最短時(shí)間和最少燃料控制

1、第3章 最短時(shí)間和最少燃料控制本章主要內(nèi)容： 3.1 非線性系統(tǒng)的 3.2 線性時(shí)不變系統(tǒng) 最短時(shí)間控制問題 3.3 雙積分模型的 3.4 非線性系統(tǒng)的 3.5 線性時(shí)不變系統(tǒng) 最少燃料控制問題 3.6 雙積分模型的時(shí)間最優(yōu)控制：導(dǎo)彈以最短時(shí)間擊毀敵機(jī)最少燃料最優(yōu)控制：航天航空控制（高度、姿態(tài)、交會(huì)）3.1 非線性系統(tǒng)的最短時(shí)間控制問題最短時(shí)間控制問題的提法： 設(shè)受控系統(tǒng)狀態(tài)方程為 給定終端約束條件為 尋求m維有界閉集中的最優(yōu)控制u*(t)，滿足不等式約束 使系統(tǒng)從已知初始狀態(tài) 轉(zhuǎn)移到目標(biāo)集中某一狀態(tài) 時(shí)，如下目標(biāo)泛函取極小值，其中 未知 應(yīng)用最小值原理，系統(tǒng)的哈密爾頓函數(shù)為：在使J最小以實(shí)現(xiàn)

2、最優(yōu)控制的必要條件中，側(cè)重分析極值條件將（3-6）式中的矩陣表達(dá)式展開成分量形式則極值條件可寫為：由式（3-8）可見，由于 是確定的，故使 取極小值的最優(yōu)控制為或簡(jiǎn)寫為： 根據(jù) 是否為零，將系統(tǒng)分為兩種情形：（砰-砰控制）平凡最短時(shí)間控制系統(tǒng) 只是在各個(gè)孤立的瞬刻才取零值， 是有第一類間斷點(diǎn)的分段恒值函數(shù)。奇異（非平凡）最短時(shí)間控制系統(tǒng)。并不意味著在該區(qū)間內(nèi)最優(yōu)控制不存在，僅表明，從必要條件不能推出確切關(guān)系式。3.2 線性時(shí)不變系統(tǒng)的最短時(shí)間控制問題線性時(shí)間最優(yōu)調(diào)節(jié)器問題的提法： 設(shè)受控系統(tǒng)狀態(tài)方程為 給定終端約束條件為 尋求m維有界閉集中的最優(yōu)控制u*(t)，滿足不等式約束 使系統(tǒng)從以最短時(shí)

3、間從初始狀態(tài) 轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間原點(diǎn)。根據(jù)上一節(jié)的結(jié)論，可得極值條件為：對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)的最短時(shí)間控制問題，經(jīng)過理論推導(dǎo)和證明，可得如下重要結(jié)論：（1）系統(tǒng)平凡的充要條件：當(dāng)且僅當(dāng)m個(gè)矩陣 中全部為非奇異矩陣時(shí)，系統(tǒng)是平凡的。（至少有一個(gè)為奇異矩陣時(shí)，系統(tǒng)是奇異的） （2）系統(tǒng)最優(yōu)解存在的條件：常數(shù)矩陣A的特征值全部具有非正實(shí)部。（3）最優(yōu)解唯一性定理：系統(tǒng)是平凡的且最短時(shí)間控制存在，則最短時(shí)間控制必然是唯一的。（4）開關(guān)次數(shù)定理：系統(tǒng)是平凡的且最短時(shí)間控制存在，則最優(yōu)控制u*的任一分量 的切換次數(shù)最多為n-1次。（n為系統(tǒng)維數(shù)）3.3 雙積分模型的最短時(shí)間控制問題雙積分模型的物理意義：慣性負(fù)載

4、在無阻力環(huán)境中運(yùn)動(dòng) 負(fù)載運(yùn)動(dòng)方程： 傳遞函數(shù)： （由兩個(gè)積分環(huán)節(jié)組成） 定義u(t)=f(t)/m , 則（3-16）式變?yōu)椋?取狀態(tài)變量 則有 矩陣形式為： 雙積分模型最短時(shí)間控制問題的提法： 已知二階系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 給定端點(diǎn)約束條件為 尋求有界閉集中的最優(yōu)控制u*(t)，滿足不等式約束 使系統(tǒng)從以最短時(shí)間從任意初態(tài)轉(zhuǎn)移到終態(tài)。先判斷該系統(tǒng)是否平凡？由上節(jié)重要結(jié)論可知：（1）本系統(tǒng)為平凡最短時(shí)間控制系統(tǒng)（2）其時(shí)間最優(yōu)控制必然存在且唯一（3）時(shí)間最優(yōu)控制u(t)至多切換一次 最優(yōu)控制表達(dá)式： 下面利用協(xié)態(tài)方程求解由式（3-25）可知， 為一直線，由于開關(guān)次數(shù)的限制，其四種可能的開關(guān)序列為：

