數(shù)學函數(shù)的發(fā)展史

1、.：.； 總課題：數(shù)學的開展史 子課題：函數(shù)的開展史 一、 組長：李 組員：劉 田 仁 姬 孫 二、 指點教師：張 三、班級：高一12班四、成員簡介： 李：性格開朗、刻苦仔細 擔任組長 劉 ：喜歡英語、大方 擔任搜集 仁 ：喜歡信息、刻苦仔細 擔任寫作 姬：開朗大方、熱情 擔任搜集 孫：喜好動漫、畫畫 性格外向 擔任整理田 ：開朗大方刻苦仔細 擔任整理五、選題的緣由： 開闊視野，增長見識。提高我們的數(shù)學涵養(yǎng)可以使我們更好的交融在一同，加強團結，了解數(shù)學。六：研討方案：共六人： 姬 劉 擔任搜集 李 仁 擔任寫作 孫 田 整理資料七： 研討成果： 歷史闡明，重要數(shù)學概念對數(shù)學開展的作用是不可估量

2、的，函數(shù)概念對數(shù)學開展的影響，可以說是貫穿古今、曠日耐久、作用非凡，回想函數(shù)概念的歷史開展，看一看函數(shù)概念不斷被精煉、深化、豐富的歷史過程，是一件非常有益的事情，它不僅有助于我們提高對函數(shù)概念來龍去脈認識的明晰度，而且更能協(xié)助 我們領悟數(shù)學概念對數(shù)學開展，數(shù)學學習的宏大作用 一1.早期函數(shù)概念幾何觀念下的函數(shù)十七世紀伽俐略(GGalileo，意，15641642)在一書中，幾乎全部包含函數(shù)或稱為變量關系的這一概念，用文字和比例的言語表達函數(shù)的關系。1673年前后 HYPERLINK baike.baidu/view/4704.htm t _blank 笛卡爾(Descartes，法，15961

3、650)在他的 HYPERLINK baike.baidu/view/17601.htm t _blank 解析幾何中，已留意到一個變量對另一個變量的依賴關系，但因當時髦未認識到要提煉函數(shù)概念，因此直到17世紀后期 HYPERLINK baike.baidu/view/1511.htm t _blank 牛頓、 HYPERLINK baike.baidu/view/20062.htm t _blank 萊布尼茲建立 HYPERLINK baike.baidu/view/3.htm t _blank 微積分時還沒有人明確函數(shù)的普通意義，大部分函數(shù)是被當作曲線來研討的。 馬克思曾經以為，函數(shù)概念來

4、源于代數(shù)學中不定方程的研討由于羅馬時代的丟番圖對不定方程已有相當研討，所以函數(shù)概念至少在那時曾經萌芽 自哥白尼的天文學革命以后，運動就成了文藝復興時期科學家共同感興趣的問題，人們在思索：既然地球不是宇宙中心，它本身又有自轉和公轉，那么下降的物體為什么不發(fā)生偏斜而還要垂直下落到地球上?行星運轉的軌道是橢圓，原理是什么?還有，研討在地球外表上拋射物體的道路、射程和所能到達的高度，以及炮彈速度對于高度和射程的影響等問題，既是科學家的力圖處理的問題，也是軍事家要求處理的問題，函數(shù)概念就是從運動的研討中引申出的一個數(shù)學概念，這是函數(shù)概念的力學來源 二 早在函數(shù)概念尚未明確提出以前，數(shù)學家曾經接觸并研討了

5、不少詳細的函數(shù)，比如對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、雙曲函數(shù)等等1673年前后笛卡兒在他的解析幾何中，曾經留意到了一個變量對于另一個變量的依賴關系，但由于當時髦未認識到需求提煉普通的函數(shù)概念，因此直到17世紀后期牛頓、萊布尼茲建立微積分的時候，數(shù)學家還沒有明確函數(shù)的普通意義 1673年，萊布尼茲初次運用函數(shù)一詞表示“冪，后來他用該詞表示曲線上點的橫坐標、縱坐標、切線長等曲線上點的有關幾何量由此可以看出，函數(shù)一詞最初的數(shù)學含義是相當廣泛而較為模糊的，幾乎與此同時，牛頓在微積分的討論中，運用另一名詞“流量來表示變量間的關系，直到1689年，瑞士數(shù)學家約翰貝努里才在萊布尼茲函數(shù)概念的根底上，對函數(shù)概念進展了明確

