高等數(shù)學5-2待改

1、復習：曲邊梯形的面積 變速直線運動的路程 定積分的定義 定積分的幾何意義 定積分的性質 變上限定積分高等數(shù)學 第四章 第二節(jié) 10-01第二節(jié) 微積分學基本定理高等數(shù)學 第四章 第二節(jié) 10-02一、積分上限的函數(shù)及其導數(shù)高等數(shù)學 第四章 第二節(jié) 10-03二、微積分學基本定理定理5.2（微積分基本定理） 設函數(shù) f(x) 在 a,b 上連續(xù)，F(xiàn)(x)是 f(x) 在 a,b 上的一個原函數(shù)，即F (x)=f(x)，那么 上式又稱為牛頓-萊布尼茨公式。高等數(shù)學 第四章 第二節(jié) 10-04 證:令牛頓萊布尼茨公式令微積分基本公式表明：注意求定積分問題轉化為求原函數(shù)的問題.例1 計算定積分高等數(shù)學

2、 第四章 第二節(jié) 10-06解：例2 計算高等數(shù)學 第四章 第二節(jié) 10-08例3 計算由 ，x=1，x=2，x 軸所圍成的平面圖形的面積。高等數(shù)學 第四章 第二節(jié) 10-09解：故平面圖形的面積為例5 設 , 求 . 解第三節(jié) 換元積分法高等數(shù)學 第五章 第三節(jié) 10-10第四節(jié) 分部積分法一、定積分的換元積分法二、定積分的分部積分法高等數(shù)學 第四章 第三節(jié) 10-11例1 計算高等數(shù)學 第四章 第三節(jié) 10-12解：例2 計算定理（定積分的換元法） 設函數(shù) f(x) 在區(qū)間 a,b 上連續(xù)，函數(shù) x=(t) 在區(qū)間 , (或 , )上有連續(xù)導數(shù) ；且 ()=a，()=b，則有 證：例2 計

3、算解令例3 計算解:令 oo例 設f(x)在-a,a上連續(xù)，試證：（1）若f(x)為偶函數(shù)時，（2）若 f(x)為奇函數(shù)時，高等數(shù)學 第四章 第三節(jié) 10-19證:高等數(shù)學 第四章 第三節(jié) 10-21奇函數(shù)例 計算解：原式偶函數(shù)單位圓的面積證設定理5.5 設函數(shù) u(x) 和 v(x) 在區(qū)間 a,b上具有連續(xù)的導數(shù) u (x) 和 v (x)，則 二、定積分的分部積分法對于可導函數(shù) u(x) 及 v(x)，根據函數(shù)乘積的微分公式有移項得兩邊積分，得例 計算高等數(shù)學 第四章 第三節(jié) 10-22例 計算高等數(shù)學 第四章 第三節(jié) 10-23例 計算例5 證明定積分公式為正偶數(shù)為大于1的正奇數(shù)證積分

4、 關于下標的遞推公式直到下標減到0或1為止于是小結： 微積分基本定理 （牛頓萊布尼茨公式） 定積分的換元法 定積分的分部積分法 高等數(shù)學 第四章 第四節(jié) 10-47作業(yè)： P122 習題五 7(4)(6)(8)(11) (26) 選做題9(2)預習：定積分的應用高等數(shù)學 第四章 第四節(jié) 10-48 牛頓從物理學出發(fā)，運用集合方法研究微積分，其應用上更多地結合了運動學，造詣高于萊布尼茲。萊布尼茲則從幾何問題出發(fā)，運用分析學方法引進微積分概念、得出運算法則，其數(shù)學的嚴密性與系統(tǒng)性是牛頓所不及的。萊布尼茲認識到好的數(shù)學符號能節(jié)省思維勞動，運用符號的技巧是數(shù)學成功的關鍵之一。因此，他發(fā)明了一套適用的符號系統(tǒng)，如，引入dx表示x的微分，表示積分，dnx表示n階微分等等。這些符號進一步促進了微積分學的發(fā)展。后來人們公認牛頓和萊布尼茲是各自獨立地創(chuàng)