5、 下面通過圖解法，在相平面上分析相軌跡轉(zhuǎn)移的規(guī)律，從而尋找最優(yōu)控制u*(t)。首先求解狀態(tài)軌線的方程：為拋物線為開關(guān)曲線雙積分模型時(shí)間最優(yōu)控制工程實(shí)現(xiàn)的閉環(huán)結(jié)構(gòu)求解狀態(tài)轉(zhuǎn)移最短時(shí)間t*：(1)式帶入（2）式即可解出結(jié)果參見P187 (5-116)作業(yè)： 秦壽康 教材，第三章 習(xí)題1，3，4，5，6 通過對(duì)非線性系統(tǒng)的最短時(shí)間控制問題的分析，得到最優(yōu)控制的一般形式(砰-砰控制） 具體到線性時(shí)不變系統(tǒng)，得到最短時(shí)間控制問題的若干重要結(jié)論。（開關(guān)次數(shù)定理，非平凡判據(jù)） 將上述結(jié)論應(yīng)用于雙積分模型的最短時(shí)間控制問題，求解過程為： 1)應(yīng)用最小值原理得出最優(yōu)控制表達(dá)式 2)解協(xié)態(tài)方程，結(jié)合開關(guān)次數(shù)定理，

6、列出最優(yōu)控制的候選函數(shù)序列 3)在狀態(tài)平面上分析狀態(tài)轉(zhuǎn)移軌線，尋找開關(guān)曲線，總結(jié)控制規(guī)律 4)計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移的最短時(shí)間最短時(shí)間控制問題 小結(jié)：3.4 非線性系統(tǒng)的最少燃料控制問題最少燃料控制問題的提法： 設(shè)受控系統(tǒng)狀態(tài)方程為 給定端點(diǎn)約束條件為 尋求m維有界閉集中的最優(yōu)控制u*(t)，滿足不等式約束 使系統(tǒng)從已知初始狀態(tài) 轉(zhuǎn)移到目標(biāo)集中某一狀態(tài) 時(shí)，如下目標(biāo)泛函取極小值，其中 未知 應(yīng)用最小值原理，系統(tǒng)的哈密爾頓函數(shù)為：在使J最小以實(shí)現(xiàn)最優(yōu)控制的必要條件中，側(cè)重分析極值條件將（3-29）式中的矩陣表達(dá)式展開成分量形式則極值條件可寫為：為使（3-30）右端取極小值， 應(yīng)與 符號(hào)相反，則有 再來確定

7、 的幅值：三位控制、離合控制平凡最少燃料控制系統(tǒng)奇異（非平凡）最少燃料控制系統(tǒng)。并不意味著在該區(qū)間內(nèi)最優(yōu)控制不存在，僅表明，利用常規(guī)公式無法求解3.5 線性時(shí)不變系統(tǒng)的最少燃料控制問題線性時(shí)間最優(yōu)調(diào)節(jié)器問題的提法： 設(shè)受控系統(tǒng)狀態(tài)方程為 給定終端約束條件為 尋求m維有界閉集中的最優(yōu)控制u*(t)，滿足不等式約束 使系統(tǒng)從從初始狀態(tài) ，在給定時(shí)間 內(nèi)轉(zhuǎn)移到預(yù)定終態(tài) ，并使如下目標(biāo)函數(shù)取極小值 。對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)的最短時(shí)間控制問題，經(jīng)過理論推導(dǎo)和證明，可得如下重要結(jié)論：（1）平凡最少燃料控制的充分條件：（至少有一個(gè)為零時(shí)，系統(tǒng)是奇異的） （2）最優(yōu)解唯一性定理：系統(tǒng)是平凡的且最少燃料控制存在，則