6、定義，貝努里把變量x和常量按任何方式構成的量叫“x的函數(shù)，表示為yx. 當時，由于銜接變數(shù)與常數(shù)的運算主要是算術運算、三角運算、指數(shù)運算和對數(shù)運算，所以后來歐拉就索性把用這些運算銜接變數(shù)x和常數(shù)c而成的式子，取名為解析函數(shù)，還將它分成了“代數(shù)函數(shù)與“超越函數(shù) 18世紀中葉，由于研討弦振動問題，達朗貝爾與歐拉先后引出了“恣意的函數(shù)的說法在解釋“恣意的函數(shù)概念的時候，達朗貝爾說是指“恣意的解析式，而歐拉那么以為是“恣意畫出的一條曲線如今看來這都是函數(shù)的表達方式，是函數(shù)概念的外延 三十八世紀函數(shù)概念代數(shù)觀念下的函數(shù)1718年約翰貝努利(Johann Bernoulli ，瑞，16671748)在萊布

7、尼茲函數(shù)概念的根底上對函數(shù)概念進展了定義：“由任一變量和常數(shù)的任一方式所構成的量。他的意思是凡變量x和 HYPERLINK baike.baidu/view/346799.htm t _blank 常量構成的式子都叫做x的函數(shù)，并強調函數(shù)要用公式來表示。 1755，歐拉(LEuler，瑞士，17071783) 把函數(shù)定義為“假設某些變量，以某一種方式依賴于另一些變量，即當后面這些變量變化時，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱為后面變量的函數(shù)。 18世紀中葉歐拉(LEuler，瑞，17071783)給出了定義：“一個變量的函數(shù)是由這個變量和一些數(shù)即常數(shù)以任何方式組成的解析表達式。他把約翰

8、貝努利給出的函數(shù)定義稱為解析函數(shù)，并進一步把它區(qū)分為為代數(shù)函數(shù)和超越函數(shù)，還思索了“隨意函數(shù)。不難看出，歐拉給出的函數(shù)定義比約翰貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。 四 十九世紀函數(shù)概念對應關系下的函數(shù)1821年，柯西(Cauchy，法，17891857) 從定義變量起給出了定義：“在某些變數(shù)間存在著一定的關系，當一經給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著而確定時，那么將最初的變數(shù)叫自變量，其他各變數(shù)叫做函數(shù)。在柯西的定義中，首先出現(xiàn)了自變量一詞，同時指出對函數(shù)來說不一定要有解析表達式。不過他依然以為函數(shù)關系可以用多個解析式來表示，這是一個很大的局限。1822年 HYPERLINK baik

9、e.baidu/view/46054.htm t _blank 傅里葉Fourier，法國，17681830發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)也已用曲線表示，也可以用一個式子表示，或用多個式子表示，從而終了了函數(shù)概念能否以獨一一個式子表示的爭論，把對函數(shù)的認識又推進了一個新層次。函數(shù)概念缺乏科學的定義，引起了實際與實際的鋒利矛盾例如，偏微分方程在工程技術中有廣泛運用，但由于沒有函數(shù)的科學定義，就極大地限制了偏微分方程實際的建立1833年至1834年，高斯開場把留意力轉向物理學他在和W威伯爾協(xié)作發(fā)明電報的過程中，做了許多關于磁的實驗任務，提出了“力與間隔 的平方成反比例這個重要的實際，使得函數(shù)作為數(shù)學的一個獨立分支而

10、出現(xiàn)了，實踐的需求促使人們對函數(shù)的定義進一步研討 后來，人們又給出了這樣的定義：假設一個量依賴著另一個量，當后一量變化時前一量也隨著變化，那么第一個量稱為第二個量的函數(shù)“這個定義雖然還沒有道出函數(shù)的本質，但卻把變化、運動注入到函數(shù)定義中去，是可喜的提高 在函數(shù)概念開展史上，法國數(shù)學家富里埃的任務影響最大，富里埃深化地提示了函數(shù)的本質，主張函數(shù)不用局限于解析表達式1822年，他在名著中說，“通常，函數(shù)表示相接的一組值或縱坐標，它們中的每一個都是恣意的，我們不假定這些縱坐標服從一個共同的規(guī)律；他們以任何方式一個挨一個在該書中，他用一個三角級數(shù)和的方式表達了一個由不延續(xù)的“線所給出的函數(shù)更確切地說就

