數(shù)學(xué)函數(shù)的發(fā)展史

1、.：.； 總課題：數(shù)學(xué)的開(kāi)展史 子課題：函數(shù)的開(kāi)展史 一、 組長(zhǎng)：李 組員：劉 田 仁 姬 孫 二、 指點(diǎn)教師：張 三、班級(jí)：高一12班四、成員簡(jiǎn)介： 李：性格開(kāi)朗、刻苦仔細(xì) 擔(dān)任組長(zhǎng) 劉 ：喜歡英語(yǔ)、大方 擔(dān)任搜集 仁 ：喜歡信息、刻苦仔細(xì) 擔(dān)任寫(xiě)作 姬：開(kāi)朗大方、熱情 擔(dān)任搜集 孫：喜好動(dòng)漫、畫(huà)畫(huà) 性格外向 擔(dān)任整理田 ：開(kāi)朗大方刻苦仔細(xì) 擔(dān)任整理五、選題的緣由： 開(kāi)闊視野，增長(zhǎng)見(jiàn)識(shí)。提高我們的數(shù)學(xué)涵養(yǎng)可以使我們更好的交融在一同，加強(qiáng)團(tuán)結(jié)，了解數(shù)學(xué)。六：研討方案：共六人： 姬 劉 擔(dān)任搜集 李 仁 擔(dān)任寫(xiě)作 孫 田 整理資料七： 研討成果： 歷史闡明，重要數(shù)學(xué)概念對(duì)數(shù)學(xué)開(kāi)展的作用是不可估量

2、的，函數(shù)概念對(duì)數(shù)學(xué)開(kāi)展的影響，可以說(shuō)是貫穿古今、曠日耐久、作用非凡，回想函數(shù)概念的歷史開(kāi)展，看一看函數(shù)概念不斷被精煉、深化、豐富的歷史過(guò)程，是一件非常有益的事情，它不僅有助于我們提高對(duì)函數(shù)概念來(lái)龍去脈認(rèn)識(shí)的明晰度，而且更能協(xié)助 我們領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念對(duì)數(shù)學(xué)開(kāi)展，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的宏大作用 一1.早期函數(shù)概念幾何觀念下的函數(shù)十七世紀(jì)伽俐略(GGalileo，意，15641642)在一書(shū)中，幾乎全部包含函數(shù)或稱為變量關(guān)系的這一概念，用文字和比例的言語(yǔ)表達(dá)函數(shù)的關(guān)系。1673年前后 HYPERLINK baike.baidu/view/4704.htm t _blank 笛卡爾(Descartes，法，15961

3、650)在他的 HYPERLINK baike.baidu/view/17601.htm t _blank 解析幾何中，已留意到一個(gè)變量對(duì)另一個(gè)變量的依賴關(guān)系，但因當(dāng)時(shí)髦未認(rèn)識(shí)到要提煉函數(shù)概念，因此直到17世紀(jì)后期 HYPERLINK baike.baidu/view/1511.htm t _blank 牛頓、 HYPERLINK baike.baidu/view/20062.htm t _blank 萊布尼茲建立 HYPERLINK baike.baidu/view/3.htm t _blank 微積分時(shí)還沒(méi)有人明確函數(shù)的普通意義，大部分函數(shù)是被當(dāng)作曲線來(lái)研討的。 馬克思曾經(jīng)以為，函數(shù)概念來(lái)

4、源于代數(shù)學(xué)中不定方程的研討由于羅馬時(shí)代的丟番圖對(duì)不定方程已有相當(dāng)研討，所以函數(shù)概念至少在那時(shí)曾經(jīng)萌芽 自哥白尼的天文學(xué)革命以后，運(yùn)動(dòng)就成了文藝復(fù)興時(shí)期科學(xué)家共同感興趣的問(wèn)題，人們?cè)谒妓鳎杭热坏厍虿皇怯钪嬷行?，它本身又有自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)，那么下降的物體為什么不發(fā)生偏斜而還要垂直下落到地球上?行星運(yùn)轉(zhuǎn)的軌道是橢圓，原理是什么?還有，研討在地球外表上拋射物體的道路、射程和所能到達(dá)的高度，以及炮彈速度對(duì)于高度和射程的影響等問(wèn)題，既是科學(xué)家的力圖處理的問(wèn)題，也是軍事家要求處理的問(wèn)題，函數(shù)概念就是從運(yùn)動(dòng)的研討中引申出的一個(gè)數(shù)學(xué)概念，這是函數(shù)概念的力學(xué)來(lái)源 二 早在函數(shù)概念尚未明確提出以前，數(shù)學(xué)家曾經(jīng)接觸并研討了

