shù) f(x) =x3-3x2+(2 -t)x , f (x)為 f(x)的導函數(shù)，其中 tCR.(1)當t=2時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若方程f(x) = 0有三個互不相同的根 0, a, B ,其中a 0時，求函數(shù)f(x)的極值(用a表示)；若f (x)有三個相異零點，問是否存在實數(shù)a使得這三個零點成等差數(shù)列？若存在，試求出a的值；若不存在，請說明理由；(2)函數(shù)f(x)圖象上點A處的切線11與f (x)的圖象相交于另一點 B,在點B處的切線為 12,直線11, 12的斜率分別為k1, k2,且k2=4k1,求a, b滿足的關系式.答案：1一 等，存在a=-;

4、(2)a2 = 3b.3 11解析：(1)由 f (x) =3x2+2ax+b及 a2+b = 0,得 f (x) = 3x2+2axa2,令 f ( x)=0,解得x=e或x= a.2分3由 a0 知，x C ( 8, a),(x) 0, f (x)單調(diào)遞增，xC a, 1 , f (x) v 0,3f(x)單調(diào)遞減，xC a, +8 , f (x)0,333a5af(x)單調(diào)遞增，因此，f(x)的極大值為f( a) = 1 + a , f(x)的極小值為f 3 = 1 27.4 分當a=0時，b=0,此時f(x)=x3+1不存在三個相異零點；當 a0時，與同理可 得f (x)的極小值為f(

5、 - a) =1 + a3, TOC o 1-5 h z a5a35 3f(x)的極大值為f - = 1 - 要使f(x)有二個不同手點，則必須有(1 + a) 1而a 32 72 70,即 a327.6 分5不妨設 f(x)的三個零點為 x1 , x2, x3,且 x1x2x3,則 f (x1) =f(x2) =f(x3) =0, f (x1) =x13+ ax12-a2x1+ 1=0, ，f (x2)=x23+ax22 a2x2+1 = 0, ，f (x3)= x33+ax32 a2x3+1=0,，一得(x2x1)( x22 + x1x2+x12) + a(x2 x1)( x2+x0 a2

6、(x2 x。= 0,因為 x2-x1-a2=0,，x2+x3 + x1+ a3a =一 滿3110,所以 x22+x1x2+x12+a(x2+x1) - a2=0,，同理 x32+x3x2 +x22+ a(x3+x2)一得 x2(x3 x1) + (x3 x1)( x3+x1) +a(x3x1) = 0,因為 x3 x1 0,所以ac八=0,又 xH-x3 = 2x2,所以 x2= - - .9 分3所以f a=0,即9a，a=a2,即a3=-21 -1,因此，存在這樣實數(shù)足條件.12分(2)設A(m,f(m),B(n, f(n),則k1 = 3n2+2amb,k2 = 3n2+2an+b,又k1 =f (N f (n)=m- n(n3 n3)+a(n3 n2)+b(m mm- n= ni+ mn+ n2+a(m n)+b,由此可得 3n2+2amb=n2+mn n2+a( mn) + b,化簡得 n=a2m,因此