11、是，恣意一個以2為周期函數(shù)，在，區(qū)間內，可以由 y x表示出. 其中，富里埃的研討，從根本上動搖了舊的關于函數(shù)概念的傳統(tǒng)思想，在當時的數(shù)學界引起了很大的震動原來，在解析式和曲線之間并不存在不可跨越的鴻溝，級數(shù)把解析式和曲線溝通了，那種視函數(shù)為解析式的觀念終于成為提示函數(shù)關系的宏大妨礙 經過一場爭論，產生了羅巴切夫斯基和狄里克萊的函數(shù)定義 1834年，俄國數(shù)學家羅巴切夫斯基提出函數(shù)的定義：“x的函數(shù)是這樣的一個數(shù)，它對于每個x都有確定的值，并且隨著x一同變化函數(shù)值可以由解析式給出，也可以由一個條件給出，這個條件提供了一種尋求全部對應值的方法函數(shù)的這種依賴關系可以存在，但依然是未知的這個定義建立了

12、變量與函數(shù)之間的對應關系，是對函數(shù)概念的一個艱苦開展，由于“對應是函數(shù)概念的一種本質屬性與中心部分 1837年 HYPERLINK baike.baidu/view/53379.htm t _blank 狄利克雷(Dirichlet，德，18051859) 突破了這一局限，以為怎樣去建立x與y之間的關系無關緊要，他拓廣了函數(shù)概念，指出：“對于在某區(qū)間上的每一個確定的x值，y都有一個或多個確定的值，那么y叫做x的函數(shù)。這個定義防止了函數(shù)定義中對依賴關系的描畫，以明晰的方式被一切 HYPERLINK baike.baidu/view/66878.htm t _blank 數(shù)學家接受。這就是人們常說

13、的經典函數(shù)定義。根據(jù)這個定義，即使像如下表述的，它依然被說成是函數(shù) HYPERLINK baike.baidu/view/53379.htm t _blank 狄利克雷函數(shù)： fx= 1x為有理數(shù)， 0 x為無理數(shù) 在這個函數(shù)中，假設x由0逐漸增大地取值，那么fx忽0忽1在無論怎樣小的區(qū)間里，fx無限止地忽0忽1因此，它難用一個或幾個式子來加以表示，甚至終究能否找出表達式也是一個問題但是不論其能否用表達式表示，在 HYPERLINK baike.baidu/view/53379.htm t _blank 狄利克雷的定義下，這個fx仍是一個函數(shù) HYPERLINK baike.baidu/vie

14、w/53379.htm t _blank 狄利克雷的函數(shù)定義，出色地防止了以往函數(shù)定義中一切的關于依賴關系的描畫，以完全明晰的方式為一切數(shù)學家無條件地接受至此，我們已可以說，函數(shù)概念、函數(shù)的本質定義曾經構成，這就是人們常說的經典函數(shù)定義 等到 HYPERLINK baike.baidu/view/114226.htm t _blank 康托(Cantor，德，18451918)創(chuàng)建的集合論在數(shù)學中占有重要位置之后，維布倫(Veblen，美，18801960)用“集合和“對應的概念給出了近代函數(shù)定義，經過集合概念把函數(shù)的對應關系、定義域及值域進一步詳細化了，且突破了“變量是數(shù)的極限，變量可以是數(shù)

15、，也可以是其它對象。五現(xiàn)代函數(shù)概念集合論下的函數(shù) 1914年豪斯道夫(FHausdorff)在中用不明確的概念“序偶來定義函數(shù)，其避開了意義不明確的“變量、“對應概念。庫拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念來定義“序偶使豪斯道夫的定義很嚴謹了。 隨著消費實際和科學實驗的進一步開展，又引起函數(shù)概念新的鋒利矛盾，本世紀20年代，人類開場研討微觀物理景象1930年量子力學問世了，在量子力學中需求用到一種新的函數(shù)-函數(shù)， 即x 0，x0， ,x=0 且 -函數(shù)的出現(xiàn)，引起了人們的猛烈爭論按照函數(shù)原來的定義，只允許數(shù)與數(shù)之間建立對應關系，而沒有把“作為數(shù)另外，對于自變量只需一個點不為