5、不少詳細(xì)的函數(shù)，比如對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、雙曲函數(shù)等等1673年前后笛卡兒在他的解析幾何中，曾經(jīng)留意到了一個(gè)變量對(duì)于另一個(gè)變量的依賴關(guān)系，但由于當(dāng)時(shí)髦未認(rèn)識(shí)到需求提煉普通的函數(shù)概念，因此直到17世紀(jì)后期牛頓、萊布尼茲建立微積分的時(shí)候，數(shù)學(xué)家還沒(méi)有明確函數(shù)的普通意義 1673年，萊布尼茲初次運(yùn)用函數(shù)一詞表示“冪，后來(lái)他用該詞表示曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、切線長(zhǎng)等曲線上點(diǎn)的有關(guān)幾何量由此可以看出，函數(shù)一詞最初的數(shù)學(xué)含義是相當(dāng)廣泛而較為模糊的，幾乎與此同時(shí)，牛頓在微積分的討論中，運(yùn)用另一名詞“流量來(lái)表示變量間的關(guān)系，直到1689年，瑞士數(shù)學(xué)家約翰貝努里才在萊布尼茲函數(shù)概念的根底上，對(duì)函數(shù)概念進(jìn)展了明確

6、定義，貝努里把變量x和常量按任何方式構(gòu)成的量叫“x的函數(shù)，表示為yx. 當(dāng)時(shí)，由于銜接變數(shù)與常數(shù)的運(yùn)算主要是算術(shù)運(yùn)算、三角運(yùn)算、指數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)運(yùn)算，所以后來(lái)歐拉就索性把用這些運(yùn)算銜接變數(shù)x和常數(shù)c而成的式子，取名為解析函數(shù)，還將它分成了“代數(shù)函數(shù)與“超越函數(shù) 18世紀(jì)中葉，由于研討弦振動(dòng)問(wèn)題，達(dá)朗貝爾與歐拉先后引出了“恣意的函數(shù)的說(shuō)法在解釋“恣意的函數(shù)概念的時(shí)候，達(dá)朗貝爾說(shuō)是指“恣意的解析式，而歐拉那么以為是“恣意畫(huà)出的一條曲線如今看來(lái)這都是函數(shù)的表達(dá)方式，是函數(shù)概念的外延 三十八世紀(jì)函數(shù)概念代數(shù)觀念下的函數(shù)1718年約翰貝努利(Johann Bernoulli ，瑞，16671748)在萊布

7、尼茲函數(shù)概念的根底上對(duì)函數(shù)概念進(jìn)展了定義：“由任一變量和常數(shù)的任一方式所構(gòu)成的量。他的意思是凡變量x和 HYPERLINK baike.baidu/view/346799.htm t _blank 常量構(gòu)成的式子都叫做x的函數(shù)，并強(qiáng)調(diào)函數(shù)要用公式來(lái)表示。 1755，歐拉(LEuler，瑞士，17071783) 把函數(shù)定義為“假設(shè)某些變量，以某一種方式依賴于另一些變量，即當(dāng)后面這些變量變化時(shí)，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱為后面變量的函數(shù)。 18世紀(jì)中葉歐拉(LEuler，瑞，17071783)給出了定義：“一個(gè)變量的函數(shù)是由這個(gè)變量和一些數(shù)即常數(shù)以任何方式組成的解析表達(dá)式。他把約翰

8、貝努利給出的函數(shù)定義稱為解析函數(shù)，并進(jìn)一步把它區(qū)分為為代數(shù)函數(shù)和超越函數(shù)，還思索了“隨意函數(shù)。不難看出，歐拉給出的函數(shù)定義比約翰貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。 四 十九世紀(jì)函數(shù)概念對(duì)應(yīng)關(guān)系下的函數(shù)1821年，柯西(Cauchy，法，17891857) 從定義變量起給出了定義：“在某些變數(shù)間存在著一定的關(guān)系，當(dāng)一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著而確定時(shí)，那么將最初的變數(shù)叫自變量，其他各變數(shù)叫做函數(shù)。在柯西的定義中，首先出現(xiàn)了自變量一詞，同時(shí)指出對(duì)函數(shù)來(lái)說(shuō)不一定要有解析表達(dá)式。不過(guò)他依然以為函數(shù)關(guān)系可以用多個(gè)解析式來(lái)表示，這是一個(gè)很大的局限。1822年 HYPERLINK baik