8、最少燃料控制必然是唯一的。目標(biāo)泛函的相對(duì)極小值也是唯一的。對(duì) j=1,2,m中每個(gè)值均成立。雙積分模型最少燃料控制問題的提法： 已知二階系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 尋求有界閉集中的最優(yōu)控制u*(t)， 滿足不等式約束 3.6 雙積分模型的最少燃料控制問題 使系統(tǒng)由任意初始狀態(tài) ，轉(zhuǎn)移到預(yù)定終態(tài) ，并使如下目標(biāo)函數(shù)取極小值 。其中 自由。 給定端點(diǎn)約束條件為 由上節(jié)重要結(jié)論可知：該系統(tǒng)是奇異的。（則最少燃料控制不一定是唯一的。） 最優(yōu)控制表達(dá)式： 下面利用協(xié)態(tài)方程求解 判斷其平凡性：先來分析在奇異區(qū)內(nèi)的情況，此時(shí)再來分析在平凡區(qū)內(nèi)的情況，此時(shí)得出9種可能的控制序列作為候選函數(shù) 下面通過圖解法，在相平面上分

9、析相軌跡轉(zhuǎn)移的規(guī)律，從而從候選函數(shù)中尋找最優(yōu)控制u*(t)。（前面已分析了 時(shí)的狀態(tài)軌線，這里只分析 的情形。等速直線根據(jù)什么原則選取狀態(tài)轉(zhuǎn)移軌跡？下面來計(jì)算在狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程中燃料的消耗：表示從初態(tài)轉(zhuǎn)移到終態(tài)（原點(diǎn)）所需消耗的能量。該關(guān)系式提供了燃料消耗量的下限 ，所以，如果能找到一個(gè)控制，驅(qū)使?fàn)顟B(tài)從初態(tài)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)的燃料消耗為 ，則該控制肯定是燃料最優(yōu)控制。以此為依據(jù)來選擇最優(yōu)控制序列（最優(yōu)軌線）下面根據(jù)初始點(diǎn)的位置，分區(qū)討論： （1） 平凡情況：只有+1序列可驅(qū)使系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)原點(diǎn)。故為問題的解 非平凡情況：因?yàn)関(t)1，則系統(tǒng)狀態(tài)不可能到達(dá)原點(diǎn)。結(jié)論：1） 為最優(yōu)解 2）消耗燃料（2） 平凡

10、情況：只有序列 0，+1和-1，0，+1可驅(qū)使系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)原點(diǎn)。其中：0，+1控制下，燃料消耗為-1，0，+1，燃料消耗大于結(jié)論：0，+1為最優(yōu)控制序列，且在各種情況下其響應(yīng)時(shí)間最短，為 非平凡情況：可以找到許多v(t)，使系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)。且燃料消耗為 ，因而都是最優(yōu)控制。（3） 平凡情況：只有序列 -1，0，+1可驅(qū)使系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)原點(diǎn)。問題：B點(diǎn)如何選取使燃料消耗最少設(shè)B點(diǎn)縱坐標(biāo)為結(jié)論：燃料控制問題無解（ 燃料最優(yōu)控制） 類似地，可對(duì)其它兩個(gè)區(qū)間進(jìn)行研究。綜上所述，雙積分裝置最少燃料問題的控制規(guī)律如下：最少燃料控制問題 作業(yè)：秦壽康 教材，P119 習(xí)題1，2，3，4，5 通過對(duì)非線性系

11、統(tǒng)的最少燃料控制問題的分析，得到最優(yōu)控制的一般形式（離合控制） 具體到線性時(shí)不變系統(tǒng)，得到最短時(shí)間控制問題的若干重要結(jié)論。（非平凡判據(jù)） 將上述結(jié)論應(yīng)用于雙積分模型的最少燃料控制問題，求解過程為： 1)應(yīng)用最小值原理得出最優(yōu)控制表達(dá)式 2)解協(xié)態(tài)方程，列出最優(yōu)控制的候選函數(shù)序列（9個(gè)） 3)燃料消耗量的下限為 4)在狀態(tài)平面上分析狀態(tài)轉(zhuǎn)移軌線，尋找開關(guān)曲線，總結(jié)控制規(guī)律 5)計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移的所需時(shí)間、消耗燃料最少燃料控制問題 小結(jié)：修正：習(xí)題1的控制序列為0，-1第3章 結(jié)束語 最少燃料控制為三位式控制，存在（+1，0，-1）三種控制狀態(tài)，與最短時(shí)間控制相比，多1個(gè)u= 0的控制狀態(tài)，這意味著： 在狀態(tài)轉(zhuǎn)移的某些階段，可借助系統(tǒng)中積存的能量來維持運(yùn)動(dòng)，根本不需要消耗能量。 雙積分裝置最少燃料系統(tǒng)的最優(yōu)解取決于初態(tài)的位置。即可無解，也可唯