16、零的函數(shù)，其積分值卻不等于零，這也是不可想象的然而，-函數(shù)確實是實踐模型的籠統(tǒng)例如，當汽車、火車經過橋梁時，自然對橋梁產生壓力從實際上講，車輛的輪子和橋面的接觸點只需一個，設車輛對軌道、橋面的壓力為一單位，這時在接觸點x=0處的壓強是 P0=壓力接觸面=10= 其他點x0處，因無壓力，故無壓強，即Px=0.另外，我們知道壓強函數(shù)的積分等于壓力，即 函數(shù)概念就在這樣的歷史條件下能動地向前開展，產生了新的現(xiàn)代函數(shù)定義：假設對集合M的恣意元素x,總有集合N確定的元素y與之對應，那么稱在集合M上定義一個函數(shù)，記為y=fx.元素x稱為自變元，元素y稱為因變元 函數(shù)的現(xiàn)代定義與經典定義從方式上看雖然只相差

17、幾個字，但卻是概念上的艱苦開展，是數(shù)學開展道路上的艱苦轉機，近代的泛函分析可以作為這種轉機的標志，它研討的是普通集合上的函數(shù)關系 函數(shù)概念的定義經過二百多年來的錘煉、變革，構成了函數(shù)的現(xiàn)代定義，應該說曾經相當完善了不過數(shù)學的開展是無盡頭的，函數(shù)現(xiàn)代定義的方式并不意味著函數(shù)概念開展的歷史終結，近二十年來，數(shù)學家們又把函數(shù)歸結為一種更廣泛的概念“關系 設集合X、Y，我們定義X與Y的積集XY為 XY=x,yxX,yY 積集XY中的一子集R稱為X與Y的一個關系，假設x,yR，那么稱x與y有關系R，記為xRy.假設x,yR，那么稱x與y無關系 現(xiàn)設f是X與Y的關系，即fXY，假設x,y，x,zf,必有y

18、=z，那么稱f為X到Y的函數(shù)在此定義中，已在方式上逃避了“對應的術語，全部運用集合論的言語了 從以上函數(shù)概念開展的全過程中，我們領會到，聯(lián)絡實踐、聯(lián)絡大量數(shù)學素材，研討、開掘、拓廣數(shù)學概念的內涵是何等重要八：結論總結 函數(shù)function表示每個輸入值對應獨一輸出值的一種對應關系。函數(shù)f中對應輸入值的輸出值x的規(guī)范符號為 HYPERLINK baike.baidu/view/2751750.htm t _blank f(x)。包含某個函數(shù)一切的輸入值的集合被稱作這個函數(shù)的 HYPERLINK baike.baidu/view/432831.htm t _blank 定義域，包含一切的輸出值的集

19、合被稱作 HYPERLINK baike.baidu/view/543477.htm t _blank 值域。函數(shù)是數(shù)學中的一種對應關系，是從非空數(shù)集A到實數(shù)集B的對應。簡單地說，甲隨著乙變，甲就是乙的函數(shù)。準確地說，設X是一個非空集合，Y是非空數(shù)集 ，f是個 HYPERLINK baike.baidu/view/1084767.htm t _blank 對應法那么 ， 假設對X中的每個x，按對應法那么f，使Y中存在獨一的一個元素y與之對應 ， 就稱對應法那么f是X上的一個函數(shù)，記作yfx，稱X為函數(shù)fx的定義域，集合y|y=fx，xR為其值域值域是Y的 HYPERLINK baike.bai