9、e.baidu/view/46054.htm t _blank 傅里葉Fourier，法國(guó)，17681830發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)也已用曲線表示，也可以用一個(gè)式子表示，或用多個(gè)式子表示，從而終了了函數(shù)概念能否以獨(dú)一一個(gè)式子表示的爭(zhēng)論，把對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)又推進(jìn)了一個(gè)新層次。函數(shù)概念缺乏科學(xué)的定義，引起了實(shí)際與實(shí)際的鋒利矛盾例如，偏微分方程在工程技術(shù)中有廣泛運(yùn)用，但由于沒(méi)有函數(shù)的科學(xué)定義，就極大地限制了偏微分方程實(shí)際的建立1833年至1834年，高斯開(kāi)場(chǎng)把留意力轉(zhuǎn)向物理學(xué)他在和W威伯爾協(xié)作發(fā)明電報(bào)的過(guò)程中，做了許多關(guān)于磁的實(shí)驗(yàn)任務(wù)，提出了“力與間隔 的平方成反比例這個(gè)重要的實(shí)際，使得函數(shù)作為數(shù)學(xué)的一個(gè)獨(dú)立分支而

10、出現(xiàn)了，實(shí)踐的需求促使人們對(duì)函數(shù)的定義進(jìn)一步研討 后來(lái)，人們又給出了這樣的定義：假設(shè)一個(gè)量依賴著另一個(gè)量，當(dāng)后一量變化時(shí)前一量也隨著變化，那么第一個(gè)量稱為第二個(gè)量的函數(shù)“這個(gè)定義雖然還沒(méi)有道出函數(shù)的本質(zhì)，但卻把變化、運(yùn)動(dòng)注入到函數(shù)定義中去，是可喜的提高 在函數(shù)概念開(kāi)展史上，法國(guó)數(shù)學(xué)家富里埃的任務(wù)影響最大，富里埃深化地提示了函數(shù)的本質(zhì)，主張函數(shù)不用局限于解析表達(dá)式1822年，他在名著中說(shuō)，“通常，函數(shù)表示相接的一組值或縱坐標(biāo)，它們中的每一個(gè)都是恣意的，我們不假定這些縱坐標(biāo)服從一個(gè)共同的規(guī)律；他們以任何方式一個(gè)挨一個(gè)在該書(shū)中，他用一個(gè)三角級(jí)數(shù)和的方式表達(dá)了一個(gè)由不延續(xù)的“線所給出的函數(shù)更確切地說(shuō)就

11、是，恣意一個(gè)以2為周期函數(shù)，在，區(qū)間內(nèi)，可以由 y x表示出. 其中，富里埃的研討，從根本上動(dòng)搖了舊的關(guān)于函數(shù)概念的傳統(tǒng)思想，在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界引起了很大的震動(dòng)原來(lái)，在解析式和曲線之間并不存在不可跨越的鴻溝，級(jí)數(shù)把解析式和曲線溝通了，那種視函數(shù)為解析式的觀念終于成為提示函數(shù)關(guān)系的宏大妨礙 經(jīng)過(guò)一場(chǎng)爭(zhēng)論，產(chǎn)生了羅巴切夫斯基和狄里克萊的函數(shù)定義 1834年，俄國(guó)數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基提出函數(shù)的定義：“x的函數(shù)是這樣的一個(gè)數(shù)，它對(duì)于每個(gè)x都有確定的值，并且隨著x一同變化函數(shù)值可以由解析式給出，也可以由一個(gè)條件給出，這個(gè)條件提供了一種尋求全部對(duì)應(yīng)值的方法函數(shù)的這種依賴關(guān)系可以存在，但依然是未知的這個(gè)定義建立了

12、變量與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，是對(duì)函數(shù)概念的一個(gè)艱苦開(kāi)展，由于“對(duì)應(yīng)是函數(shù)概念的一種本質(zhì)屬性與中心部分 1837年 HYPERLINK baike.baidu/view/53379.htm t _blank 狄利克雷(Dirichlet，德，18051859) 突破了這一局限，以為怎樣去建立x與y之間的關(guān)系無(wú)關(guān)緊要，他拓廣了函數(shù)概念，指出：“對(duì)于在某區(qū)間上的每一個(gè)確定的x值，y都有一個(gè)或多個(gè)確定的值，那么y叫做x的函數(shù)。這個(gè)定義防止了函數(shù)定義中對(duì)依賴關(guān)系的描畫(huà)，以明晰的方式被一切 HYPERLINK baike.baidu/view/66878.htm t _blank 數(shù)學(xué)家接受。這就是人們常說(shuō)

13、的經(jīng)典函數(shù)定義。根據(jù)這個(gè)定義，即使像如下表述的，它依然被說(shuō)成是函數(shù) HYPERLINK baike.baidu/view/53379.htm t _blank 狄利克雷函數(shù)： fx= 1x為有理數(shù)， 0 x為無(wú)理數(shù) 在這個(gè)函數(shù)中，假設(shè)x由0逐漸增大地取值，那么fx忽0忽1在無(wú)論怎樣小的區(qū)間里，fx無(wú)限止地忽0忽1因此，它難用一個(gè)或幾個(gè)式子來(lái)加以表示，甚至終究能否找出表達(dá)式也是一個(gè)問(wèn)題但是不論其能否用表達(dá)式表示，在 HYPERLINK baike.baidu/view/53379.htm t _blank 狄利克雷的定義下，這個(gè)fx仍是一個(gè)函數(shù) HYPERLINK baike.baidu/vie

14、w/53379.htm t _blank 狄利克雷的函數(shù)定義，出色地防止了以往函數(shù)定義中一切的關(guān)于依賴關(guān)系的描畫(huà)，以完全明晰的方式為一切數(shù)學(xué)家無(wú)條件地接受至此，我們已可以說(shuō)，函數(shù)概念、函數(shù)的本質(zhì)定義曾經(jīng)構(gòu)成，這就是人們常說(shuō)的經(jīng)典函數(shù)定義 等到 HYPERLINK baike.baidu/view/114226.htm t _blank 康托(Cantor，德，18451918)創(chuàng)建的集合論在數(shù)學(xué)中占有重要位置之后，維布倫(Veblen，美，18801960)用“集合和“對(duì)應(yīng)的概念給出了近代函數(shù)定義，經(jīng)過(guò)集合概念把函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系、定義域及值域進(jìn)一步詳細(xì)化了，且突破了“變量是數(shù)的極限，變量可以是數(shù)

15、，也可以是其它對(duì)象。五現(xiàn)代函數(shù)概念集合論下的函數(shù) 1914年豪斯道夫(FHausdorff)在中用不明確的概念“序偶來(lái)定義函數(shù)，其避開(kāi)了意義不明確的“變量、“對(duì)應(yīng)概念。庫(kù)拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念來(lái)定義“序偶使豪斯道夫的定義很嚴(yán)謹(jǐn)了。 隨著消費(fèi)實(shí)際和科學(xué)實(shí)驗(yàn)的進(jìn)一步開(kāi)展，又引起函數(shù)概念新的鋒利矛盾，本世紀(jì)20年代，人類開(kāi)場(chǎng)研討微觀物理景象1930年量子力學(xué)問(wèn)世了，在量子力學(xué)中需求用到一種新的函數(shù)-函數(shù)， 即x 0，x0， ,x=0 且 -函數(shù)的出現(xiàn)，引起了人們的猛烈爭(zhēng)論按照函數(shù)原來(lái)的定義，只允許數(shù)與數(shù)之間建立對(duì)應(yīng)關(guān)系，而沒(méi)有把“作為數(shù)另外，對(duì)于自變量只需一個(gè)點(diǎn)不為

16、零的函數(shù)，其積分值卻不等于零，這也是不可想象的然而，-函數(shù)確實(shí)是實(shí)踐模型的籠統(tǒng)例如，當(dāng)汽車、火車經(jīng)過(guò)橋梁時(shí)，自然對(duì)橋梁產(chǎn)生壓力從實(shí)際上講，車輛的輪子和橋面的接觸點(diǎn)只需一個(gè)，設(shè)車輛對(duì)軌道、橋面的壓力為一單位，這時(shí)在接觸點(diǎn)x=0處的壓強(qiáng)是 P0=壓力接觸面=10= 其他點(diǎn)x0處，因無(wú)壓力，故無(wú)壓強(qiáng)，即Px=0.另外，我們知道壓強(qiáng)函數(shù)的積分等于壓力，即 函數(shù)概念就在這樣的歷史條件下能動(dòng)地向前開(kāi)展，產(chǎn)生了新的現(xiàn)代函數(shù)定義：假設(shè)對(duì)集合M的恣意元素x,總有集合N確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么稱在集合M上定義一個(gè)函數(shù)，記為y=fx.元素x稱為自變?cè)?，元素y稱為因變?cè)?函數(shù)的現(xiàn)代定義與經(jīng)典定義從方式上看雖然只相差