20、du/view/276935.htm t _blank 子集，x叫做自變量，y叫做 HYPERLINK baike.baidu/view/324030.htm t _blank 因變量，習慣上也說y是x的函數(shù)。對應法那么、定義域、值域是函數(shù)的三要素。 留意：對應法那么并不等同于函數(shù)，由于運算法那么并不依賴于某個定義域，它可以作用于任何一個非空集合，如f( )=2 +1，x=1,2,y=3,5,u=3,4,v=7,9,那么f(x)=y,f(u)=v。由此可見，對應法那么是獨立于特定定義域之外的一個運算法那么。運算法那么或者稱對應法那么可以作為算子獨立存在如微分算子，而函數(shù)那么必需有其特定的定義域

21、才有意義，否那么不能稱之為函數(shù)。 不測收獲 豐富視野一：與函數(shù)有關的概念在一個變化過程中，發(fā)生變化的量叫變量，有些數(shù)值是不隨變量而改動的，我們稱他們?yōu)槌Ａ俊?自變量，函數(shù)一個與他量有關聯(lián)的變量，這一量中的任何一值都能在他量中找到對應的固 HYPERLINK baike.baidu/view/2444160.htm t _blank 定值。 因變量(函數(shù))，隨著自變量的變化而變化，且自變量取獨一值時，因變量(函數(shù))有且只需獨一值與其相對應。 函數(shù)值，在y是x的函數(shù)中，x確定一個值，Y就隨之確定一個值，當 二：幾何含義函數(shù)與不等式和方程存在聯(lián)絡 HYPERLINK baike.baidu/view

22、/46323.htm t _blank 初等函數(shù)。令 HYPERLINK baike.baidu/view/276988.htm t _blank 函數(shù)值等于零，從幾何角度看，對應的自變量的值就是圖像與X軸的交點的橫坐標；從代數(shù)角度看，對應的自變量是方程的解。另外，把函數(shù)的表達式無表達式的函數(shù)除外中的“=換成“，再把“Y換成其它 HYPERLINK baike.baidu/view/403779.htm t _blank 代數(shù)式，函數(shù)就變成了不等式，可以求自變量的范圍。 三函數(shù)的有界性設函數(shù)f(x)的定義域為D，數(shù)集X包含于D。假設存在數(shù)K1，使得f(x)=K1對任一xX都成立，那么稱函數(shù)f(

23、x)在X上有上界，而K1稱為函數(shù)f(x)在X上的一個上界。假設存在數(shù)K2，使得f(x)=K2對任一xX都成立，那么稱函數(shù)f(x)在X上有下界，而K2稱為函數(shù)f(x)在X上的一個下界。假設存在正數(shù)M，使得|f(x)|=M對任一xX都成立，那么稱函數(shù)f(x)在X上有界，假設這樣的M不存在，就稱函數(shù)f(x)在X上無界。 函數(shù)f(x)在X上有界的充分必要條件是它在X上既有上界又有下界。 四函數(shù)的單調性設函數(shù)f(x)的定義域為D，區(qū)間I包含于D。假設對于區(qū)間I上恣意兩點x1及x2，當x1x2時，恒有f(x1)f(x2)，那么稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調添加的；假設對于區(qū)間I上恣意兩點x1及x2，當x1

24、f(x2)，那么稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調減少的。單調添加和單調減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調函數(shù)。 五函數(shù)的奇偶性設f(x)為一個實變量 HYPERLINK baike.baidu/view/296926.htm t _blank 實值函數(shù)，那么f為奇函數(shù)假設以下的方程對一切實數(shù)x都成立： f(x) = f( x) 或 f( x) = f(x) 幾何上，一個奇函數(shù)與 HYPERLINK baike.baidu/view/25440.htm t _blank 原點對稱，亦即其 HYPERLINK baike.baidu/view/143347.htm t _blank 圖在繞原點做180 HYPER

25、LINK baike.baidu/view/248975.htm t _blank 度 HYPERLINK baike.baidu/view/131763.htm t _blank 旋轉后不會改動。 奇函數(shù)的例子有x、 HYPERLINK baike.baidu/view/20214.htm t _blank sin(x)、 HYPERLINK baike.baidu/view/814681.htm t _blank sinh(x)和 HYPERLINK baike.baidu/view/582686.htm t _blank erf(x)。 設f(x)為一實變量實值函數(shù)，那么f為偶函數(shù)假設以下的方程對一切實數(shù)x都成立： f(x) =