17、幾個(gè)字，但卻是概念上的艱苦開(kāi)展，是數(shù)學(xué)開(kāi)展道路上的艱苦轉(zhuǎn)機(jī)，近代的泛函分析可以作為這種轉(zhuǎn)機(jī)的標(biāo)志，它研討的是普通集合上的函數(shù)關(guān)系 函數(shù)概念的定義經(jīng)過(guò)二百多年來(lái)的錘煉、變革，構(gòu)成了函數(shù)的現(xiàn)代定義，應(yīng)該說(shuō)曾經(jīng)相當(dāng)完善了不過(guò)數(shù)學(xué)的開(kāi)展是無(wú)盡頭的，函數(shù)現(xiàn)代定義的方式并不意味著函數(shù)概念開(kāi)展的歷史終結(jié)，近二十年來(lái)，數(shù)學(xué)家們又把函數(shù)歸結(jié)為一種更廣泛的概念“關(guān)系 設(shè)集合X、Y，我們定義X與Y的積集XY為 XY=x,yxX,yY 積集XY中的一子集R稱為X與Y的一個(gè)關(guān)系，假設(shè)x,yR，那么稱x與y有關(guān)系R，記為xRy.假設(shè)x,yR，那么稱x與y無(wú)關(guān)系 現(xiàn)設(shè)f是X與Y的關(guān)系，即fXY，假設(shè)x,y，x,zf,必有y

18、=z，那么稱f為X到Y(jié)的函數(shù)在此定義中，已在方式上逃避了“對(duì)應(yīng)的術(shù)語(yǔ)，全部運(yùn)用集合論的言語(yǔ)了 從以上函數(shù)概念開(kāi)展的全過(guò)程中，我們領(lǐng)會(huì)到，聯(lián)絡(luò)實(shí)踐、聯(lián)絡(luò)大量數(shù)學(xué)素材，研討、開(kāi)掘、拓廣數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵是何等重要八：結(jié)論總結(jié) 函數(shù)function表示每個(gè)輸入值對(duì)應(yīng)獨(dú)一輸出值的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系。函數(shù)f中對(duì)應(yīng)輸入值的輸出值x的規(guī)范符號(hào)為 HYPERLINK baike.baidu/view/2751750.htm t _blank f(x)。包含某個(gè)函數(shù)一切的輸入值的集合被稱作這個(gè)函數(shù)的 HYPERLINK baike.baidu/view/432831.htm t _blank 定義域，包含一切的輸出值的集

19、合被稱作 HYPERLINK baike.baidu/view/543477.htm t _blank 值域。函數(shù)是數(shù)學(xué)中的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，是從非空數(shù)集A到實(shí)數(shù)集B的對(duì)應(yīng)。簡(jiǎn)單地說(shuō)，甲隨著乙變，甲就是乙的函數(shù)。準(zhǔn)確地說(shuō)，設(shè)X是一個(gè)非空集合，Y是非空數(shù)集 ，f是個(gè) HYPERLINK baike.baidu/view/1084767.htm t _blank 對(duì)應(yīng)法那么 ， 假設(shè)對(duì)X中的每個(gè)x，按對(duì)應(yīng)法那么f，使Y中存在獨(dú)一的一個(gè)元素y與之對(duì)應(yīng) ， 就稱對(duì)應(yīng)法那么f是X上的一個(gè)函數(shù)，記作yfx，稱X為函數(shù)fx的定義域，集合y|y=fx，xR為其值域值域是Y的 HYPERLINK baike.bai

20、du/view/276935.htm t _blank 子集，x叫做自變量，y叫做 HYPERLINK baike.baidu/view/324030.htm t _blank 因變量，習(xí)慣上也說(shuō)y是x的函數(shù)。對(duì)應(yīng)法那么、定義域、值域是函數(shù)的三要素。 留意：對(duì)應(yīng)法那么并不等同于函數(shù)，由于運(yùn)算法那么并不依賴于某個(gè)定義域，它可以作用于任何一個(gè)非空集合，如f( )=2 +1，x=1,2,y=3,5,u=3,4,v=7,9,那么f(x)=y,f(u)=v。由此可見(jiàn)，對(duì)應(yīng)法那么是獨(dú)立于特定定義域之外的一個(gè)運(yùn)算法那么。運(yùn)算法那么或者稱對(duì)應(yīng)法那么可以作為算子獨(dú)立存在如微分算子，而函數(shù)那么必需有其特定的定義域

21、才有意義，否那么不能稱之為函數(shù)。 不測(cè)收獲 豐富視野一：與函數(shù)有關(guān)的概念在一個(gè)變化過(guò)程中，發(fā)生變化的量叫變量，有些數(shù)值是不隨變量而改動(dòng)的，我們稱他們?yōu)槌Ａ俊?自變量，函數(shù)一個(gè)與他量有關(guān)聯(lián)的變量，這一量中的任何一值都能在他量中找到對(duì)應(yīng)的固 HYPERLINK baike.baidu/view/2444160.htm t _blank 定值。 因變量(函數(shù))，隨著自變量的變化而變化，且自變量取獨(dú)一值時(shí)，因變量(函數(shù))有且只需獨(dú)一值與其相對(duì)應(yīng)。 函數(shù)值，在y是x的函數(shù)中，x確定一個(gè)值，Y就隨之確定一個(gè)值，當(dāng) 二：幾何含義函數(shù)與不等式和方程存在聯(lián)絡(luò) HYPERLINK baike.baidu/view

22、/46323.htm t _blank 初等函數(shù)。令 HYPERLINK baike.baidu/view/276988.htm t _blank 函數(shù)值等于零，從幾何角度看，對(duì)應(yīng)的自變量的值就是圖像與X軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；從代數(shù)角度看，對(duì)應(yīng)的自變量是方程的解。另外，把函數(shù)的表達(dá)式無(wú)表達(dá)式的函數(shù)除外中的“=換成“，再把“Y換成其它 HYPERLINK baike.baidu/view/403779.htm t _blank 代數(shù)式，函數(shù)就變成了不等式，可以求自變量的范圍。 三函數(shù)的有界性設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，數(shù)集X包含于D。假設(shè)存在數(shù)K1，使得f(x)=K1對(duì)任一xX都成立，那么稱函數(shù)f(

23、x)在X上有上界，而K1稱為函數(shù)f(x)在X上的一個(gè)上界。假設(shè)存在數(shù)K2，使得f(x)=K2對(duì)任一xX都成立，那么稱函數(shù)f(x)在X上有下界，而K2稱為函數(shù)f(x)在X上的一個(gè)下界。假設(shè)存在正數(shù)M，使得|f(x)|=M對(duì)任一xX都成立，那么稱函數(shù)f(x)在X上有界，假設(shè)這樣的M不存在，就稱函數(shù)f(x)在X上無(wú)界。 函數(shù)f(x)在X上有界的充分必要條件是它在X上既有上界又有下界。 四函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，區(qū)間I包含于D。假設(shè)對(duì)于區(qū)間I上恣意兩點(diǎn)x1及x2，當(dāng)x1x2時(shí)，恒有f(x1)f(x2)，那么稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)添加的；假設(shè)對(duì)于區(qū)間I上恣意兩點(diǎn)x1及x2，當(dāng)x1

24、f(x2)，那么稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減少的。單調(diào)添加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。 五函數(shù)的奇偶性設(shè)f(x)為一個(gè)實(shí)變量 HYPERLINK baike.baidu/view/296926.htm t _blank 實(shí)值函數(shù)，那么f為奇函數(shù)假設(shè)以下的方程對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立： f(x) = f( x) 或 f( x) = f(x) 幾何上，一個(gè)奇函數(shù)與 HYPERLINK baike.baidu/view/25440.htm t _blank 原點(diǎn)對(duì)稱，亦即其 HYPERLINK baike.baidu/view/143347.htm t _blank 圖在繞原點(diǎn)做180 HYPER

25、LINK baike.baidu/view/248975.htm t _blank 度 HYPERLINK baike.baidu/view/131763.htm t _blank 旋轉(zhuǎn)后不會(huì)改動(dòng)。 奇函數(shù)的例子有x、 HYPERLINK baike.baidu/view/20214.htm t _blank sin(x)、 HYPERLINK baike.baidu/view/814681.htm t _blank sinh(x)和 HYPERLINK baike.baidu/view/582686.htm t _blank erf(x)。 設(shè)f(x)為一實(shí)變量實(shí)值函數(shù)，那么f為偶函數(shù)假設(shè)以下的方程對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立： f(x) =